题型2 规律探索（复习讲义）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型二 规律探索（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 探索实数中的规律 关于数式规律性问题的一般解题思路： (1)先对给出的特殊数式进行观察、比较； (2)根据观察猜想、归纳出一般规律； (3)用得到的规律去解决其他问题。 对数式进行观察的角度及方法： (1)横向观察：看等号左右两边什么不变，什么在变，以及变化的数字或式子间的关系； (2)纵向观察：将连续的几个式子上下对齐，观察上下对应位置的式子什么不变，什么在变， 以及变化的数字或式子间的关系。 给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某 一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一 般性的结论。这类问题成为探索规律性问题。主要采用归纳法解决。 1 数字猜想型:数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先 猜想，然后通过适当的计算回答问题。 2 数式规律型:数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论， 以列代数式即函数关系式为主要内容 3 图形规律型:多形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合 4 数形结合猜想型:数形结合猜想型问题首先要观察冬形，从中发现冬形的变化方式，再将 冬形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结 出图形的变化规律，进而解决相关问题 1 根据图中数字的规律，若第 个图中的 ，则 的值为（ ） ．100 B．121 ．144 D．169 【答】B 【分析】 分别分析的规律、p 的规律、q 的规律，再找、p、q 之间的联系即可． 【详解】 解：根据图中数据可知： 则 ， ， ∵第 个图中的 ， ∴ ， 解得： 或 (不符合题意，舍去) 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键． 2．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个格小正方形的边长均为 1 个单位长度，以点P 为位似中心作正方形 ，正方形 ，按此规律作下去， 所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形 的顶点坐标分别为 ， ，则顶点 的坐标为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据图象可得移动3 次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律 ． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ， ∴ ， ∵ ，则 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， 故选：． 【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律． 3 将从1 开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4 行第3 列的数为27，则 位于第32 行第13 列的数是（ ） ．2025 B．2023 ．2021 D．2019 【答】B 【分析】 根据数字的变化关系发现规律第行，第列的数据为：2(-1)+1，即可得第32 行，第32 列 的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32 行，第13 列的数据，即可． 【详解】 解：观察数字的变化，发现规律：第行，第列的数据为：2(-1)+1， ∴第32 行，第32 列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985， 根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2， ∴第32 行，第13 列的数据为：1985+2×(32-13)=2023， 故选：B． 【点睛】 本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解 决问题． 4 将字母“”，“”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4 个图形中字母“”的个 数是（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ．9 B．10 ．11 D．12 【答】B 【分析】列举每个图形中的个数，找到规律即可得出答． 【详解】解：第1 个图中的个数为4， 第2 个图中的个数为4+2， 第3 个图中的个数为4+2×2， 第4 个图中的个数为4+2×3=10，故选：B． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中的个数，找到规律：每 个图形比上一个图形多2 个是解题的关键． 5 如图是用黑色棋子摆成的美丽图，按照这样的规律摆下去，第10 个这样的图需要黑色棋 子的个数为（ ） ．148 B．152 ．174 D．202 【分析】观察各图可知，后一个图比前一个图多2（+3）枚棋子，然后写成第个图的通式， 再取＝10 进行计算即可求解． 【解析】根据图形，第1 个图有12 枚棋子， 第2 个图有22 枚棋子， 第3 个图有34 枚棋子， … 第个图有2（1+2+…++2）+2（﹣1）＝2+7+4 枚棋子， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 故第10 个这样的图需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）． 故选：． 6 已知 为实数﹐规定运算： ， ， ， ，……， ．按上述方法计算：当 时， 的值等于（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】 当 时，计算出 ，会发现呈周期性出现，即可得到 的值． 【详解】 解：当 时，计算出 ， 会发现是以： ，循环出现的规律， ， ， 故选：D． 【点睛】 本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中 找到相应的规律，利用其规律来解答． 7．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名 为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过 个时即用汉文数字表示，如十一 烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为 ，乙烷的化学式为 ，丙烷的化学式为 ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ． 【答】 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为 ， 乙烷的化学式为 ， 丙烷的化学式为 ……， 碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2 倍多2 个， 十二烷的化学式为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键． 6 人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的 法就应用了 黄金分割数．设 ， ，则 ，记 ， ，…， ．则 ____． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】10 【分析】 先根据 求出 （ 为正整数）的值，从而可得 的值， 再求和即可得． 【详解】 解： ， （ 为正整数）， ， ， ， ， 则 ， 故答为：10． 【点睛】 本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键． 9 观察下列等式： ； ； ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm …… 根据以上规律，计算 ______． 【答】 【分析】 根据题意，找到第个等式的左边为 ，等式右边为1 与 的和；利 用这个结论得到原式＝1 +1 +1 +…+1 2021 ﹣ ，然后把 化为1 ﹣ ， 化为 ﹣ ， 化为 ﹣ ，再进行分数的加减运算即可． 【详解】 解：由题意可知， ， ＝1 +1 +1 +…+1 2021 ﹣ ＝2020+1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ 2021 ﹣ ＝2020+1﹣ 2021 ﹣ ＝ ． 故答为： ． 【点睛】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进 行简便运算． 10 观察以下等式： 第1 个等式： ， 第2 个等式： ， 第3 个等式： ， 第4 个等式： ，…… 按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5 个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答】(1) (2) ，证明见解析 【分析】（1）观察第1 至第4 个等式中相同位置的数的变化规律即可解答； （2）观察相同位置的数变化规律可以得出第个等式为 ，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边 变形即可证明． (1)解：观察第1 至第4 个等式中相同位置数的变化规律，可知第5 个等式为： ，故答为： ； (2)解：第个等式为 ， 证明如下：等式左边： ， 等式右边： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， 故等式 成立． 