题型6 几何最值（复习讲义）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型六几何最值（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 解决几何最值问题的理论依据有：①两点之间线段最短；②垂线段最短；③三角形两 边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)；④定圆中的所有弦中， 直径最长；⑤圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距 离最长根据不同特征转化从而减少变量是解决最值问题的关键，直接套用基本模型是解决 几何最值问题的高效手段 动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数自数轴起始，至几何图形的存 在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变， 而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经， 以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法 考点01 胡不归 胡不归模型问题解题步骤如下； 1、将所求线段和改写为“P+ b a PB”的形式（ b a <1），若 b a >1，提取系数，转化为小于1 的形式解 决。 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 2、在PB 的一侧，P 的异侧，构造一个角度α，使得sα= b a 3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题 【模型展示】 如图，一动点P 在直线M 外的运动速度为V1，在直线M 上运动的速度为V2，且 V1<V2，、B 为定点，点在直线M 上，确定点的位置使 的值最小． V2 V1 M N C B A ，记 ， 即求B+k 的最小值． 构造射线D 使得s∠D=k，/=k，=k． CH=kAC sinα= CH AC =k H D α A B C N M 将问题转化为求B+最小值，过B 点作B⊥D 交M 于点，交D 于点，此时B+取到最小值， 即B+k 最小． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm M N C B A α D H 在求形如“P+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P+kPB” 型问题转化为“P+P”型． 考点02 阿氏圆 “阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△PB∽△P 推出 P2  ，即：半径的平方=原 有线段 构造线段。 【模型展示】 如下图，已知、B 两点，点P 满足P：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的 图形为圆． A B P O （1）角平分线定理：如图，在△B 中，D 是∠B 的角平分线，则 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm F E D C B A 证明： ， ，即 （2）外角平分线定理：如图，在△B 中，外角E 的角平分线D 交B 的延长线于点D，则 ． A B C D E 证明：在B 延长线上取点E 使得E=，连接BD，则△D △ED ≌ （SS），D=ED 且D 平分∠BDE，则 ，即 ． 接下来开始证明步骤： N M A B P O 如图，P：PB=k，作∠PB 的角平分线交B 于M 点，根据角平分线定理， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 故M 点为定点，即∠PB 的角平分线交B 于定点； 作∠PB 外角平分线交直线B 于点，根据外角平分线定理， ，故点为定点，即 ∠PB 外角平分线交直线B 于定点； 又∠MP=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以M 为直径的圆． O P B A M N 考点03 费马点 费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。 主要分为两种情况： （1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60 度，从而将“不等三爪图” 中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。 （2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点 费马点问题解题的核心技巧： 旋转60° 构造等边三角形 将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上 利用两点之间线段最短 求解问题 【模型展示】 问题：在△B 内找一点P，使得P+PB+P 最小． A B C P 【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等． （1）如图，分别以△B 中的B、为边，作等边△BD、等边△E． （2）连接D、BE，即有一组手拉手全等：△D △BE ≌ ． （3）记D、BE 交点为P，点P 即为费马点．（到这一步其实就可以了） （4）以B 为边作等边△BF，连接F，必过点P，有∠PB=∠BP=∠P=120°． F P P A B C D E E D C B A B A C A B C D E 在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接P，P 平分∠DPE． 有这两个结论便足以说明∠PB=∠BP=∠P=120°．原来在“手拉手全等”就已 经见过了呀，只是相逢何必曾相识！ 考点04 瓜豆原理 动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小 值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。 确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法: （1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。 （2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下; ** Expression is faulty **见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形 ** Expression is faulty **见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形 【知识精讲】 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，Q 为P 中点． 