专题4.3 线段、射线、直线【十大题型】（原卷版）

专题43 线段、射线、直线【十大题型】 【人版】 【题型1 线段、射线、直线概念辨析】................................................................................................................. 1 【题型2 线段、射线、直线的区别与联系】.........................................................................................................3 【题型3 计数问题及其应用】.................................................................................................................................3 【题型4 利用线段的和与差求线段长度】............................................................................................................. 4 【题型5 线段中点的有关计算】.............................................................................................................................5 【题型6 线段等分点的有关计算】.........................................................................................................................6 【题型7 线段的数量关系】.....................................................................................................................................8 【题型8 两点间的距离】.........................................................................................................................................9 【题型9 直线、线段的性质】...............................................................................................................................11 【题型10 线段的长短比较及其应用】..................................................................................................................12 【知识点1 线段、射线、直线】 名称 直线 射线 线段 图形 端点个数 无 一个 两个 表示法 直线 直线B（B） 射线 射线B 线段 线段B（B） 作法叙述 作直线 作直线B 作射线 作射线B 作线段 作线段B 连接B 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 【题型1 线段、射线、直线概念辨析】 【例1】（2022·河北保定·七年级期末）《红楼梦》第57 回有这么一句话，“自古道:‘千里 姻缘一线牵’,管姻缘的有一位月下老，暗里只用一根红线，把这两个人的脚绊住．”请问， 这里所说的“线”若是真的，则在数学中指的应是（ ） B B B 1 ．直线 B．射线 ．线段 D．以上都不对 【变式1-1】（2022·全国·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ） ．直线B 和直线B 表示同一条直线 B．过一点P 只能作一条直线 ．射线B 和射线B 表示同一条射线 D．射线比直线b 短 【变式1-2】（2022·河北邢台·七年级期中）若两个图形有公共点，则称这两个图形相交， 否则称它们不相交．如图，直线P、PB 和线段B 将平面分成五个区域（不包含边界），若 线段PQ 与线段B 相交，则点Q 落在的区域是（ ） ．① B．② ．③ D．④或⑤ 【变式1-3】（2022·浙江宁波·七年级期末）如图，平面内有公共端点的六条射线 OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2， 3，4，5，6，7，…则数字“2020”在（ ） ．射线OA上 B．射线OB上 ．射线OD上 D．射线OF上 【题型2 线段、射线、直线的区别与联系】 【例2】（2022·山东·肥城市边院镇过村初级中学期末）平面上有三点、B、，如果B=10， =7，B=3，那么（ ） 1 ．点在线段B 的延长线上 B．点在线段B 上 ．点在直线B 外 D．点可能在直线B 上，也可能在直线B 外 【变式2-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，对于直线B，线段D，射线EF，其中不 能相交的图是（ ） ． B． ． D． 【变式2-2】（2022·天津北辰·七年级期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：① 图中有两条直线；②图中有5 条线段；③射线AC和射线AD是同一条射线；④直线BD经 过点C．其中结论正确的结论是______． 【变式2-3】（2022·山东·东平县实验中学课时练习）如图是四个图形，每一个图形都有相 应的一句描述，且所有图形都画在同一个平面上． ①线段AB与射线MN不相交；②点C在线段AB上；③直线a和直线b不相交；④延长射 线AB，会经过点C．其中正确的语句的个数为（ ） ．0 B．1 ．2 D．3 【题型3 计数问题及其应用】 【例3】（2022·山东·泰安市泰山区大津口中学七年级阶段练习）如图是一段高铁行驶路线 图，图中字母表示的5 个点表示5 个车站，在这段路线上往返行车，需印制________种车 票（任何两站之间，往返两种车票），需要__________种不同的票价． 【变式3-1】（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）一只小虫 子欲从点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E，这只小虫子的不同走法共 1 有（ ） ．