压轴题03 几何背景下的线段最值问题（3题型+解题模板+技巧精讲）（解析版）

压轴题解题模板03 几何背景下的线段最值问题 目 录 题型一 垂线段最短问题 题型二 将军饮马问题 题型三 旋转最值问题 题型解读： 线段最值问题在中考中常常以选择题和填空题的 形式出现，分值较小但难度较高此类题型多综合考查 垂线段最短、"将军饮马"及旋转最值问题，一般要用 到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、勾股定理 和二次函数等相关知识，以及数形结合、分类讨论、 转化与化归等数学思想 此类题型常涉及以下问题：① 线段和差最值问题；②尺规作图问题；③旋转“费马 点”问题；④点到直线的距离最值问题等 下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的 考查热度 题型1 题型2 题型3 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 考试热度 题型一 垂线段最短问题 解题模板： 技巧精讲：垂线段最短模型 【例1】如图，在Rt△B 中，∠B＝90°且B＝3，＝4，点D 是斜边B 上的一个动点，过点D 分别作DM⊥B 于点M，D⊥于点，连接M，则线段M 的最小值为（ ） ． B． ．3 D．4 【分析】由勾股定理求出B 的长，再证明四边形DM 是矩形，可得M＝D，根据垂线段最短和三角形面 积即可解决问题． 【解答】解：∵∠B＝90°，且B＝3，＝4， ∴B＝ ＝5， ∵DM⊥B，D⊥， ∴∠DM＝∠D＝∠B＝90°， ∴四边形DM 是矩形， ∴M＝D， ∴当D⊥B 时，D 的值最小， 此时，△B 的面积＝ B×＝ B×D， ∴D＝ ， ∴M 的最小值为 ； 故选：． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练 掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式1-1】如图，在Rt△B 中，∠＝90°，D 是∠B 的平分线，点E 是B 上任意一点．若D＝5，则DE 的最 小值等于（ ） ．25 B．4 ．5 D．10 【分析】根据角平分线的性质即可得到即可， 【解答】解：当DE⊥B 时，DE 的值最小， ∵D 是∠B 的平分线，∠＝90°，D＝5， ∴DE 的最小值＝D＝5， 故选：． 【点评】本题考查的是角平分线性质，关键是知道垂线段最短，本题比较典型，难度适中． 【变式1-2】如图,在B 中,B=90°,=B=4,点D 是B 边的中点,点P 是边上一个动点,连接PD,以PD 为边 在PD 的下方作等边三角形PDQ,连接Q 则Q 的最小值是( ） ❑ √3 2 B1 ❑ √2 D3 2 如图，D 的上方,作等边DM,连接PM,过点M 作MLB 于 △DPQ, △DM ∵ 都是等边三角形 ∠DM=∠PDQ=60° ∴ DP=DQ, DM=D, ∴ △DPM △DQ(SS), ∴ ≌ PM=Q ∴ PM ∴ 的值最小时，Q 的值最小， 当PM⊥M 时，PM 的最小值==1 2D=1 Q ∴ 的最小值为1 故选:B 题型二 将军饮马问题 解题模板： 技巧精讲： 1、“将军饮马”模型 2、线段差最大值问题模型： 【例2】（德州中考）如图，正方形BD 的边长为6，点E 在B 上，E＝2．点M 是对角线BD 上的一个动点， 则EM+M 的最小值是（ ） ． B． ． D． 【分析】要求ME+M 的最小值，ME、M 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME，M 的值，从而找 出其最小值求解． 【解答】解：如图，连接E 交BD 于M 点， ∵、关于BD 对称， ∴E 就是ME+M 的最小值， ∵正方形BD 中，点E 是B 上的一定点，且BE＝B﹣E＝6 2 ﹣＝4， ∵B＝ ， ∴E＝ ＝2 ， ∴ME+M 的最小值是2 ． 故选：． 【点评】本题主要考查的是轴对称﹣﹣路径最短问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当点、 M、E 在一条直线上时，ME+M 有最小值是解题的关键． 【变式2-1】（菏泽中考）如图，在菱形BD 中，B＝2，∠B＝60°，M 是对角线BD 上的一个动点，F＝ BF，则M+MF 的最小值为（ ） ．1 B． ． D．2 【分析】当M+MF 的值最小时，、M、F 三点共线，即求F 的长度，根据题意判断△B 为等边三角形， 且F 点为B 的中点，根据直角三角形的性质，求出F 的长度即可． 【解答】解：当、M、F 三点共线时，即当M 点位于M′时，M+MF 的值最小， 由菱形的性质可知， B＝B， 又∵∠B＝60°， ∴△B 为等边三角形， ∵F 点为B 的中点，B＝2， ∴F⊥B，F＝FB＝1， ∴在Rt△BF 中，F＝ ＝ ． 故选：． 【点评】本题考查最短路线问题、等边三角形的性质和菱形的性质，确定M+MF 的最小值为F 的长度是关 键． 【变式2-2】如图，等腰三角形B 的底边B 长为6，腰的垂直平分线EF 分别交边，B 于点E，F，D 为B 边的中点，M 为线段EF 上一动点，若△DM 的周长的最小值为13，则等腰三角形B 的面积为（ ） ．78 B．39 ．42 D．30 【答】D 【详解】如图，连接D，交EF 于点M． ∵△B 是等腰三角形，D 是B 边的中点，∴D⊥B，D= B=3．