专题4.3 线段、射线、直线【十大题型】（解析版）

专题43 线段、射线、直线【十大题型】 【人版】 【题型1 线段、射线、直线概念辨析】................................................................................................................. 1 【题型2 线段、射线、直线的区别与联系】.........................................................................................................4 【题型3 计数问题及其应用】.................................................................................................................................7 【题型4 利用线段的和与差求线段长度】............................................................................................................. 9 【题型5 线段中点的有关计算】...........................................................................................................................13 【题型6 线段等分点的有关计算】.......................................................................................................................17 【题型7 线段的数量关系】...................................................................................................................................22 【题型8 两点间的距离】.......................................................................................................................................28 【题型9 直线、线段的性质】...............................................................................................................................32 【题型10 线段的长短比较及其应用】..................................................................................................................35 【知识点1 线段、射线、直线】 名称 直线 射线 线段 图形 端点个数 无 一个 两个 表示法 直线 直线B（B） 射线 射线B 线段 线段B（B） 作法叙述 作直线 作直线B 作射线 作射线B 作线段 作线段B 连接B 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 【题型1 线段、射线、直线概念辨析】 【例1】（2022·河北保定·七年级期末）《红楼梦》第57 回有这么一句话，“自古道:‘千里 姻缘一线牵’,管姻缘的有一位月下老，暗里只用一根红线，把这两个人的脚绊住．”请问， 这里所说的“线”若是真的，则在数学中指的应是（ ） B B B 1 ．直线 B．射线 ．线段 D．以上都不对 【答】 【分析】根据线段的定义解答即可． 【详解】解：“自古道：‘千里姻缘一线牵’，管姻缘的有一位月下老，暗里只用一根红 线，把这两个人的脚绊住．”请问，这里所说的“线”若是真的，则在数学中指的应是线 段． 故选：． 【点睛】本题考查了线段，掌握线段的定义（有两个端点的线）是解题的关键． 【变式1-1】（2022·全国·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ） ．直线B 和直线B 表示同一条直线 B．过一点P 只能作一条直线 ．射线B 和射线B 表示同一条射线 D．射线比直线b 短 【答】 【分析】根据直线和射线的表示方法，和过一点可以做无数条直线，依次判断、、B，再 利用射线与直线不能进行长短的比较判断D 即可． 