专题05 坐标系中与几何图形有关的四种考法（解析版）

专题05 坐标系中与几何图形有关的四种考法 类型一、点的规律性问题 例．如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5 的直角 沿x 轴向右滚动到 的位置，再到 的位置……依次进行下去，发现 ， ， … 那么点 的坐标为 ． 【答】 【分析】根据直角 的边长求出点 ，再由沿 轴向右滚动到 的位 置，再到 的位置…依次进行下去，即可找到规律，即可求解． 【详解】∵ ， ， ， ， 根据题意知： ， 得： ； 继续滚动得： ； 发现规律： ， ∵ ，解得： 则 ， ∴点 的横坐标为 ， 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了规律型：点的坐标，找到规律是解题的关键． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点P 由原点出发，第一次跳动至点 ，第 二次向左跳动3 个单位至点 ，第三次跳动至点 ，第四次向左跳动5 个单位 至点 ，第五次跳动至点 ，…，依此规律跳动下去，点P 的第2023 次跳动至 点 的坐标是 【答】（1012，1012） 【分析】观察所给图形，不难得到第 次跳动至点的横坐标是跳的次数的一半，纵坐标 是跳的次数的一半；进而求出点 的坐标． 【详解】解：观察发现可知： 第一次跳动至点 ， 第二次向左跳动3 个单位至点 ， 第三次跳动至点 ， 第四次向左跳动5 个单位至点 ， 第五次跳动至点 ， … 则第 次跳动至点 ，第 次跳动至点 故第 次跳动至点的坐标是 ． 故答为 ． 【点睛】本题考查了点的坐标规律，解题在关键在于明确奇数次跳动的点的横坐标、纵坐 标与跳动次数的关系． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1 个单位，再 向右平移1 个单位，得到点 ；把点 向上平移2 个单位，再向左平移2 个单位，得 到点 ；把点 向下平移3 个单位，再向左平移3 个单位，得到点 ；把点 向下平移4 个单位，再向右平移4 个单位，得到点 ，…；按此做法进行下去， 则点 的坐标为 ． 【答】 【分析】先根据平移规律得到第次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移个单位长度， 再向右或向上平移个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，每一 个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4 个单位长度，从而求出点 的坐标为 ，由此求解即可． 【详解】解：∵把一个点从原点开始向上平移1 个单位，再向右平移1 个单位，得到点 ； 把点 向上平移2 个单位，再向左平移2 个单位，得到点 ； 把点 向下平移3 个单位，再向左平移3 个单位，得到点 ； 把点 向下平移4 个单位，再向右平移4 个单位，得到点 ， ∴第次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移个单位长度，再向右或向上平移个单位 长度得到下一个点， ∵到 是向右平移1 个单位长度，向上平移1 个单位长度， 到 是向左2 个单位长度， 向上平移2 个单位长度， 到 是向左平移3 个单位长度，向下平移3 个单位长度， 到 是向右平移4 个单位长度，向下平移4 个单位长度， 到 是向右平移5 个单位长度， 向上平移5 个单位长度， ∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下 平移4 个单位长度， ∴点 的坐标为 ， 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键． 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知正方形 的边长为7，点 ， 轴，且与y 轴相交于点 ．点P 沿着 …的方向 在正方形的边上运动了2021 个单位长度，则此时点P 的坐标为 ． 【答】 【分析】通过 点坐标，和正方形的边长可以求出对应的 点坐标，然后求出 的长度， 通过正方形周长和运动2021 个单位长度来算出 点转了多少圈然后落在哪里，通过计算， 算出 点在 边上，且 ，则可求出 点坐标． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， 点运动2021 个单位长度后，落在 边上，∴ ， 点的坐标为 ，即 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中，给出部分点的坐标和两点间的距离等关系，求出其 他点的坐标，通过动点循环的问题，求出动点最后的位置． 【变式训练4】如图，在直角坐标系中，第一次将 变换成 ，第二次将 变换成 ，第三次将 变换成 ，已知 ， ， ， ，则 的坐标为 ． 