∵EF 是线段的垂直平分线， ∴点关于直线EF 的对称点为，M=M，∴此时△DM 的周长最小，∴M+DM+D=M+DM+D=D+D=13， ∴D=13－D=13－3=10，∴S△B= B·D= ×6×10=30． 【变式2-3】已知点P 在 内． (1)如图①，点P 关于射线 的对称点分别是G、，连接 ． ①若 ，则 是什么特殊三角形？为什么？ ②若 ，试判断 与 的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若 ， 、B 分别是射线 上的点， 于点B，点P、Q 分别为 上的两个定点，且 ， ，在 上有一动点E，试求 的最小值． 【答】(1)① 是等边三角形，理由见解析；② ，理由见解析 (2) 的最小值为5． 【分析】（1）①由轴对称的性质可得 ， ， ．根据“有一 个角是 的等腰三角形是等边三角形”即可得出 是等边三角形；②当 时， ，G、、在同一直线上，由此可得 与 的数量关系； （2）过Q 作 的对称点 ，连接 ，交 于点E，连接 ，则 的最小值为 ，由已知条 件可得 ，易得 ， ，由此可得 是等边三角形，即可得 的长，即 的最小值． 【详解】（1）解：① 是等边三角形， ∵点P 关于 对称的点为G， ∴ ， ， 同理 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形． ② ， 当 时， ， ∴G、、在同一直线上， ． ∵ ， ∴ ； （2）解：过Q 作 的对称点 ，连接 ，交 于点E，连接 ， ∴ 最小值为 ． ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵点Q 与 关于 对称， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， 即 的最小值为5． 【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴 对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键． 【变式2-4】（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形 中， ，点P 在对角线 上，过点P 作 ，交边 于点M，，过点M 作 交 于点E，连接 ． 下列结论：① ；②四边形 的面积不变；③当 时， ；④ 的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ． 【答】②③④ 【分析】根据等腰三角形的三线合一可知 ，可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出 ， ，，利用 判断②；根据相似可以得到 ，判断③；利用将军 饮马问题求出最小值判断④． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， 在点P 移动过程中，不一定 ， 相矛盾， 故①不正确； 延长 交 于点, 则 为矩形， ∴ ∵ ， ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得： ， ∴ 故②正确； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故③正确， ， 即当 的最小值，作B、D 关于 的对称点 , 把图中的 向上平移到图2 位置，使得 ，连接 ，即 为 的最小值，则 ， , 这时 ， 即 的最小值是20， 故④正确； 故答为：②③④ 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题 的关键． 题型三 旋转最值问题 解题模板： 技巧精讲：旋转求最值模型 【例3】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 是边长为的等边三角形，点 为高 上的动 点．连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是 ． 【答】 / 【分析】根据题意，证明 ，进而得出 点在射线 上运动，作点 关于 的对称点 ， 连接 ，设 交 于点 ，则 ，则当 三点共线时， 取得最小值，即 ，进而求得 ，即可求解． 【详解】解：∵ 为高 上的动点． ∴ ∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ． 是边长为的等边三角形， ∴ ∴ ∴ ， ∴ 点在射线 上运动， 如图所示， 作点 关于 的对称点 ，连接 ，设 交 于点 ，则 在 中， ，则 ， 则当 三点共线时， 取得最小值，即 ∵ ， ， ∴ ∴ 在 中， , ∴ 周长的最小值为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定， 勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键． 【变式3-1】如图，在 中， ，P 是 内一点，求 的最小 值为 ． 【答】 【分析】将△P 绕点顺时针旋转 得△DF，可得P=PF，DF=P，将 转化为 ，此 时当B、P、F、D 四点共线时， 的值最小，最小值为BD 的长；根据勾股定理求解即可． 