专题27.1 成比例线段【七大题型】（原卷版）

专题271 成比例线段【七大题型】 【人版】 【题型1 成比例线段的概念】.................................................................................................................................1 【题型2 成比例线段的应用】.................................................................................................................................2 【题型3 比例的证明】............................................................................................................................................. 3 【题型4 利用比例的性质求比值】.........................................................................................................................4 【题型5 利用比例的性质求参】.............................................................................................................................4 【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】.........................................................................................................5 【题型7 黄金分割】................................................................................................................................................. 6 【知识点1 成比例线段的概念】 1．比例的项： 在比例式 （即 ）中，，d 称为比例外项，b，称为比例内项．特别地， 在比例式 （即 ）中，b 称为，的比例中项，满足 ． 2．成比例线段： 四条线段，b，，d 中，如果和b 的比等于和d 的比，即 ，那么这四条线段， b，，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 【题型1 成比例线段的概念】 【例1】（2022 秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6 组成比例式的数是（ ） ．4 3 B．3 ．8 D．12 【变式1-1】（2022 秋•义乌市月考）已知线段＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为 2 ❑ √3 ． 【变式1-2】（2022 秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（ ） 1 ．2：4＝15：3 B．3：15＝4：2 ．2：3＝15：4 D．15：2＝3：4 【变式1-3】（2022 秋•八步区期中）如图所示，有矩形BD 和矩形'B''D'，B＝8m，B＝ 12m，'B'＝4m，B''＝6m．则线段'B'，B，B''，B 是成比例线段吗？ 【题型2 成比例线段的应用】 【例2】（2022 秋•渭滨区期末）已知△B 的三边分别为，b，，且（﹣）：（+b）：（﹣ b）＝﹣2：7：1，试判断△B 的形状． 【变式2-1】（2022 秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400 千米，在比例尺为 1：500000 的地图上，甲乙两地的距离是（ ） ．08m B．8m ．80m D．800m． 【变式2-2】（2022 秋•杜尔伯特县期末）一个班有30 名学生，男、女生人数的比可能是 （ ） ．3：2 B．1：3 ．4：5 D．3：1 【变式2-3】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、 下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期 各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ） 舞蹈社 溜冰社 魔术社 上学期 3 4 5 下学期 4 3 2 ．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变 ．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变 【知识点2 比例的性质】 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质： 或 或 1 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知 ，则当 时， 【题型3 比例的证明】 【例3】（2022 秋•汝州市校级月考）已知线段，b，，d（b≠d≠0），如果a b = c d =k，求证： a−c b−d = a+c b+d ． 【变式3-1】（2022 春•江阴市期中）如图，点B，在线段D 上，且B：B＝D：D，求证： 1 AB + 1 AD = 2 AC ． 【变式3-2】（2022 秋•秦都区校级期中）已知：如图，点为三角形B 内部的任意一点，连 接并延长交B 于点D． 证明：（1）S△ABO S△BOD = S△ACO S△COD ；（2）S△ABO S△ACO = BD CD ． 【变式3-3 】（2022 秋• 岳阳县期中）若，b ，，d 是非零实数且a b= c d ，求证 a 2+c 2 ab+cd =ab+cd b 2+d 2 ． 1 【题型4 利用比例的性质求比值】 【例4】（2022 秋•炎陵县期末）已知 2b 3a−b= 3 4 ，则a b=¿ ． 【变式4-1】（2022 春•霍邱县期末）若a−b a = 3 4 ，那么b a的值等于（ ） ．