专题05 坐标系中与几何图形有关的四种考法（原卷版）

专题05 坐标系中与几何图形有关的四种考法 类型一、点的规律性问题 例．如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5 的直角 沿x 轴向右滚动到 的位置，再到 的位置……依次进行下去，发现 ， ， … 那么点 的坐标为 ． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点P 由原点出发，第一次跳动至点 ，第 二次向左跳动3 个单位至点 ，第三次跳动至点 ，第四次向左跳动5 个单位 至点 ，第五次跳动至点 ，…，依此规律跳动下去，点P 的第2023 次跳动至 点 的坐标是 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1 个单位，再 向右平移1 个单位，得到点 ；把点 向上平移2 个单位，再向左平移2 个单位，得 到点 ；把点 向下平移3 个单位，再向左平移3 个单位，得到点 ；把点 向下平移4 个单位，再向右平移4 个单位，得到点 ，…；按此做法进行下去， 则点 的坐标为 ． 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知正方形 的边长为7，点 ， 轴，且与y 轴相交于点 ．点P 沿着 …的方向 在正方形的边上运动了2021 个单位长度，则此时点P 的坐标为 ． 【变式训练4】如图，在直角坐标系中，第一次将 变换成 ，第二次将 变换成 ，第三次将 变换成 ，已知 ， ， ， ，则 的坐标为 ． 类型二、将军饮马最值问题 例．如图， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ． (1)在图中，请画出与 关于 轴对称的 ； (2)直接写出点 的坐标； (3)求作 轴上一点 ，使得 最短． 【变式训练2】如图所示，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的正方形格中，点， B，，D 在小正方形的顶点上． (1)请画出与四边形 关于直线m 成轴对称的四边形 ； (2)求四边形 的面积； (3)在直线m 上作一点P，使得 的长度最小，请在直线m 上标出点P 的位置． 【变式训练3】如图，已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ． (1)作 关于y 轴的轴对称图形得 ，画出图形，并直接写出点 的坐标 ； (2)已知点P 是x 轴上一点，则 的最小值是 ． 【变式训练4】如图所示的正方形格纸中，每个小正方形的边长都是1， 的三个顶点 都在小正方形的顶点处，直线m 与格中竖直的线重合． (1)作出 关于直线m 对称的 （其中的对称点为 ，B 的对称点为 ，的对称 点为 ）． (2) 的面积为 ． (3)点P 直线m 上的动点，求 的最小值． 类型三、面积问题 例．如图，在平面直角坐标系中，已知(0，)，B(b，0)，其中，b 满足| 2|+(b 3) ﹣ ﹣ 2＝0． (1)求，b 的值； (2)如果在第二象限内有一点M(m，1)，请用含m 的式子表示四边形BM 的面积； (3)在(2)条件下，当m＝﹣ 时，在坐标轴的负半轴上是否存在点，使得四边形BM 的面积 与△B 的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中．已知 ， ，其中 ， 满足 ． (1)填空： ______， ______； (2)如果在第三象限内有一点 ，请用含 的式子表示三角形 的面积； (3)在（2）条件下，当 时，在 轴上有一点 ，使得三角形 的面积与三角形 的面积相等，请求出点 的坐标． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，其中，b 满足 ． (1)填空： ______， ______． (2)如果在第三象限内有一点 ，请用含m 的式子表示三角形 的面积． (3)在（2）的条件下，当 时，若在y 轴上有一点P，使得三角形 的面积与三角 形 的面积相等，请求出点P 的坐标． 【变式训练3】如图①，在平面直角坐标系中， ， ，且满足 ，过作 轴于B． (1)直接写出三角形 的面积 ； (2)如图②，若过B 作 交y 轴于D，且 ， 分别平分 ， ，求 的度数； (3)在y 轴上是否存在点P，使得三角形 和三角形 的面积相等？若存在，求出P 点 的坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、角度数量关系问题 例．如图1，在平面直角坐标系中， ， ， ， 点为y 轴上一动点，且 ． (1)直接写出 ，的值： __________， __________． (2)当点P 在直线上运动时．是否存在一个点P 使 ，若存在，请求出P 点 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)不论点P 运动到直线上的任何位置（不包括点、）， 、 、 三者之间 是否存在某种固定的数量关系，如果存在，请直接写出它们的关系；如果不存在，请说明 理由． 【变式训练1】在平面直角坐标系中， ， ，且，满足 ， (1)直接写出，的值． (2)如图1，点 ，在第二象限内有一点 ，若 ，求m 的取值 范围． (3)如图2，若 ，点G 是第二象限内一点，并且y 轴平分 ．点E 是线段 上一动点，连接 交 于点，当点E 在 上运动时， 的值是否发 生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，点 为 轴负半轴上一点，点 为 轴正半 轴上一点， ， ，且 轴，其中 满足关系式： ． (1) ______， ______． (2)如图2，若 ，点 线段 上一点，连接 ，延长 交 于点 ，当 时，求证： 平分 ． (3)如图3，若 ，点 是点 与点 之间一动点，连接 ， 始终平分 ， 当点 在点 与点 之间运动时， 的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请 说明理由． 【变式训练3】如图，长方形 中，点，在坐标轴上，其中点的坐标是 ，点的坐 标是 且满足 ，点P 在y 轴上运动（不与点，重合） (1) ______， ______，B 点的坐标为______． (2)点P 在y 轴上运动的过程中，是否存在三角形 的面积是长方形 面积的 ，若 存在，请求出点P 的坐标，若不存在请说明理由． (3)点P 在y 轴上运动的过程中， 与 、 之间有怎样的数量关系，请直接 写出． 课后训练 1．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行．从内到外，它们的 边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用 ， ， ， ，…表示，则顶点 的坐标是 ． 2．【初步探究】 （1）如图1，在四边形 中， ，E 是边 上一点， ， 连接 ．请判断 的形状，并说明理由． 【问题解决】 （2）若设 ，试利用图1 验证勾股定理． 【拓展应用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点在第一象限内，若 为等腰直角三角形，求点的坐标． 3．综合与实践． 积累经验 我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常 用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在 中， ， ，线段 经过点 ，且 于点 ， 于点 求证： ， ”这个问题时，只要证明 ，即可得到解决， （1）请写出证明过程； 类比应用 （2）如图2，在平面直角坐标系中， 中， ， ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，求点 的坐标． 拓展提升 （3）如图3， 在平面直角坐标系中， ， ，点 的坐标为 ， 点 的坐标为 ，则点 的坐标为____________． 4．如图1，在 中， ， ，以点 为原点， 所在直线为 轴，顶 点 在第一象限，建立平面直角坐标系． （1）若 ，求点 的坐标； （2）如图2，点 在 轴负半轴上，连接 ，交 轴于点 ，过点 作 ，交 轴于点 ，线段 ， ， 有怎样的数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如图3，点 在 轴负半轴上， ， ， ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x 轴，y 轴于点、B．另一条直线 与 直线 交于点 ，与x 轴交于点 ，点P 是直线 上一点（不与点重合）． (1)求的值． (2)当 的面积为18 时，求点P 的坐标． (3)若直线 在平面直角坐标系内运动，且 始终与 平行，直线 交直线 于点 M，交y 轴于点，当 时，求 的面积． 6 如图，已知长方形 ， ， ， 为平面直角坐标系的原点， ， ，点 在第四象限． (1)直接写出点 的坐标______； (2)点 从原点 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着 的路线运动． ①当点 运动了4 秒时，直接写出此时点 的坐标______； ②当三角形 的面积为3 时，直接写出点 的坐标；