专题16.5 二次根式章末题型过关卷（解析版）

第16 章 二次根式章末题型过关卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 号：20699741．（2022 春•铜梁区期末）下列根式是最简二次根式的是（ ） ．❑ √18a B．❑ √a 2+4 ．❑ √2a 3 D．❑ √ 1 3 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【解答】解：、原式＝3❑ √2a，不符合题意； B、原式为最简二次根式，符合题意； 、原式＝❑ √2a，不符合题意； D、原式¿ ❑ √3 3 ，不符合题意． 故选：B． 2．（2022 春•高青县期末）若y=❑ √x−2+❑ √4−2 x−3，则（x+y）2022等于（ ） ．1 B．5 ．﹣5 D．﹣1 【分析】根据二次根式有意义的条件得x＝2，从而求得y＝﹣3，进而解决此题． 【解答】解：∵y=❑ √x−2+❑ √4−2 x−3， ∴x 2≥0 ﹣ ，4 2 ﹣x≥0． ∴x≥2，x≤2． ∴x＝2． ∴y=❑ √x−2+❑ √4−2 x−3=¿0+0 3 ﹣＝﹣3． ∴（x+y）2022＝（2 3 ﹣）2022＝（﹣1）2022＝1． 故选：． 3．（2022 春•河西区期中）已知❑ √96n是整数，正整数的最小值为（ ） ．96 B．6 ．24 D．2 【分析】根据96＝42×6，若❑ √96n是整数，则96 一定是一个完全平方数，即可求解． 【解答】解：96＝42×6，则❑ √96n是整数， 则正整数的最小值6． 故选：B． 4．（2022 春•饶平县校级期末）下列各式中，一定是二次根式的个数为（ ） ❑ √3，❑ √m，❑ √x 2+1，3 √4，❑ √−m 2−1， ❑ √a 3 （≥0），❑ √2a+1（＜1 2） ．3 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 1 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断． 【解答】解：❑ √3一定是二次根式； 当m＜0 时，❑ √m不是二次根式； 对于任意的数x，x2+1＞0，则❑ √x 2+1一定是二次根式； 3 √4是三次方根，不是二次根式； ﹣m2 1 ﹣＜0，则❑ √−m 2−1不是二次根式； ❑ √a 3 是二次根式； 当＜1 2时，2+1 可能小于0，不是二次根式． 故选：． 5．（2022 春•麻城市期中）已知x+y＝﹣5，xy＝4，则❑ √ y x +❑ √ x y 的值是（ ） ．−5 2 B．5 2 ．± 5 2 D．25 4 【分析】根据已知条件得出x、y 同号，并且x、y 都是负数，求出x＝﹣1，y＝﹣4 或x ＝﹣4，y＝﹣1，再求出答即可． 【解答】解：∵x+y＝﹣5，xy＝4， ∴x、y 同号，并且x、y 都是负数， 解得：x＝﹣1，y＝﹣4 或x＝﹣4，y＝﹣1， 当x＝﹣1，y＝﹣4 时，❑ √ y x +❑ √ x y =❑ √ −4 −1 +❑ √ −1 −4 ＝2+1 2 ¿ 5 2； 当x＝﹣4，y＝﹣1 时，❑ √ y x +❑ √ x y =❑ √ −1 −4 +❑ √ −4 −1 ¿ 1 2 +¿2 ¿ 5 2， 则❑ √ y x +❑ √ x y 的值是5 2， 故选：B． 6．（2022 春•沙坪坝区校级月考）已知方程❑ √x+¿3❑ √y=❑ √300，则此方程的正整数解的 1 组数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【分析】先把❑ √300化为最简二次根式，由❑ √x+¿3❑ √y=❑ √300可知❑ √x，❑ √y化为最简根 式应与❑ √3为同类根式，即可得到此方程的正整数解的组数有三组． 【解答】解：∵❑ √300=¿10❑ √3，x，y 为正整数， ∴❑ √x，❑ √y化为最简根式应与❑ √3为同类根式，只能有以下三种情况： ❑ √x+¿3❑ √y=❑ √3+¿9❑ √3=¿4❑ √3+¿6❑ √3=¿7❑ √3+¿3❑ √3=¿10❑ √3． ∴{ x1=3 y1=27，{ x2=48 y2=12，{ x3=147 y3=3 ，共有三组解． 故选：． 7．（2022 春•沙坪坝区校级月考）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） ．❑ √0.49与3❑ √0.7 B．❑ √5 x 2 y与❑ √ 1 5 x y 2 ．❑ √x−y与❑ √ x+ y x 2−y 2 D．