【详解】解：将△P 绕点顺时针旋转 得△DF，连接PF、D、DB，过点D 作DE⊥B，交B 的延长线于点 E； ∴P=DF，∠PF=∠D= ，P=F，=D， ∴△PF、△D 是等边三角形， ∴P=PF，D==1，∠D= ∴ ， ∴当B、P、F、D 四点共线时， 的值最小，最小值为BD 的长； ∵ ，∠D= ， ∴∠ED= ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的值最小值为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△P 绕点顺时针旋转 得△DF，将三条线段的长转化到 一条直线上． 【变式3-2】如图，已知矩形BD，B＝4，B＝6，点M 为矩形内一点，点E 为B 边上任意一点，则M＋ MD＋ME 的最小值为 ． 【答】 【分析】将△MD 绕点逆时针旋转60°得到△M′D′，则MD＝M′D′，△DD′和△MM′均为等边三角形，推出M＝ MM′可得M＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共线时最短；由于点E 也为动点，可得当D′E⊥B 时最短，此 时易求得D′E＝DG＋GE 的值； 【详解】解：将△MD 绕点逆时针旋转60°得到△M′D′， 由性质的性质可知：MD＝M′D′，△DD′和△MM′均为等边三角形， ∴M＝MM′， ∴M＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME， ∴D′M、MM′、ME 共线时最短， 由于点E 也为动点， ∴当D′E⊥B 时最短，此时易求得D′E＝D′G＋GE＝ ∴M＋MD＋ME 的最小值为 ， 故答为： 【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加 常用辅助线，构造等边三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 【变式3-3】如图，正方形 的边长为4，点 是正方形内部一点，求 的最小值． 【答】 【分析】延长 到 ，使得 ，则 ，在 的内部作射线 ，使得 ，使得 ，连接 ， ， ．先证明 ，可得 ，再证明 ，可得： ，从而得到 ，计算出 的长度 即可． 【详解】解：延长 到 ，使得 ，则 ，在 的内部作射线 ，使得 ，使得 ，连接 ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值最小，最小值为 ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正方形的性质，，正确理解 费马点问题，利用相似构造 与 ，根据系数将图形扩大或缩小构建图形是解决问题的关键． 一、单选题 1．如图， 的面积为12， ， 与 交于点．分别过点，D 作 ， 的平行线相 交于点F，点G 是 的中点，点P 是四边形 边上的动点，则 的最小值是（ ） ．1 B． ． D．3 【答】 【分析】先证明 ，四边形 是菱形，如图，连接 ， ，而点G 是 的中点，可得 为 菱形对角线的交点， ，当 时， 最小，再利用等面积法求解最小值即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ 是矩形， ∴ ， ∵ ， ， ∴四边形 是菱形， 如图，连接 ， ，而点G 是 的中点， ∴ 为菱形对角线的交点， ， ∴当 时， 最小， ∵ 即矩形 的面积为12， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 由菱形的性质可得： ， ∴ ， ∴ ，即 的最小值为1． 故选 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂线段最短的含义， 理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 2．已知在 中， ， ．点 为边 上的动点，点 为边 上的动点， 则线段 的最小值是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】作点F 关于直线B 的对称点F’，如下图所示，此时EF+EB= EF’+EB，再由点到直线的距离垂线 段长度最短求解即可． 【详解】解：作点F 关于直线B 的对称点F’，连接F’，如下图所示： 由对称性可知，EF=EF’， 此时EF+EB= EF’+EB， 由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知， 当BF’⊥F’时，EF+EB 有最小值BF0，此时E 位于上图中的E0位置， 由对称性知，∠F0=∠B=90°-75°=15°， ∴∠BF0=30°， 由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知， BF0= B= ， 故选：B． 【点睛】本题考查了30°角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题的核心思路是作 点F 关于的对称点，将EF 线段转移，再由点到直线的距离最短求解． 二、填空题 3．如图，P 是菱形BD 对角线BD 上一点，PE⊥B 于点E，PE＝4m， 则点P 到B 的距离是 m． 