12 种 B．13 种 ．14 种 D．15 种 【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）如图所示，图中过点的直线共有________条， 以为端点的射线共有________条，以为端点的线段共有________条． 【变式3-3】（2022·全国·七年级专题练习）若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确 定一条线段．请仔细观察图形，解决下列问题： (1)如图1，直线l 上有3 个点，B，，则可以确定 条线段； (2)如图2，直线l 上有4 个点，B，，D，则可以确定 条线段； (3)若直线上有个点，一共可以确定多少条线段？请写出解题过程． 【题型4 利用线段的和与差求线段长度】 【例4】（2022·北京朝阳·七年级期末）一种零件的图纸如图所示，若B＝10mm，B＝ 50mm，D＝20mm，则D 的长为 _____mm． 【变式4-1】（2022·湖南湘西·七年级期末）如图，已知AD=65mm，BD=60mm， CD=15mm，求AB和BC的长． 1 【变式4-2】（2022·陕西宝鸡·七年级期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，M、 N两点分别从P、B出发以1cm/s、3cm/s的速度同时向左运动（M在线段AP上，N在线 段BP上），运动时间为ts． （1）若M、N运动1s时，且PN=3 AM，求AP的长； （2）若M、N运动到任一时刻时，总有PN=3 AM，AP的长度是否变化？若不变，请求 出AP的长;若变化，请说明理由； （3）在（2）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ=PQ+BQ，求PQ的长． 【变式4-3】（2022·广东广州·七年级期中）已知，B，，D 四点在同一条直线上，点是线 段B 的中点． (1)点D 在线段B 上，且B=6，BD=1 3 BC，求线段D 的长度； (2)若点E 是线段B 上一点，且E=2BE，当AD:BD=2:3时，线段D 与E 具有怎样的数量 关系，请说明理由． 【知识点2 利用线段的中点求线段长度】 线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点 【题型5 线段中点的有关计算】 【例5】（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）如图，点D为线段AB的中点，点C为DB 的中点，若AB=16，DE=1 3 AE，则线段EC的长（ ） ．7 B．20 3 ．6 D．5 【变式5-1】（2022·江苏·沭阳县修远中学七年级阶段练习）已知点是线段B 的中点，下列 说法：①AB=2 AC；②BC=1 2 AB；③AC=BC；④AC+BC=AB．其中正确的个数 是( ) ．1 B．2 ．3 D．4 【变式5-2】（2022·江苏扬州·七年级期末）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条 折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点 D 是折线﹣﹣B 的“折中点”，请解答以下问题： 1 (1)当＞B 时，点D 在线段 上；当＝B 时，点D 与 重合；当＜B 时，点D 在线段 上； (2)当＜B 时，若E 为线段中点，E＝8m，D＝6m，求B 的长度． 【变式5-3】（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）直线l 上的三个点、 B、，若满足B＝1 2B，则称点是点关于点B 的“半距点”．如图1，B＝1 2B，此时点就是 点关于点B 的一个“半距点”． 若M、、P 三个点在同一条直线m 上，且点P 是点M 关于点的“半距点”，M＝6m． (1)MP=¿¿ (2)若点G 也是直线m 上一点，且点G 是线段MP 的中点，求线段G 的长度． 【题型6 线段等分点的有关计算】 【例6】（2022·湖南·郴州市明星学校七年级阶段练习）如图所示，，D 两点把线段B 分成 了2：3：4 三部分，M 是B 的中点，DB＝12，求M 的长． 【变式6-1】（2022·江苏·鼓楼实验中学七年级阶段练习）定义：数轴上的三点，如果其中 一个点与近点距离是它与远点距离的1 2，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴 上点，B，所表示的数分别为﹣1，0，2，满足B＝1 2B，此时点B 是点，的“倍分点”．已 知点，B，，M，在数轴上所表示的数如图所示． （1），B，三点中，点 是点M，的“倍分点”； 1 （2）若数轴上点M 是点D，的“倍分点”，则点D 对应的数有 个，分别是 ； （3）若数轴上点是点P，M 的“倍分点”，且点P 在点的右侧，求此时点P 表示的数． 【变式6-2】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段AB=15cm，点C在线段AB上，且 AC :CB=3:2． (1)求线段AC，CB的长； (2)点P是线段AB上的动点且不与点A，B，C重合，线段AP的中点为M，设AP=mcm ①请用含有m的代数式表示线段PC，MC的长； ②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为 “共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值． 【变式6-3】（2022·全国·七年级课时练习）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问 题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段B 上，M，分别是，B 的中点．若B＝12，＝8，求M 的长． (1)根据题意，小明求得M＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现M 的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件 一般化，并开始深入探究． 设B＝，是线段B 上任意一点（不与点，B 重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助 小明解答． ①如图1，M，分别是，B 的中点，则M＝______________； ②如图2，M，分别是，B 的三等分点，即AM=1 3 AC，BN=1 3 BC，求M 的长； ③若M，分别是，B 的等分点，即AM=1 n AC，BN=1 n BC，则M＝___________； 【题型7 线段的数量关系】 【例7】（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，、D 是线段B 上两点，且CD=3 AD−2BC， 则与BD 的关系是（ ） ．