2 5 B．1 4 ．−2 5 D．−1 4 【变式4-2 】（2022 春• 沙坪坝区校级期末）若a b= c d =e f =1 3且b 2 ﹣d+3f≠0 ，则 a−2c+3e b−2d+3 f 的值为（ ） ．1 6 B．1 3 ．1 2 D．5 6 【变式4-3】（2022 春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（ ） ．若a 4 = c 5，则a c = 4 5 B．若a−b b =1 6 ，则a b=7 6 ．若a b= c d =2 3（b﹣d≠0），则a−c b−d =2 3 D．若a b= 3 4 ，则＝3，b＝4 【题型5 利用比例的性质求参】 【例5】（2022 秋•蜀山区校级期中）已知：y+z x = x+z y = x+ y z =¿k，则k＝ ． 【变式5-1】（2022 秋•灌云县期末）已知x 3 = y 5 ，且x+y＝24．则x 的值是（ ） ．15 B．9 ．5 D．3 【变式5-2】（2022 秋•高州市期中）已知x 3 = y 5 = z 6 ，且3y＝2z+6，求x，y 的值． 【变式5-3】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若a b= c d ，且b+d≠0，那么a b= c d = a+c b+d ． （1）若b+d＝0，那么、满足什么关系？ （2）若b+c a =a+c b =a+b c =t，求t2﹣t 2 ﹣的值． 【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】 【例6】（2022 秋•渝中区期末）阅读理解： 1 已知：，b，，d 都是不为0 的数，且a b= c d ，求证：a+b b =c+d d ． 证明：∵a b= c d ， ∴a b +¿1¿ c d +¿1． ∴a+b b =c+d d ． 根据以上方法，解答下列问题： （1）若a b=3 5，求a+b b 的值； （2）若a b = c d ，且≠b，≠d，证明a−b a+b =c−d c+d ． 【变式6-1】阅读材料： 已知x 3 = y 4 = z 6 ≠0，求x+ y−z x−y+z 的值． 解：设x 3 = y 4 = z 6=¿k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步） ∴x+ y−z x−y+z =3k+4 k−6 k 3k−4 k+6 k = k 5k =1 5．（第二步） （1）回答下列问题： ①第一步运用了 的基本性质， ②第二步的解题过程运用了 的方法， 由k 5k 得1 5利用了 的基本性质． （2）模仿材料解题： 已知x：y：z＝2：3：4，求 x+ y+z x−2 y+3 z 的值． 【变式6-2】（2022 秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知 x a−b= y b−c = z c−a（、b、互不相等），求x+y+z 的值． 解：设 x a−b= y b−c = z c−a=¿k，则x＝k（﹣b），y＝k（b﹣），z＝k（﹣）， ∴x+y+z＝k（﹣b+b + ﹣﹣）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0． 依照上述方法解答下列问题： ，b ，为非零实数，且+b+≠0 ，当a+b−c c =a−b+c b =−a+b+c a 时，求 1 (a+b)(b+c)(c+a) abc 的值． 【变式6-3】（2022 春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题： 题目：已知 x a−b= y b−c = z c−a（、b、互相不相等），求x+y+z 的值． 解：设 x a−b= y b−c = z c−a=k，则x＝k（﹣b），y＝k（b﹣），z＝k（﹣）于是， x+y+z＝k（﹣b+b + ﹣﹣）＝k•0＝0， 依照上述方法解答下列问题：已知：y+z x = z+x y = x+ y z （x+y+z≠0），求x−y−z x+ y+z 的 值． 【知识点3 黄金分割】 如图，若线段B 上一点，把线段B 分成两条线段和B（ ），且使是B 和B 的 比例中项（即 ），则称线段B 被点黄金分割，点叫线段B 的黄金分割点， 其中 ， ，与B 的比叫做黄金比．（注 意：对于线段B 而言，黄金分割点有两个．） 【题型7 黄金分割】 【例7】（2022•青羊区校级模拟）如图，点R 是正方形BD 的B 边上线段B 的黄金分割点， 且R＞RB，S1表示以R 为边长的正方形面积；S2表示以B 为长，BR 为宽的矩形的面积， S3表示正方形除去S1，S2剩余的面积，则S1：S2的值为 ． 【变式7-1】（2022 秋•杨浦区期末）已知点P 是线段B 上的一点，线段P 是PB 和B 的比 例中项，下列结论中，正确的是（ ） ．PB AP = ❑ √5+1 2 B．PB AB = ❑ √5+1 2 ．AP AB = ❑ √5−1 2 D．AP PB = ❑ √5−1 2 【变式7-2】（2022 秋•江都区校级月考）已知，点D 是线段B 的黄金分割点，若D＞ BD． （1）若B＝10m，则D＝ ； （2）如图，请用尺规作出以B 为腰的黄金三角形B； 1 （3）证明你画出的三角形是黄金三角形． 面同意，不得复制发布日期：2022/9/15 22:55:34；用户： 小不1825600716 号：20699374 【变式7-3】（2022 春•兖州区期末）再读材： 宽与长的比是 ❑ √5−1 2 （约为0618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀 称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设 计，下面，我们用宽为2 的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：M＝2） 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线B，并把B 折到图③中所示的D 处． 第四步，展平纸片，按照所得的点D 折出DE，使DE⊥D，则图④中就会出现黄金矩形． 问题解决： （1）图③中B＝ （保留根号）； （2）如图③，判断四边形BDQ 的形状，并说明理由； （3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由． 1