【详解】解：、直线可以用两个大写字母来表示，且直线没有方向，所以B 和B 是表示同 一条直线；故正确． B、过一点P 可以作无数条直线；故B 错误． 、射线B 和射线B，端点不同，方向相反，故射线B 和射线B 表示不同的射线；故错误． D、射线和直线不能进行长短的比较；故D 错误． 故选：． 【点睛】本题考查了直线，射线的表示方法以及射线和直线的性质，关键是要能够区分直 线与射线的不同点． 【变式1-2】（2022·河北邢台·七年级期中）若两个图形有公共点，则称这两个图形相交， 否则称它们不相交．如图，直线P、PB 和线段B 将平面分成五个区域（不包含边界），若 线段PQ 与线段B 相交，则点Q 落在的区域是（ ） 1 ．① B．② ．③ D．④或⑤ 【答】B 【分析】先根据线段PQ 与线段B 有公共点确交点的位置在B 上，连结线段PS，利用线段 的延长线所在区域确定点Q 落在区域②即可． 【详解】解：∵线段PQ 与线段B 相交，设交点为S， ∴点S 在线段B 上，连结PS 并延长，点Q 在PS 的延长线上， ∵PS 的延长线在区域② ∴点Q 在区域②． 故选择B． 【点睛】本题主要考查了线段、射线和直线，延长线，点与直线的位置关系：①点经过直 线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 【变式1-3】（2022·浙江宁波·七年级期末）如图，平面内有公共端点的六条射线 OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2， 3，4，5，6，7，…则数字“2020”在（ ） 1 ．射线OA上 B．射线OB上 ．射线OD上 D．射线OF上 【答】 【分析】通过观察已知图形，发现共有六条射线，数字依次落在每条射线上，因此六个数 字依次循环，算出2020 有多少个循环即可． 【详解】解：通过观察已知图形，发现共有六条射线， ∴数字1-2020 每六个数字一个循环． 2020÷6=336…4 ∵ ， 2020 ∴ 在射线D 上． 故选：． 【点睛】本题考查了数字的变化类，通过考察数字的所在线段，考查学生观察和总结能力， 解决问题的关键是计算出6 个数字一个循环．题目整体较为简单，适合随堂训练． 【题型2 线段、射线、直线的区别与联系】 【例2】（2022·山东·肥城市边院镇过村初级中学期末）平面上有三点、B、，如果B=10， =7，B=3，那么（ ） ．点在线段B 的延长线上 B．点在线段B 上 ．点在直线B 外 D．点可能在直线B 上，也可能在直线B 外 【答】B 【分析】根据B＝10，＝7，B＝3，有B＝＋B 进行判断即可． 【详解】解答：解：如图，在平面内，B＝10， 1 ∵＝7，B＝3， ∴点为以为圆心，7 为半径，与以B 为圆心，3 为半径的两个圆的交点， 由于B＝10＝7＋3＝＋B， 所以，点在线段B 上， 故选：B． 【点睛】本题考查线段、射线、直线的意义，理解点与直线的位置关系是解决问题的关键． 【变式2-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，对于直线B，线段D，射线EF，其中不 能相交的图是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据直线、射线、线段的特点分析判断即可； 【详解】B 是直线，D 是线段不能延伸，故不能相交； B 是直线，EF 是射线，都可延伸，故可相交； D 是线段，不能延伸，故不能相交； EF 是射线，延伸方向与直线B 不相交； 故选D． 【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的特点，准确分析判断是解题的关键． 【变式2-2】（2022·天津北辰·七年级期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：① 图中有两条直线；②图中有5 条线段；③射线AC和射线AD是同一条射线；④直线BD经 过点C．其中结论正确的结论是______． 【答】①③ 【分析】根据直线、射线、线段的定义结合图形即可分析判断求解． 【详解】解：①直线是没有端点，向两边无限延伸，图中有两条直线，分别是：直线B 和 直线BD，故①说法正确； ②直线上两点及两点之间的部分是线段，图中有6 条线段，分别是：线段B、线段B、线 段BD、线段、线段D、线段D，故②说法错误； 1 ③射线AC和射线AD是同一条射线，都是以点为端点，同一方向的射线，故③说法正确； ④直线BD和直线B 相交于点B，直线BD经过点B，不经过点C，故④说法错误， 故答为：①③． 【点睛】本题考查直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握并区分相关定义． 