AC=BD B．2 AC=BD ．3 AC=2BD D．4 AC=3 BD 【变式7-1】（2022·全国·七年级课时练习）如图1，已知线段AB=20cm，点M 是线段 1 AB上一点，点在线段AM上，点D 在线段BM上，、D 两点分别从M、B 出发以 acm/s 、bcm/s的速度沿直线BA运动，运动方向如箭头所示，其中、b 满足条件： ¿a−1∨+¿b−3∨¿0． (1)直接写出：a=¿____________，b=¿_____________； (2)若2cm< AM <4 cm，当点、D 运动了3s，求AC+MD的值； (3)如图2，若AM=1 3 AB，点是直线AB上一点，且AN−BN=MN，求MN与AB的数量 关系． 【变式7-2】（2022·全国·七年级课时练习）如图①、②所示，线段AB=20，线段CD=10， 点E 是B 的中点，设AC=a． (1)当a=4时，则DE 的长为______． (2)在图①中，计算DE 的长度（用含的式子表示） (3)将图①中的线段D 向右移动到图②的位置． ①直接写出线段与线段DE 满足的数量关系． ②在线段上有点F，满足3 2 AF+BE=1 2 ( AC−AF )，求F 的长度（用含的式子表示） 【变式7-3】（2022·全国·七年级课时练习）某操作车间有一段直线型向左移动的传输带， A，B两位操作工人站于传输带同侧且相距16 米，操作组长F也站在该侧，且到A，B距 离相等，传输带上有一个8 米长的工具筐CE． (1)如图1，当CE位于A，B之间时，F发现工具筐的C端 离自己只有 1 米，则工具筐C端 离A 米，工具筐E端离B 米． (2)工具筐C端从B点开始随传输带向左移动直至工具筐E端到达以点为止，这期间工具筐E 端到B的距离BE和工具筐E端到F的距离EF存在怎样的数量关系，并用等式表示，（你可 1 以在图2 中先画一画，再找找规律） 【知识点3 直线的性质】 经过两点有一条直线，并且只有一条直线简单地：两点确定一条直线 两条直线相交，只有一个交点 【知识点4 线段的性质】 两点的所有连线中，线段最短。 简称：两点之间，线段最短。 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 【题型8 两点间的距离】 【例8】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段B＝10m，有下列说法： ①不存在到，B 两点的距离之和小于10m 的点； ②线段B 上存在无数个到，B 两点的距离之和等于10m 的点； ③线段B 外存在无数个到，B 两点的距离之和大于10m 的点． 其中正确的是（ ） ．①② B．①③ ．②③ D．①②③ 【变式8-1】（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，A、B、C、D表示四个车站的位置， A、B两站之间的距离AB=a−b，B、C两站之间的距离BC=2a−b，B、D两站之间的 距离BD=7 2 a−2b−1． (1)求C，D两站之间的距离CD（用含a，b的式子表示）； (2)当A，C两站之间的距离AC=90km 时，求C、D两站之间的距离CD． 【变式8-2】（2022·全国·七年级课时练习）如图所示，M 是线段B 上一定点，AB=12cm ，，D 两点分别从点M，B 出发以1cm/s，2cm/s的速度沿直线B 向左运动，运动方向如 箭头所示（点在线段M 上，点D 在线段BM 上）． （1）当点，D 运动了2s时，求AC+MD的值． （2）若点，D 运时，总有MD=2 AC，则AM=¿_______． （3）在（2）的条件下，是直线B 上一点，且AN−BN=MN，求MN AB 的值． 1 【变式8-3】（2022·江苏淮安·七年级期末）【探索新知】 如图1，点C在线段AB上，图中共有3 条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长 度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点” （1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） ②若线段AB=20，C是线段AB的“二倍点”，则BC=¿ （写出所有结果） 【深入研究】 如图2，若线段AB=20cm，点M从点B的位置开始，以每秒2cm的速度向点A运动，当 点M到达点A时停止运动，运动的时间为t秒 （2）问t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”； （3）同时点N从点A的位置开始，以每秒1cm的速度向点B运动，并与点M同时停止请直 接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值 【题型9 直线、线段的性质】 【例9】（2022·全国·七年级课时练习）下列现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上 ②从地到B 地架设电线，总是尽可能沿着线段B 架设 ③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程 其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象有（ ） ．①④ B．①③ ．②④ D．③④ 【变式9-1】（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）值日生小明想把室桌椅摆放整 齐，为了将一列课桌对齐，他把这列课桌的最前面一张和最后面一张先拉成一条线，其余 课桌按这条直线摆放，这样做用到的数学知识是__________． 【变式9-2】（2022·浙江绍兴·七年级期末）如图，在方格纸中，点，B，，D，E，F，，K 中，在同一直线上的三个点有（ ）． 1 ．3 组 B．4 组 ．5 组 D．6 组 【变式9-3】（2022·广东汕尾·七年级期末）如图，点C在∠AOB的边OA上，选择合适的 画图工具按要求画图．， （1）反向延长射线OB，得到射线OD，在射线OD上取一点F，使得OF=OC； （2）使用量角器，画出∠AOD的角平分线OE； （3）在射线OE上作一点P，使得CP+FP最小； （4）写出你完成（3）的作图依据：______． 【题型10 线段的长短比较及其应用】 【例10】（2022·江苏·无锡市华庄中学七年级期中）如图，在公路M 两侧分别有 A1, A2,···, A7，七个工厂，各工厂与公路M（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在 公路M 上设置一个车站，选择站址