【答】4 【分析】利用菱形对角线平分一组对角，得到BD 平分∠B，再利用角平分线的性质可得P 到B 的距离为 4m 【详解】根据菱形对角线平分一组对角， ∴BD 平分∠B， ∴P 到B 的距离=P 到B 的距离， ∵P 到B 的距离为PE 的长，即为4m， ∴P 到B 的距离为4m， 故答为：4 【点睛】本题考查了菱形的性质和角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键 4．如图，在 中， ．P 为边 上一动点，作 于点D， 于点 E，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】连接 ，利用勾股定理列式求出 ，判断出四边形 是矩形，根据矩形的对角线相等可得 ，再根据垂线段最短可得 时，线段 的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出 方程求解即可． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ 于点D， 于点E， ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， 由垂线段最短可得 时，线段 的值最小，此时线段 的值最小， 此时， ， 代入数据： ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出 时，线段 的 值最小是解题的关键． 5．如图，在 中， ， ， ，按下列步骤作图：①在 和 上分别 截取 、 ，使 ．②分别以点D 和点E 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P 是线段 上的一个动点，连接 ，则 的最小值是 ． 【答】 【分析】过点P 作 于点Q，过点作 于点，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出 ，然后利用含 的直角三角的性质得出 ，则 ，当、P、 Q 三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ，利用含 的直角三角的性质和 勾股定理求出 ， ，最后利用等面积法求解即可． 【详解】解：过点P 作 于点Q，过点作 于点， 由题意知： 平分 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴当、P、Q 三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 最小值为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含 的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用 等积法求三角形的高或点的线的距离的方法． 6．菱形 的边长为2， ，点 、 分别是 、 上的动点， 的最小值为 ． 【答】 【分析】过点作E⊥B 于E，交BD 于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知E 为FG+G 的 最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ+Q 最小，在直角三角形BE 中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作E⊥B 于E，交BD 于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知E 为FG+G 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ+Q 最小， 菱形 的边长为2， ， 中， PQ+Q 的最小值为 故答为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题 的关键． 7．如图，在 中， ， ，点 在直线 上， ，点 为 上一动 点，连接 ， ． （Ⅰ）使 取最小值的动点 的位置在点 的 侧（填“左”或“右”）． （Ⅱ）当 的值最小时，请直接写出 的度数 ． 【答】 左 /15 度 【分析】本题考查了求将军饮马问题，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等知识． （Ⅰ）作点B 关于直线 对称的点D，连接 ，交直线 于点 ，此时 有最小值，即可得到 点 的位置在点 的左侧； （Ⅱ）当 的值最小时，根据轴对称的性质得到 ，进而得到 ，再证明 ，得到 ，即可得到 ． 【详解】解：（Ⅰ）如图，作点B 关于直线 对称的点D，连接 ，交直线 于点 ，此时 有最小值，此时点 的位置在点 的左侧； （Ⅱ）当 的值最小时， ∵点B 和点D 关于直线 对称， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答为：左， ． 三、解答题 8．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，点的坐标为 ．点B 的坐标为 ，点 的坐标为 ． (1)作出 关于y 轴对称的 ，其中 ， ， 分别是，B，的对应点； (2)写出