【答】 【分析】由前面几个具体的点的横坐标可写成底数为2 的幂的形式，纵坐标不变，从而可 得答． 【详解】解：∵ ， ， ， ， 而 ， ， ， ，纵坐标不变，∴ ；故答为： 【点睛】本题考查的是坐标规律的探究，由前面几个具体的点的坐标归纳出坐标规律是解 本题的关键． 类型二、将军饮马最值问题 例．如图， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ． (1)在图中，请画出与 关于 轴对称的 ； (2)直接写出点 的坐标； (3)求作 轴上一点 ，使得 最短． 【答】(1)见解析；(2) ；(3)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据对称性质即可得到坐标； （3）作点关于y 轴的对称点 ，连接 ，交y 轴于点P，连接 ，此时 最短． 【详解】（1）如图所示， 为所求三角形， （2）∵点B 和 关于y 轴对称，∴ （3）如图所示，点P 为所求点 【点睛】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解 答本题的关键． 【变式训练2】如图所示，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的正方形格中，点， B，，D 在小正方形的顶点上． (1)请画出与四边形 关于直线m 成轴对称的四边形 ； (2)求四边形 的面积； (3)在直线m 上作一点P，使得 的长度最小，请在直线m 上标出点P 的位置． 【答】(1)见解析 (2)8 (3)见解析 【分析】（1）先在方格纸中找到 关于直线m 成轴对称的点 ， 然后再顺次连接即可解答； （2）根据 求解即可； （3）连接 ，与直线m 的交点P 即为所求． 【详解】（1）解：如图：四边形 即为所求． （2）解： ． （3）解：如图：连接 ，与直线m 的交点P 即为所求． 【点睛】本题主要考查轴对称作图、轴对称最短问题等知识点，学会利用轴对称解决最短 问题是解题的关键． 【变式训练3】如图，已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ． (1)作 关于y 轴的轴对称图形得 ，画出图形，并直接写出点 的坐标 ； (2)已知点P 是x 轴上一点，则 的最小值是 ． 【答】(1)画图见解析， ；(2)10 【分析】（1）分别确定，B，关于y 轴对称的对称点 ， ， ，再顺次连接即可，再根 据 的位置可得其坐标； （2）如图，作 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于 ，可得 ，则 ，此时最短，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求作的三角形；∴ ． （2）如图，作 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于 ， ∴ ， ∴ ，此时最短， 如图，构造直角三角形 ，由勾股定理可得： ， ∴ 的最小值是10． 【点睛】本题考查的是画轴对称，坐标与图形，利用轴对称的性质求解线段和的最小值， 熟练的运用轴对称的性质进行画图是解本题的关键． 【变式训练4】如图所示的正方形格纸中，每个小正方形的边长都是1， 的三个顶点 都在小正方形的顶点处，直线m 与格中竖直的线重合． (1)作出 关于直线m 对称的 （其中的对称点为 ，B 的对称点为 ，的对称 点为 ）． (2) 的面积为 ． (3)点P 直线m 上的动点，求 的最小值． 【答】(1)见解析；(2) ；(3) 【分析】（1）根据轴对称的性质先找到、B、的对应点 的位置，然后顺次连接 即可； （2）利用割补法求解即可； （3）如图所示，连接 ，根据轴对称的性质可得当 三点共线时， 最小，即 最小，最小值为 的长，由此利用勾股定理求出 即可得 到答． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）解： ； （3）解：如图所示，连接 ，由轴对称的性质可得 ，∴ ， 故当 三点共线时， 最小，即 最小，最小值为 的长， 由勾股定理得 ，∴ 的最小值为 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，勾股定理，割补法求面积， 灵活运用所学知识是解题的关键． 类型三、面积问题 例．如图，在平面直角坐标系中，已知(0，)，B(b，0)，其中，b 满足| 2|+(b 3) ﹣ ﹣ 2＝0． (1)求，b 的值； (2)如果在第二象限内有一点M(m，1)，请用含m 的式子表示四边形BM 的面积； (3)在(2)条件下，当m＝﹣ 时，在坐标轴的负半轴上是否存在点，使得四边形BM 的面积 与△B 的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】（1）=2，b=3； （2）﹣m+3； （3）（0，﹣1）或（﹣15，0）． 