【变式2-3】（2022·山东·东平县实验中学课时练习）如图是四个图形，每一个图形都有相 应的一句描述，且所有图形都画在同一个平面上． ①线段AB与射线MN不相交；②点C在线段AB上；③直线a和直线b不相交；④延长射 线AB，会经过点C．其中正确的语句的个数为（ ） ．0 B．1 ．2 D．3 【答】B 【分析】根据直线、线段、射线的定义以及其性质分别判断得出即可． 【详解】解：①线段AB与射线MN不相交，根据图形可得①正确； ②根据图形可得点C不在线段AB上，故②错误； 根据图形可得出直线a和直线b会相交，故③错误； ④根据图形可得出应为延长线段AB，会经过点C，故④错误． 故正确的语句的个数是1， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了直线、线段、射线的定义的应用，正确根据题意画出图形是解题 关键 【题型3 计数问题及其应用】 【例3】（2022·山东·泰安市泰山区大津口中学七年级阶段练习）如图是一段高铁行驶路线 图，图中字母表示的5 个点表示5 个车站，在这段路线上往返行车，需印制________种车 票（任何两站之间，往返两种车票），需要__________种不同的票价． 【答】 20 10 【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可． 【详解】解：5 个点中线段的总条数是4×5÷2=10（种）， ∵任何两站之间，往返两种车票， ∴应印制10×2=20（种）， 1 又∵往返票价是一样的， ∴需要10 种票价， 故答为：20；10． 【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有n个点，则线段的数量有 n(n−1) 2 条”． 【变式3-1】（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）一只小虫 子欲从点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E，这只小虫子的不同走法共 有（ ） ．12 种 B．13 种 ．14 种 D．15 种 【答】 【分析】根据题意按顺序列举即可解题． 【详解】解：这只小虫子的不同走法有：BDE、BDPE、BDPFE、BPDE、BPE、BPFE、 PBDE、PDE、PE、PFE、GFPBDE、GFPDE、GFPE、GFE，共14 种， 故选：． 【点睛】本题考查排列与组合问题，是常见考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）如图所示，图中过点的直线共有________条， 以为端点的射线共有________条，以为端点的线段共有________条． 【答】 1 3 5 【分析】根据直线没有端点，射线有1 个端点，线段有2 个端点，据此分析即可求解． 【详解】解析：过点的直线只有1 条，即直线； 以为端点的射线共有3 条，即射线F（或D）、射线E（或）、射线G； 以为端点的线段共有5 条，即线段F、D、E、、B． 1 故答为：①1；②3；③5 【点睛】本题考查了直线，射线，线段的认识，掌握直线、射线、线段的端点的个数是解 题的关键． 【变式3-3】（2022·全国·七年级专题练习）若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确 定一条线段．请仔细观察图形，解决下列问题： (1)如图1，直线l 上有3 个点，B，，则可以确定 条线段； (2)如图2，直线l 上有4 个点，B，，D，则可以确定 条线段； (3)若直线上有个点，一共可以确定多少条线段？请写出解题过程． 【答】(1)3 (2)6 (3)n(n−1) 2 条，见解析 【分析】（1）根据线段定义即可求解． （2）根据线段的定义即可求解． （3）由（1）（2）找出规律即可求解． （1） 解：由图可得： 直线l 上有3 个点，B，，可得线段B、线段B 和线段， 则可以确定3 条线段， 故答为：3． （2） 有图可得： 直线l 上有4 个点，B，，D，可得线段B、线段、线段D、线段B、线段BD 和线段D， 则可以确定6 条线段， 故答为：6． （3） 由（1），（2）可得， 当直线上有个点，则： (n−1)+(n−2)+(n−3)+⋯+3+2+1=n−1+1 2 ⋅(n−1)=n(n−1) 2 ． 1 【点睛】本题考查了线段的定义及数量关系，熟练掌握线段的定义及数量关系是解题的关 键． 【题型4 利用线段的和与差求线段长度】 【例4】（2022·北京朝阳·七年级期末）一种零件的图纸如图所示，若B＝10mm，B＝ 50mm，D＝20mm，则D 的长为 _____mm． 【答】80 【分析】根据D＝B+B+D 即可得答． 