题型6 几何最值（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型六几何最值（专题训练） 1．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， 和 是以点 为直角顶点的等腰直 角三角形，把 以 为中心顺时针旋转，点 为射线 、 的交点．若 ， ．以下结论： ① ；② ； ③当点 在 的延长线上时， ； ④在旋转过程中，当线段 最短时， 的面积为 ． 其中正确结论有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】D 【分析】证明 即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明 得出 ，即可判断③；以 为圆心， 为半径画圆，当 在 的下方与 相切时， 的值最小，可得四边形 是正方形，在 中 ，然后根据三角形的面积公式即可判断④． 【详解】解：∵ 和 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∴ ， ∴ ， ，故①正确； 设 ， ∴ , ∴ ， ∴ ，故②正确； 当点 在 的延长线上时，如图所示 ∵ ， ， ∴ ∴ ∵ ， ． ∴ ， ∴ ∴ ，故③正确； ④如图所示，以 为圆心， 为半径画圆， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴当 在 的下方与 相切时， 的值最小， ∴四边形 是矩形， 又 ， ∴四边形 是正方形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ∴ 取得最小值时， ∴ 故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最 短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2 如图，在矩形纸片BD 中， ， ，点E 是B 的中点，点F 是D 边上的一 个动点，将 沿EF 所在直线翻折，得到 ，则 的长的最小值是 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B．3 ． D． 【答】D 【详解】 以点E 为圆心，E 长度为半径作圆，连接E，当点 在线段E 上时， 的长取最小值， 如图所示， 根据折叠可知： ． 在 中， ， ， ， ， 的最小值 ． 故选D． 3 如图，△B 中，B＝＝10，t＝2，BE⊥于点E，D 是线段BE 上的一个动点，则 的最小值是( ) 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】B 【详解】 如图，作D B ⊥ 于，M B ⊥ 于M． BE ∵ ⊥， EB=90° ∴∠ ， t= ∵ =2，设E=，BE=2， 则有：100=2+42， 2=20 ∴ ， =2 ∴ 或-2 （舍弃）， BE=2=4 ∴ ， B= ∵ ，BE⊥，M B ⊥， M=BE=4 ∴ （等腰三角形两腰上的高相等）） DB= BE ∵∠ ∠ ，∠BD= BE ∠ ， ∴ ， D= ∴ BD， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm D+ ∴ BD=D+D， D+D≥M ∴ ， D+ ∴ BD≥4 ， D+ ∴ BD 的最小值为4 ． 故选B． 4 如图，在 中， ， ， ，点是B 的三等分点，半圆与相 切，M，分别是B 与半圆弧上的动点，则M 的最小值和最大值之和是（ ） ．5 B．6 ．7 D．8 【答】B 【详解】 如图，设⊙与相切于点D，连接D，作 垂足为P 交⊙于F， 此时垂线段P 最短，PF 最小值为 ， ∵ ， ， ∴ ∵ ， ∴ ∵点是B 的三等分点， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ， ∴ ， ∵⊙与相切于点D， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， M ∴ 最小值为 ， 如图，当在B 边上时，M 与B 重合时，M 经过圆心，经过圆心的弦最长， M 最大值 ， , M ∴ 长的最大值与最小值的和是6． 故选B． 6．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，正方形 的边长为4，点 ， 分别在边 ， 上，且 ， 平分 ，连接 ，分别交 ， 于点 ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 是线段 上的一个动点，过点 作 垂足为 ，连接 ，有下列四个结论：① 垂直平分 ；② 的最小值为 ；③ ；④ ．其 中正确的是（ ） ．①② B．②③④ ．①③④ D．①③ 【答】D 【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明 ，通过等量转化即可求 证 ，利用角平分线的性质和公共边即可证明 ，从而推出① 的结论；利用①中的部分结果可证明 推出 ，通过等量代换 可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出 和 长度，最后通过面积法 即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出 的最小值，从而证明 ②不对 【详解】解： 为正方形， ， ， ， ， , , ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 平分 ， ， ， ， 垂直平分 ， 故①正确 由①可知， ， ， ， ， ， 由①可知 ， 故③正确 为正方形，且边长为4， ， 在 中， 由①可知， ， ， 由图可知， 和 等高，设高为， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， 故④不正确 由①可知， ， ， 关于线段 的对称点为 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ， 最小即为 ，如图所示， 由④可知 的高 即为图中的 ， 故②不正确 综上所述，正确的是①③ 故选：D 【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三 角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点 7 如图，四边形BD 是菱形，B=4，且∠B=∠BE=60°，G 为对角线BD（不含B 点）上 任意一点，将△BG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF，当G+BG+G 取最小值时EF 的长 （ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B． ． D． 