【详解】试题分析：(1)、根据非负数的形状得出和b 的值；(2)、过点M 作M 丄y 轴于点， 根据四边形的面积等于△M 和△B 的和得出答；(3)、首先根据题意得出面积，然后分点在x 轴的负半轴和y 轴的负半轴两种情况分别求出答． 试题解析：(1)、∵，b 满足| 2|+ ﹣ （b 3 ﹣）2=0， ∴﹣2=0，b 3=0 ﹣ ，解得=2，b=3； (2)、过点M 作M 丄y 轴于点． 四边形MB 面积=S△M+S△B= M•+ •B= ×（﹣m）×2+ ×2×3= m+3 ﹣ ； （3）当m=﹣ 时，四边形BM 的面积=45． ∴S△B=45， ①当在x 轴负半轴上时， 设（x，0），则S△B= •B= ×2×（3 x ﹣）=45， 解得x= 15 ﹣ ； ②当在y 轴负半轴上时，设（0，y），则 S△B= B•= ×3×（2 y ﹣）=45， 解得y= 1 ﹣．∴（0，﹣1）或（﹣15，0）． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中．已知 ， ，其中 ， 满足 ． (1)填空： ______， ______； (2)如果在第三象限内有一点 ，请用含 的式子表示三角形 的面积； (3)在（2）条件下，当 时，在 轴上有一点 ，使得三角形 的面积与三角形 的面积相等，请求出点 的坐标． 【答】(1) ，3 (2) (3) 或 【分析】（1）根据非负数性质可得 、 的值； （2）过点 作 轴于点 ，表示出 的长，再根据三角形面积公式列式整理即可； （3）当 的面积与 的面积相等时，点 到 轴的距离等于点 到 轴的距离， 据此求解即可． 【详解】（1）解： ， 且 ， 解得： ， ， 故答为： ，3； （2）过点 作 轴于点 ， ， ， ， 又 点 在第三象限， ， ； （3）当 时， ，此时点 到 轴的距离是3． 在 轴上有一点 ，使得 的面积与 的面积相等， 点 到 轴的距离是 ， 如图，符合条件的坐标是： 或 ． 【点睛】本题考查了三角形综合题型，涉及到了绝对值、偶次方的非负性、三角形的面积、 坐标与图形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论和数 形结合的数学思想． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，其中，b 满足 ． (1)填空： ______， ______． (2)如果在第三象限内有一点 ，请用含m 的式子表示三角形 的面积． (3)在（2）的条件下，当 时，若在y 轴上有一点P，使得三角形 的面积与三角 形 的面积相等，请求出点P 的坐标． 【答】(1) ，3 (2) (3)① ；②点P 的坐标为 或 【分析】（1）利用平方和绝对值的非负性求解，即可得到答； （2）过点M 作 轴于点，先利用、B 两点坐标求出 ，再根据点 在 第三象限，得到 ，即可求出三角形 的面积； （3）先利用（2）的式子，求出 ，分两种情况讨论：①点P 在y 轴正半轴上； ②点P 在y 轴负半轴上，利用点到最标轴的距离，结合割补法，分别表示出三角形 的 面积，进而即可求出P 的坐标． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， 故答为： ，3； （2）解：如图，过点M 作 轴于点， ， ， ， 点 在第三象限， ， ； （3）解：当 时，点M 的坐标为 ， ， ①如图，当点P 在y 轴正半轴上时， 设点P 的坐标为 ， ， ， ， 解得： ， 点P 的坐标为 ； ②如图，当点P 在y 轴负半轴上时， 设点P 的坐标为 ， ， ， ，解得： ， 点P 的坐标为 ， 综上所述，点P 的坐标为 或 ． 【点睛】本题考查了非负数的性质，点到坐标轴的距离，两坐标的距离公式，割补法求面 积，利用点的坐标正确表示出线段的长度是解题关键． 【变式训练3】如图①，在平面直角坐标系中， ， ，且满足 ，过作 轴于B． (1)直接写出三角形 的面积 ； (2)如图②，若过B 作 交y 轴于D，且 ， 分别平分 ， ，求 的度数； (3)在y 轴上是否存在点P，使得三角形 和三角形 的面积相等？若存在，求出P 点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1)4； (2) ； (3)存在， 或 ． 【分析】（1）根据完全平方和二次根式的非负性，由 求出、b 的值， 由此可得、B、三点的坐标，即可求出 的面积； （2）由 轴， ，可得 ，过E 作 ， 根据平行线的性质和角平分线的定义可得 ， ， 由此可求 出 的度数； （3）分情况讨论：①当P 在y 轴正半轴上时，设 ；②当P 在y 轴负半轴上时，设 ．过P 作 轴， 轴， 轴，利用割补法，根据 ，分别求出t 和的值，即可求出P 点的坐标． 【详解】（1）解：∵ ， 的面积为： 故答为：4． （2） 轴， ， ， ， ， 过E 作 ，如图所示： ∵ ， ∴ ， 、 分别平分 ， ， ， ． （3）①当P 在y 轴正半轴上时，如图所示： 设 ，过P 作 轴， 轴， 轴， ， ， 解得： ； ②当P 在y 轴负半轴上时，如图所示： 设 ，过P 作 轴， 轴， 轴， ， ， 解得： ； 或 ． 