【详解】解：由图可知：D＝B+B+D＝10+50+20＝80（mm）． 故答为：80． 【点睛】本题考查了线段的和差，掌握连接两点间的线段长叫两点间的距离是解本题的关 键． 【变式4-1】（2022·湖南湘西·七年级期末）如图，已知AD=65mm，BD=60mm， CD=15mm，求AB和BC的长． 【答】AB=5mm，BC=45mm 【分析】结合已知条件根据AB=AD−BD解答，再根据BC=BD−CD求出解即可． 【详解】如图，∵AD=65mm，BD=60mm，CD=15mm， ∴AB=AD−BD=65−60=5mm，BC=BD−CD=60−15=45mm． 【点睛】本题主要考查了线段的和差，掌握线段之间的数量关系是解题的关键． 【变式4-2】（2022·陕西宝鸡·七年级期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，M、 N两点分别从P、B出发以1cm/s、3cm/s的速度同时向左运动（M在线段AP上，N在线 段BP上），运动时间为ts． （1）若M、N运动1s时，且PN=3 AM，求AP的长； （2）若M、N运动到任一时刻时，总有PN=3 AM，AP的长度是否变化？若不变，请求 出AP的长;若变化，请说明理由； （3）在（2）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ=PQ+BQ，求PQ的长． 1 【答】（1）3cm，证明见解析；（2）长度不变，长度为3cm，证明见解析；（3）6cm 或12cm 【分析】（1）根据路程、速度、时间公式算出M、N运动1s时所走的距离，根据总长度 算出PN + AM的长度，根据PN=3 AM分别算出PN和AM的长，再根据AP=AM +MP 算出AP的长． （2）设运动到t时刻，即可表示出PM和BN的长度，根据总长度表示出PN + AM的长度， 由已知条件PN=3 AM，可以得到AM的长度，则AP=AM +PM,即可求得． （3）由已知条件分析可知Q在AP间不符合题意，所以Q可能在PB间或AB的延长线上， 根据AQ=PQ+BQ，求得AP=BQ，从而求得与AB的关系． 【详解】（1）当M、N运动1s时，PM=1cm，BN=3cm， ∴PN + AM=8cm， ∵PN=3 AM， ∴AM=2cm，PN=6cm， ∴AP=PM + AM=3cm． （2）设运动到t时刻，则PM=t，BN=3t， ∴PN + AM=12−4 t， ∵PN=3 AM， ∴AM=3−t， ∴AP=PM + AM=3cm， ∴AP的长度不变，长度为3cm． （3）由已知条件可知，Q在AP间不符合题意， ∴当Q在PB间时，如图1， 由（2）可知AP=3cm，BP=9cm， ∴PQ+BQ=BP=9=AQ， ∵AQ=AP+PQ， ∴AP=BQ， ∴PQ=AQ−AP=6cm； 当Q在AB的延长线上时，如图2， 由（2）可知AP=3cm，BP=9cm， ∴AQ=AP+PB+BQ=3+9+BQ=12+BQ， 1 ∵AQ=BQ+PQ， ∴PQ=AQ−BQ=12+BQ−BQ=12cm； 综上所述，PQ=6cm或12cm． ． 【点睛】本题考查了两点之间的距离，灵活运用线段和、差、倍、分，转化线段之间的数 量关系是解题的关键． 【变式4-3】（2022·广东广州·七年级期中）已知，B，，D 四点在同一条直线上，点是线 段B 的中点． (1)点D 在线段B 上，且B=6，BD=1 3 BC，求线段D 的长度； (2)若点E 是线段B 上一点，且E=2BE，当AD:BD=2:3时，线段D 与E 具有怎样的数量 关系，请说明理由． 【答】(1)线段D 的长度为2； (2)5D=3E 或D=15E．理由见解析 【分析】（1）根据线段中点的性质求出B，根据题意计算即可； （2）分两种情况讨论，当点D 在线段B 上和点D 在B 延长线上时，利用设元的方法，分 别表示出B 以及D、E 的长，即可得到D 与E 的数量关系． （1） 解：如图1， ∵点是线段B 的中点，B=6， ∴B=1 2B=3， ∵BD=1 3B， ∴BD=1， ∴D=B-BD=2； （2） 解：5D=3E 或D=15E．理由如下： 当点D 在线段B 上，如图2， 1 设D=2x，则BD=3x， ∴B=D+BD=5x， ∵点是线段B 的中点， = ∴1 2B=5 2 x， ∴D=-D=1 2x， ∵E=2BE， ∴E=2 3B=10 3 x， E=E-=5 6x， ∴CD CE = 1 2 x 5 6 x ，即5D=3E； 当点D 在B 延长线上时，如图3， 设D=2，则BD=3， ∴B=BD-D=， ∵点是线段B 的中点， = ∴1 2B=1 2 a， ∴D=+D=5 2， ∵E=2BE， ∴E=2 3B=2 3， E=E-=1 6， ∴CD CE = 5 2 a 1 6 a ，即D=15E． 1 综上，5D=3E 或D=15E． 【点睛