【答】D 【详解】 解：如图， ∵将△BG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF， BE=B=B ∴ ，BF=BG，EF=G， BFG ∴△ 是等边三角形． BF=BG=FG ∴ ，． G+BG+G=FE+GF+G ∴ ． 根据“两点之间线段最短”， ∴当G 点位于BD 与E 的交点处时，G+BG+G 的值最小，即等于E 的长， 过E 点作EF B ⊥ 交B 的延长线于F， EBF=180°-120°=60° ∴∠ ， B=4 ∵ ， BF=2 ∴ ，EF=2 ，在Rt EF △ 中， EF2+F2=E2 ∵ ， E=4 ∴ ． BE=120° ∵∠ ， BEF=30° ∴∠ ， EBF= BG=30° ∵∠ ∠ ， EF=BF=FG ∴ ， EF= ∴ E= ， 故选：D． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 8．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图， 的圆心与正方形的中心重合，已知 的 半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）． ． B．2 ． D． 【答】D 【分析】设正方形四个顶点分别为 ，连接 并延长，交 于点 ，由题意 可得， 的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可． 【详解】解：设正方形四个顶点分别为 ，连接 并延长，交 于点 ，过 点 作 ，如下图： 则 的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值， 由题意可得： ， 由勾股定理可得： ， ∴ ， 故选：D 【点睛】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 形的性质，确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置． 9．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图， ， 是正方形 的边 的三等分点， 是对角线 上的动点，当 取得最小值时， 的值是___________． 【答】 【分析】作点F 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，此时 取得最小值， 过点 作 的垂线段，交 于点K，根据题意可知点 落在 上，设正方形的边长 为 ，求得 的边长，证明 ，可得 ，即可解答． 【详解】解：作点F 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，过点 作 的垂线 段，交 于点K， 由题意得：此时 落在 上，且根据对称的性质，当P 点与 重合时 取得最小 值， 设正方形 的边长为，则 ， 四边形 是正方形， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 取得最小值时， 的值是为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方 形的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 10．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段 ，点 是线段 上的动点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，在 的上方作 ，使 ，点 为 的中点，连接 ，当 最小时， 的面积为____ _______． 【答】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】连接 ， 交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得 垂直平分 ， 为定角，可得点F 在射线 上运动，当 时， 最小，由含30 度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接 ， 交于点P，如图， ∵ ，点 为 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ , ∴ 是等边三角形， ∴ ； ∵线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ， ∴ ， ∵ ， ∴ 垂直平分 ， ， ∴点F 在射线 上运动， ∴当 时， 最小， 此时 ， ∴ ； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴由勾股定理得 ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ； 故答为： ． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30 度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定 理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F 的运动路径是关键与难点． 11 如图， 中， ， ， ， 是 内部的一个动点， 且满足 ，则线段 长的最小值为________ 【答】2： 【详解】 PB+ PB=90° ∵∠ ∠ PB=90° ∴∠ ∴点P 在以B 为直径的弧上（P 在△B 内） 设以B 为直径的圆心为点，如图 接，交☉于点P，此时的P 最短 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm B=6 ∵ ， B=3 ∴ B=4 ∵ ∴ P=5-3=2 ∴ 12 如图，正方形BD 的边长为4，E 为B 上一点，且BE=1，F 为B 边上的一个动点，连 接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接G，则G 的最小值为 ． 【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求G 最小值，可以将 F 点看成是由点B 向点运动，由此作出G 点轨迹： 考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置， 初始时刻G 点在 位置，最终G 点在 位置（ 不一定在D 边）， 即为 G 点运动轨迹． G 最小值即当G⊥ 的时候取到，作⊥ 于点，即为所求的最小值． 