【点睛】本题综合性较强，考查了平行线的判定和性质，直角坐标系中求三角形的面积． 解题的关键是正确的作出辅助线，掌握割补法求面积． 类型四、角度数量关系问题 例．如图1，在平面直角坐标系中， ， ， ， 点为y 轴上一动点，且 ． (1)直接写出 ，的值： __________， __________． (2)当点P 在直线上运动时．是否存在一个点P 使 ，若存在，请求出P 点 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)不论点P 运动到直线上的任何位置（不包括点、）， 、 、 三者之间 是否存在某种固定的数量关系，如果存在，请直接写出它们的关系；如果不存在，请说明 理由． 【答】(1)6 ，4； (2)点P 的坐标为 或 (3)分三种情况： ①若点P 在线段 的延长线上，则 ； ②若点P 在线段 上，则 ； ③若点P 在线段 的延长线上，则 ． 【分析】（1）利用非负数的性质，求出b、即可解决问题； （2）根据点、B、的坐标求得线段 ， ， 的长，从而得到梯形 的面积，进 而得到 的面积，设点P 的坐标为 ，则 ，根据三角形的面积公式 求得y 的值，从而得到点P 的坐标； （3）分三种情况讨论：①若点P 在线段 的延长线上，过点P 作 ，则 ，因此 ， ，从而得到结论 ；②若点P 在线段 上，同①可得 ；③若 点P 在线段 的延长线上，同①可得 ． 【详解】（1）∵ ， 且 ∴ ， ∴ ， 故答为：6 ，4 （2）∵ ， ， ∴ ， ， ， ∴ ∴ 设点P 的坐标为 ，则 ∵ ∴ ∴ ∴点P 的坐标为 或 （3）分三种情况讨论： ①若点P 在线段 的延长线上，如图① 过点P 作 ∵ ∴ ∴ ， ∴ ②若点P 在线段 上，如图② 过点P 作 ∵ ∴ ∴ ， ∴ ③若点P 在线段 的延长线上，如图③ 过点P 作 ∵ ∴ ∴ ， ∴ 【点睛】本题考查四边形综合题、平行线的性质、三角形的面积、非负数的性质等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 【变式训练1】在平面直角坐标系中， ， ，且，满足 ， (1)直接写出，的值． (2)如图1，点 ，在第二象限内有一点 ，若 ，求m 的取值 范围． (3)如图2，若 ，点G 是第二象限内一点，并且y 轴平分 ．点E 是线段 上一动点，连接 交 于点，当点E 在 上运动时， 的值是否发 生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 【答】(1) (2) (3)变化，见解析 【分析】（1）利用非负性进行求解即可； （2）分别求出 ，根据 ，列出不等式进行求解即可； （3）设 ，过点作 交x 轴于F，推出 ，过点E 作 的平行线，推出 ，得到 ，再进行判断即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴ ． （2）∵ ． ∴ ∵ 且在第二象限， ∴点 到 轴的距离为 ， 过点 作 轴于点 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∵ ， ∴ ， 解得， ； （3）变化 理由如下： ∵x 轴⊥y 轴， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ．（等角的余角相等） ∵y 轴平分 ， ∴ ． ∴ ． ∴ ， 设 ，则 ， 如图，过点作 交x 轴于F， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 过点E 作 的平行线，同理可得： ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵点 是线段 上一动点， ∴α 的大小在发生变化， 又∵β 是个定值， ∴ 的值在变化． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行线的判定和性质．利用数形结合的思想，构造平行线 进行求解，是解题的关键． 【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，点 为 轴负半轴上一点，点 为 轴正半 轴上一点， ， ，且 轴，其中 满足关系式： ． (1) ______， ______． (2)如图2，若 ，点 线段 上一点，连接 ，延长 交 于点 ，当 时，求证： 平分 ． (3)如图3，若 ，点 是点 与点 之间一动点，连接 ， 始终平分 ， 当点 在点 与点 之间运动时， 的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请 说明理由． 【答】(1) ， (2)见解析 (3)不变，2 【分析】（1） ，根据非负数的性质得知 ， ，据此求 得 、 ； （2）根据等角的余角相等解答即可； （3）首先证明 ，推出 ，再证明 ， 即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1 中， ， ， ， 点 ， ，