【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差 公式是解题的关键． 11 正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列， 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 …… 则第27 行的第21 个数是______． 【答】744 【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1 个数，第二行有 2 个数，第三行有3 个数••••••••第行有个数，则前行共有 个数，再根据偶数的特征 确定第几行第几个数是几． 【详解】解：由图可知， 第一行有1 个数， 第二行有2 个数， 第三行有3 个数， ••••••• 第行有个数． ∴前行共有1+2+3+⋯+= 个数． ∴前26 行共有351 个数， ∴第27 行第21 个数是所有数中的第372 个数． ∵这些数都是正偶数， ∴第372 个数为372×2=744．故答为：744． 【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 出其中的规律，再结合其他已知条件求解． 12．（2023·四川广安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点 在 轴的 正半轴上，点 在直线 上，若点 的坐标为 ，且 均为等边三角形．则点 的纵坐标为 ． 【答】 【分析】过点 作 轴，交直线 于点 ，过点 作 轴于点 ，先求出 ，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得 ，然后解直角三角形可得 的长，即可得点 的纵坐标，同样的方法分别 求出点 的纵坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：如图，过点 作 轴，交直线 于点 ，过点 作 轴于点 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， 当 时， ，即 ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，即点 的纵坐标为 ， 同理可得：点 的纵坐标为 ， 点 的纵坐标为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 点 的纵坐标为 ， 归纳类推得：点 的纵坐标为 （ 为正整数）， 则点 的纵坐标为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角 三角形等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 13．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点在直线 上，顶点B 在x 轴上， 垂直 轴，且 ，顶点 在直线 上， ；过点 作直线 的垂线，垂足为 ，交x 轴于 ，过点 作 垂直x 轴， 交于点 ，连接 ，得到第一个 ；过点 作直线 的垂线，垂足为 ，交x 轴于 ，过点 作 垂直x 轴，交于点 ，连接 ，得到第二个 ；如此下 去，……，则 的面积是 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】 【分析】解直角三角形得出 ， ，求出 ，证明 ， ，得出 ， ，总结得出 ，从而得出 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 轴， ∴点的横坐标为 ， ∵ ， ∴点的纵坐标为 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 平分 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ 轴， 轴， ∴ ， ， ∵ 轴， 轴， 轴， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 同理 ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ∴ ， ∴ ． 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形面积的计算， 平行线的判定和性质，一次函数规律探究，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质， 解题的关键是得出一般规律 ． 14 观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022 时，的值为______ ______． 【答】不存在 【分析】首先根据=1、2、3、4 时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第个图形中 “•”的个数是3；然后根据=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第个 “○”的个数是 ；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方 程，解方程即可求出的值是多少即可． 【详解】解：∵=1 时，“•”的个数是3=3×1； =2 时，“•”的个数是6=3×2； =3 时，“•”的个数是9=3×3； =4 时，“•”的个数是12=3×4； …… ∴第个图形中“•”的个数是3； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 又∵=1 时，“○”的个数是1= ； =2 时，“○”的个数是 ， =3 时，“○”的个数是 ， =4 时，“○”的个数是 ， …… ∴第个“○”的个数是 ， 由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022 ①， ② 解①得：无解 解②得： 故答为：不存在 【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． 15．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与x 轴交于点 ，以 为边作正方形 点 在y 轴上，延长 交直线l 于点 ， 以 为边作正方形 ，点 在y 轴上，以同样的方式依次作正方形 ，…， 正方形 ，则点 的横坐标是 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】 【分析】分别求出点点 的横坐标是，点 的横坐标是 ，点 的横坐标是 ，找到规律，得到答见即可． 【详解】解：当 ， ，解得 ， ∴点 , ∵ 是正方形， ∴ ， ∴点 ， ∴点 的横坐标是， 当 时， ，解得 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴点 ， ∵ 是正方形， ∴ ， ∴点 ， 即点 的横坐标是 ， 当 时， ，解得 ， ∴点 ， ∵ 是正方形， ∴ ， ∴点 的横坐标是 ， …… 以此类推，则点 的横坐标是 故答为： 【点睛】此题是点的坐标规律题，考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质等知识， 数形结合是是解题的关键． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 16“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别 向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名． 假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作 图，则第六代勾股树中正方形的个数为______． 【答】127 【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个）， 第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个）， 第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），． ∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个）， 故答为：127． 【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律． 17 人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0618 法”就 应用了黄金比．设 ， ，记 ， ，…， ，则 _______． 【答】5050 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， …， 故答为：5050 【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得 ，找出的规律是本 题的关键． 18．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是正 方形，点 的坐标为 ， 是以点 为圆心， 为半径的圆弧； 是以点 为圆心， 为半径的圆弧， 是以点 为圆心， 为半径的圆弧， 是以点 为圆心， 为半径的圆弧，继续以点 ， ， ， 为圆心按上述作法得到的曲线 称为正方形的“渐开线”，则点 的坐标是 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】 【分析】将四分之一圆弧对应的点坐标看作顺时针旋转 ，再根据、 、 、 、 的 坐标找到规律即可． 【详解】∵点坐标为 ，且 为点绕B 点顺时针旋转 所得， ∴ 点坐标为 ， 又∵ 为 点绕点顺时针旋转 所得， ∴ 点坐标为