根据模型可知： 与B 夹角为60°，故 ⊥ ． 过点E 作EF⊥于点F，则F= =1，F= ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 所以= ，因此G 的最小值为 ． 13 如图，矩形 中， ， ，点 是矩形 内一动点，且 ，则 的最小值为_____． 【答】 【详解】 为矩形， 又 点 到 的距离与到 的距离相等，即点 线段 垂直平分线 上， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 连接 ，交 与点 ，此时 的值最小， 且 故答为： 14 如图，在△B 中，∠B＝90°，∠＝30°，B＝5，点P 是上的动点，连接BP，以BP 为边 作等边△BPQ，连接Q，则点P 在运动过程中，线段Q 长度的最小值是______． 【答】5 4 ． 【详解】 解：如图，取B 的中点E，连接E，PE． ∠B=90° ∵ ，∠=30°， ∠BE=60° ∴ ， BE=E ∵ ， E=BE=E ∴ ， △BE ∴ 是等边三角形， B=BE ∴ ， ∠PBQ=∠BE=60° ∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∠QB=∠PBE ∴ ， QB=PB ∵ ，B=EB， △QB △PBE ∴ ≌ （SS）， Q=PE ∴ ， ∴当EP⊥时，Q 的值最小， 在Rt△EP 中，∵E=5 2，∠=30°， PE= ∴ 1 2E=5 4 ， Q ∴ 的最小值为5 4 ． 故答为：5 4 15 如图，在正方形BD 中，B＝8，与BD 交于点，是的中点，点M 在B 边上，且BM＝ 6．P 为对角线BD 上一点，则PM P ﹣ 的最大值为 ． 【答】2 【分析】作以BD 为对称轴作的对称点'，连接P'，M'，依据PM P ﹣＝PM P'≤M' ﹣ ，可 得当P，M，'三点共线时，取“＝”，再求得 ＝ ，即可得出PM∥B∥D， ∠M'＝90°，再根据△'M 为等腰直角三角形，即可得到M＝M'＝2． 【解答】解：如图所示，作以BD 为对称轴作的对称点'，连接P'，M'， 根据轴对称性质可知，P＝P'， PM P ∴ ﹣＝PM P'≤M' ﹣ ， 当P，M，'三点共线时，取“＝”， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵正方形边长为8， ∴＝ B＝ ， ∵为中点， ∴＝＝ ， ∵为中点， ∴＝ ， ' ∴＝'＝ ， ' ∴＝ ， BM ∵ ＝6， M ∴ ＝B BM ﹣ ＝8 6 ﹣＝2， ∴ ＝ PM∥B∥D ∴ ，∠M'＝90°， ∠'M ∵ ＝45°， △'M ∴ 为等腰直角三角形， M ∴ ＝M'＝2， 即PM P ﹣ 的最大值为2， 故答为：2． 【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一 般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 16 如图， 是等边三角形， ，是 的中点， 是 边上的中线，M 是 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 上的一个动点，连接 ，则 的最小值是________． 【答】 【分析】 根据题意可知要求BM+M 的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，M 的值，从而找出 其最小值，进而根据勾股定理求出，即可求出答． 【解析】 解：连接，与D 交于点M，连接BM．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最 短）， 是 边上的中线即和B 关于D 对称，则BM+M=，则就是BM+M 的最小值． ∵ 是等边三角形， ，是 的中点， =B=6,= ∴ B=3, , ∴ 即BM+M 的最小值为 ． 故答为： 【点睛】 本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质， 等腰三角形的性质等知识点的综合运用． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 17 如图，在ABC  中，∠B=90°，B=12，=9，以点为圆心，6 为半径的圆上有一个动 点D．连接D、BD、D，则2D+3BD 的最小值是 ． A B C D 【分析】首先对问题作变式2D+3BD= ，故求 最小值即可． 考虑到D 点轨迹是圆，是定点，且要求构造 ，条件已经足够明显． 当D 点运动到边时，D=3，此时在线段D 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中， 始终存在 ． M A B C D D C B A M 问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM，BM 长度的3 倍即为本题答． D C B A M 18 如图，四边形BD 中，B∥D，∠B＝60°，D＝B＝D＝4，点M 是四边形BD 内的一个 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 动点，满足∠MD＝90°，则点M 到直线B 的距离的最小值为_____． 【答】 【解析】 【分析】 取D 的中点，连接M，过点M 作ME⊥B 交B 的延长线于E，点点作F⊥B 于F，交D 于G，则M+ME≥F．求出M，F 即可解决问题． 【详解】 解：取D 的中点，连接M，过点M 作ME⊥B 交B 的延长线于E，点点作F⊥B 于F，交 D 于G，则M+ME≥F． ∠MD ∵ ＝90°，D＝4，＝D， M ∴ ＝ D＝2， B∥D ∵ ， ∠GF ∴ ＝∠B＝60°， ∠DG ∴ ＝∠GE＝30°， D ∵ ＝B， ∠DB ∴ ＝∠B＝60°， ∠D ∴ ＝∠BD＝120°， ∠DG ∴ ＝30°＝∠DG， DG ∴ ＝D＝2， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm D ∵ ＝4， G ∴＝2， G ∴＝2 ，GF＝ ，F＝3 ， ME≥F M ∴ ﹣ ＝3 2 ﹣， ∴当，M，E 共线时，ME 的值最小，最小值为3 2 ﹣． 【点睛】 本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是 学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 19 如图，四边形 是菱形， B=6，且∠B=60° ，M 是菱形内任一点，连接 M，BM，M，则M+BM+M 的最小值为________． 【答】 【详解】 将△BM 绕点B 顺时针旋转60 度得到△BE，∵BM=B，∠MB=∠BE=60