压轴题03 几何背景下的线段最值问题（3题型+解题模板+技巧精讲）（原卷版）

压轴题解题模板03 几何背景下的线段最值问题 目 录 题型一 垂线段最短问题 题型二 将军饮马问题 题型三 旋转最值问题 题型解读： 线段最值问题在中考中常常以选择题和填空题的 形式出现，分值较小但难度较高此类题型多综合考查 垂线段最短、"将军饮马"及旋转最值问题，一般要用 到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、勾股定理 和二次函数等相关知识，以及数形结合、分类讨论、 转化与化归等数学思想 此类题型常涉及以下问题：① 线段和差最值问题；②尺规作图问题；③旋转“费马 点”问题；④点到直线的距离最值问题等 下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的 考查热度 题型1 题型2 题型3 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 考试热度 题型一 垂线段最短问题 解题模板： 技巧精讲：垂线段最短模型 【例1】如图，在Rt△B 中，∠B＝90°且B＝3，＝4，点D 是斜边B 上的一个动点，过点D 分别作DM⊥B 于点M，D⊥于点，连接M，则线段M 的最小值为（ ） ． B． ．3 D．4 【变式1-1】如图，在Rt△B 中，∠＝90°，D 是∠B 的平分线，点E 是B 上任意一点．若D＝5，则DE 的最 小值等于（ ） ．25 B．4 ．5 D．10 【变式1-2】如图,在B 中,B=90°,=B=4,点D 是B 边的中点,点P 是边上一个动点,连接PD,以PD 为边 在PD 的下方作等边三角形PDQ,连接Q 则Q 的最小值是( ） ❑ √3 2 B1 ❑ √2 D3 2 题型二 将军饮马问题 解题模板： 技巧精讲： 1、“将军饮马”模型 2、线段差最大值问题模型： 【例2】（德州中考）如图，正方形BD 的边长为6，点E 在B 上，E＝2．点M 是对角线BD 上的一个动点， 则EM+M 的最小值是（ ） ． B． ． D． 【变式2-1】（菏泽中考）如图，在菱形BD 中，B＝2，∠B＝60°，M 是对角线BD 上的一个动点，F＝ BF，则M+MF 的最小值为（ ） ．1 B． ． D．2 【变式2-2】如图，等腰三角形B 的底边B 长为6，腰的垂直平分线EF 分别交边，B 于点E，F，D 为B 边的中点，M 为线段EF 上一动点，若△DM 的周长的最小值为13，则等腰三角形B 的面积为（ ） ．78 B．39 ．42 D．30 【变式2-3】已知点P 在 内． (1)如图①，点P 关于射线 的对称点分别是G、，连接 ． ①若 ，则 是什么特殊三角形？为什么？ ②若 ，试判断 与 的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若 ， 、B 分别是射线 上的点， 于点B，点P、Q 分别为 上的两个定点，且 ， ，在 上有一动点E，试求 的最小值． 【变式2-4】（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形 中， ，点P 在对角线 上，过点P 作 ，交边 于点M，，过点M 作 交 于点E，连接 ． 下列结论：① ；②四边形 的面积不变；③当 时， ；④ 的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ． 题型三 旋转最值问题 解题模板： 技巧精讲：旋转求最值模型 【例3】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 是边长为的等边三角形，点 为高 上的动 点．连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是 ． 【变式3-1】如图，在 中， ，P 是 内一点，求 的最小 值为 ． 【变式3-2】如图，已知矩形BD，B＝4，B＝6，点M 为矩形内一点，点E 为B 边上任意一点，则M＋ MD＋ME 的最小值为 ． 【变式3-3】如图，正方形 的边长为4，点 是正方形内部一点，求 的最小值． 一、单选题 1．如图， 的面积为12， ， 与 交于点．分别过点，D 作 ， 的平行线相 交于点F，点G 是 的中点，点P 是四边形 边上的动点，则 的最小值是（ ） ．1 B． ． D．3 2．已知在 中， ， ．点 为边 上的动点，点 为边 上的动点， 则线段 的最小值是（ ） ． B． ． D． 二、填空题 3．如图，P 是菱形BD 对角线BD 上一点，PE⊥B 于点E，PE＝4m， 则点P 到B 的距离是 m． 4．如图，在 中， ．P 为边 上一动点，作 于点D， 于点 E，则 的最小值为 ． 5．如图，在 中， ， ， ，按下列步骤作图：①在 和 上分别 截取 、 ，使 ．②分别以点D 和点E 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P 是线段 上的一个动点，连接 ，则 的最小值是 ． 6．菱形 的边长为2， ，点 、 分别是 、 上的动点， 的最小值为 ． 7．如图，在 中， ， ，点 在直线 上， ，点 为 上一动 点，连接 ， ． （Ⅰ）使 取最小值的动点 的位置在点 的 侧（填“左”或“右”）． （Ⅱ）当 的值最小时，请直接写出 的度数 ． 三、解答题 8．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，点的坐标为 ．点B 的坐标为 ，点 的坐标为 ． (1)作出 关于y 轴对称的 ，其中 ， ， 分别是，B，的对应点； (2)写出 的坐标； (3)在x 轴上找一点P，使得 的值最小．（保留作图痕迹） 9．如图1：正方形 的边长为3，E 是直线 上一动点，连接 ，在 的右侧以为直角顶点作等 腰直角三角形 ，连接 ， ． (1)当点E 在线段 上运动时，试判断 与 的数量关系，并说明理由． (2)当 时，求 的长． (3)如图2，连接BF，则 的最小值为______． 10． 中， ． (1)如图1，若 ， 平分 交 于点 ，且 ．证明： ； (2)如图2，若 ，取 中点 ，将 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 并延长至 ，使 ，猜想线段 、 、 之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若 ， 为平面内一点，将 沿直线 翻折至 ，当 取得 最小值时，直接写出 的值． 11．如图，△B 中，∠B＝45°，B＝6，＝4，P 为平面内一点，求 最小值 12．在正方形BD 中，点E 为对角线（不含点）上任意一点，B= ； （1）如图1，将△DE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DF，连接EF； ①把图形补充完整（无需写画法）； ②求 的取值范围； (2)如图2，求BE+E+DE 的最小值．