考虑：当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是？ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】观察动图可知点Q 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆有什么关系？ 考虑到Q 点始终为P 中点，连接，取中点M，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是 P 一半，任意时刻，均有△MQ∽△P，QM:P=Q:P=1:2． 【小结】确定Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由、Q、P 始终共线可得：、M、三点共线， 由Q 为P 中点可得：M=1/2． Q 点轨迹相当于是P 点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系． 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，作Q⊥P 且Q=P． 考虑：当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将P 绕点逆时针旋转90°得Q，故Q 点轨迹与P 点轨 迹都是圆．接下来确定圆心与半径． 考虑P⊥Q，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足M⊥； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 考虑P=Q，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足M=，且可得半径MQ=P． 即可确定圆M 位置，任意时刻均有△P △QM ≌ ． 如图，△PQ 是直角三角形，∠PQ=90°且P=2Q，当P 在圆运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】考虑P⊥Q，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足M⊥； 考虑P:Q=2:1，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足:M=2:1． 即可确定圆M 位置，任意时刻均有△P∽△QM，且相似比为2． 【模型总结】 为了便于区分动点P、Q，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PQ 是定值）； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（P:Q 是定值）． 【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠PQ=∠M； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比： P:Q=:M，也等于两圆半径之比． 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与P 的关系相当于旋转+伸缩． 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”． 考点05 将军饮马 1 两定（异侧），一动 2 两定（同侧），一动 3 一定，两动 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 4 两动，两动 知识提炼： 折线问题→→→（利用轴对称的性质）→→→两点间线段最短问题 1 如图，△B 中，B＝＝10，t＝2，BE⊥于点E，D 是线段BE 上的一个动点，则 的最小值是( ) 【答】B 【详解】 如图，作D⊥B 于，M⊥B 于M． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm BE⊥ ∵ ， ∠EB=90° ∴ ， t= ∵ =2，设E=，BE=2， 则有：100=2+42， ∴2=20， =2 ∴ 或-2 （舍弃）， BE=2=4 ∴ ， B= ∵ ，BE⊥，M⊥B， M=BE=4 ∴ （等腰三角形两腰上的高相等）） ∠DB=∠BE ∵ ，∠BD=∠BE， ∴ ， D= ∴ BD， D+ ∴ BD=D+D， D+D≥M ∴ ， D+ ∴ BD≥4 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm D+ ∴ BD 的最小值为4 ． 故选B． 2 如图，在ABC  中，∠B=90°，B=12，=9，以点为圆心，6 为半径的圆上有一个动点 D．连接D、BD、D，则2D+3BD 的最小值是 ． A B C D 【分析】首先对问题作变式2D+3BD= ，故求 最小值即可． 考虑到D 点轨迹是圆，是定点，且要求构造 ，条件已经足够明显． 当D 点运动到边时，D=3，此时在线段D 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中， 始终存在 ． M A B C D D C B A M 问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM，BM 长度的3 倍即为本题答． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm D C B A M 3 如图，已知正方BD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则 的最大值为_______． A B C D P 【分析】当P 点运动到B 边上时，此时P=2，根据题意要求构造 ，在B 上取M 使 得此时PM=1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM= ，从而将问题转化为求PD- PM 的最大值． A B C D P M M P D C B A 连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm A B C D P M M P D C B A 4．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图， ， 是正方形 的边 的三等分点， 是对角线 上的动点，当 取得最小值时， 的值是___________． 【答】 【分析】作点F 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，此时 取得最小值， 过点 作 的垂线段，交 于点K，根据题意可知点 落在 上，设正方形的边长 为 ，求得 的边长，证明 ，可得 ，即可解答． 【详解】解：作点F 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，过点 作 的垂线 段，交 于点K， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 由题意得：此时 落在 上，且根据对称的性质，当P 点与 重合时 取得最小 值， 设正方形 的边长为，则 ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 取得最小值时， 的值是为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方 形的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 5 如图，将 绕点 逆时针旋转60°得到 ， 与 交于点 ，可推出结论： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 问题解决：如图，在 中， ， ， ．点 是 内一点，则点 到 三个顶点的距离和的最小值是___________ 【答】 【详解】 如图，将△MG 绕点M 逆时针旋转60°，得到△MPQ， 显然△MP 为等边三角形， ∴，M＋G＝P＋PQ， ∴点到三顶点的距离为：＋M＋G＝＋P＋PQ， ∴当点、、P、Q 在同一条直线上时，有＋M＋G 最小， 此时，∠MQ＝75°+60°＝135°， 过Q 作Q⊥M 交M 的延长线于，则∠MQ=90°， ∠MQ ∴ ＝180°-∠MQ=45°， MQ ∵ ＝MG＝4 ， Q ∴ ＝M＝MQ•s45°=4， Q ∴ ＝ ， 故答为： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 6．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在矩形 中， ，动点 在矩形 的边上沿 运动．当点 不与点 重合时，将 沿 对折，得到 ，连接 ，则在点 的运动过程中，线段 的最小值为__________． 【答】 【分析】根据折叠的性质得出 在 为圆心， 为半径的弧上运动，进而分类讨论当点 在 上时，当点 在 上时，当 在 上时，即可求解． 【详解】解：∵在矩形 中， ， ∴ ， ， 如图所示，当点 在 上时， ∵ ∴ 在 为圆心， 为半径的弧上运动， 当 三点共线时， 最短， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 此时 ， 当点 在 上时，如图所示， 此时 当 在 上时，如图所示，此时 综上所述， 的最小值为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠 的性质是解题的关键． 7．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2 的正方形 中，E，F 分别是 上的动点，M，分别是 的中点，则 的最大值为______． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】 【分析】首先证明出 是 的中位线，得到 ，然后由正方形的性质和勾 股定理得到 ，证明出当 最大时， 最大，此时 最大， 进而得到当点E 和点重合时， 最大，即 的长度，最后代入求解即可． 【详解】如图所示，连接 ， ∵M，分别是 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ∴当 最大时， 最大，此时 最大， ∵点E 是 上的动点， ∴当点E 和点重合时， 最大，即 的长度， ∴此时 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∴ 的最大值为 ． 故答为： ． 【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键 是熟练掌握以上知识点． 8．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，点E 在线段 上运动，点F 在线段 上， ，则线段 的最小值为__________． 【答】 【分析】设 的中点为，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ，证 明 ，可知点F 在以 为直径的半圆上运动，当点F 运动到 与 的交点 时，线段 有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设 的中点为，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴点F 在以 为直径的半圆上运动， ∴当点F 运动到 与 的交点 时，线段 有最小值， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， 的最小值为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析 得到点F 的运动轨迹是解题的关键． 9．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线 与x 轴，y 轴分别交于，B 两 点，点D 是线段B 上一动点，点是直线 上的一动点，动点 ， 连接 ．当 取最小值时， 的最小值是 ________． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】 【分析】作出点 ，作 于点D，交x 轴于点F，此时 的最小值为 的长，利用解直角三角形求得 ，利用待定系数法求得直线 的解析式，联立 即可求得点D 的坐标，过点D 作 轴于点G，此时 的最小值是 的长， 据此求解即可． 【详解】解：∵直线 与x 轴，y 轴分别交于，B 两点， ∴ ， ， 作点B 关于x 轴的对称点 ，把点 向右平移3 个单位得到 ， 作 于点D，交x 轴于点F，过点 作 交x 轴于点E，则四边形 是 平行四边形， 此时， ， ∴ 有最小值， 作 轴于点P， 则 ， ， ∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ，则 ， 设直线 的解析式为 ， 则 ，解得 ， ∴直线 的解析式为 ， 联立， ，解得 ， 即 ； 过点D 作 轴于点G， 直线 与x 轴的交点为 ，则 ， ∴ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， 即 的最小值是 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关 键是灵活运用所学知识解决问题． 10 如图，在矩形BD 中，B=4，D=6，E 是B 边的中点，F 是线段B 上的动点，将 ΔEBF 沿EF 所在直线折叠得到ΔEB' F，连接B' D，则B' D 的最小值是_____． 【答】 【详解】 如图所示点B'在以E 为圆心E 为半径的圆上运动，当D、B'、E 共线时，B'D 的值最小， 根据