y x ❑ √x 3 y 5与x y ❑ √x y 2 【分析】把四组式子化成最简二次根式后根据同类二次根式的定义进行判断． 【解答】解：、❑ √0.49=¿07，不是二次根式，本项错误； B、❑ √5 x 2 y=x ❑ √5 y，❑ √ 1 5 x y 2= y 5 ❑ √5 x，不是同类二次根式，本项错误； 、❑ √ x+ y x 2−y 2= 1 x−y ❑ √x−y与❑ √x−y是同类二次根式，本项正确； D、y x ❑ √x 3 y 5= y 3 ❑ √xy，x y ❑ √x y 2=x ❑ √x不是同类二次根式，本项错误， 故选：． 8．（2022 春•内黄县校级月考）如图、在一个长方形中无重叠的放入面积分别为16m2和 12m2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） ．（4 2 ﹣❑ √3）m2 B．（8❑ √3−¿4）m2 ．（8❑ √3−¿12）m2 D．8m2 【分析】欲求S 空白部分＝S 矩形LFG+S 矩形MEF，需求以及LM．由题意得S 正方形B＝2＝16m2，S 正 方形LMEF＝LM2＝LF2＝12m2，故＝4m，LM＝LF＝2❑ √3m，进而解决此题． 1 【解答】解：如图． 由题意知：S 正方形B＝2＝16m2，S 正方形LMEF＝LM2＝LF2＝12m2， ∴＝4m，LM＝LF＝2❑ √3m． ∴S 空白部分＝S 矩形LFG+S 矩形MDE ＝L•LF+M•ME ＝L•LF+M•LF ＝（L+M）•LF ＝（﹣LM）•LF ＝（4 2 ﹣❑ √3）×2❑ √3 ＝（8❑ √3−¿12）（m2）． 故选：． 9 ．（2022 春• 沙坪坝区校级月考）二次根式除法可以这样解：如 2+❑ √3 2−❑ √3= (2+❑ √3)(2+❑ √3) (2−❑ √3)(2+❑ √3)=¿7+4❑ √3．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母 中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（ ） ①若是❑ √2的小数部分，则3 a的值为❑ √2+¿1； ②比较两个二次根式的大小 1 ❑ √6−2 ＞ 1 ❑ √5−❑ √3； ③计算 2 3+❑ √3 + 2 5 ❑ √3+3 ❑ √5 + 2 7 ❑ √5+5 ❑ √7 +⋯+ 2 99 ❑ √97+97 ❑ √99=¿1−❑ √3 3 ； ④对于式子 1 ❑ √5−❑ √2，对它的分子分母同时乘以❑ √5−❑ √2或❑ √5或7 2 ﹣❑ √10，均不能对 其分母有理化； ⑤设实数x，y 满足（x+ ❑ √x 2+2022）（y+ ❑ √y 2+2022）＝2022，则（x+y）2+2022＝ 2022； ⑥若x¿ ❑ √n+1−❑ √n ❑ √n+1+❑ √n ，y¿ 1 x ，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数＝2． ．①④⑤ B．②③④ ．②④⑤⑥ D．②④⑥ 1 【分析】①¿ ❑ √2−¿1，把3 a直接分母有理化即可判断； ②把 1 ❑ √6−2和 1 ❑ √5−❑ √3分别分母有理化比较大小即可； ③把 2 3+❑ √3 + 2 5 ❑ √3+3 ❑ √5 + 2 7 ❑ √5+5 ❑ √7 +⋯+ 2 99 ❑ √97+97 ❑ √99的各项先分母有理化， 再裂成两项计算即可； ④按照题意，分别进行分母有理化计算即可判断； ⑤先化简成x+ ❑ √x 2+2022= ❑ √y 2=2022−¿y 和y+ ❑ √y 2+2022= ❑ √x 2+2022−¿x 两个式 子，把两个式子相加即可求出x+y＝0，再判断即可； ⑥分别把x 和y 分母有理化，求出x+y 和xy 的值，代入19x2+123+19y2＝1985，求出 x2+y2＝98，再求出x+y 的值即可． 【解答】解：①若是❑ √2的小数部分，则3 a= 3 ❑ √2−1= 3(❑ √2+1) (❑ √2−1)(❑ √2+1)=¿3❑ √2+¿3， 故①错误，不符合题意； ②∵ 1 ❑ √6−2= ❑ √6+2 (❑ √6−2)(❑ √6+2)= ❑ √6+2 2 ， 1 ❑ √5−❑ √3= ❑ √5+❑ √3 2 ，❑ √6+2＞❑ √5+❑ √3， ∴ 1 ❑ √6−2 ＞ 1 ❑ √5−❑ √3 ， 故②正确，符合题意； ③ 2 3+❑ √3 + 2 5 ❑ √3+3 ❑ √5 + 2 7 ❑ √5+5 ❑ √7 +⋯+ 2 99 ❑ √97+97 ❑ √99 ¿ 3−❑ √3 3 + 5 ❑ √3−3 ❑ √5 15 + 7 ❑ √5−5 ❑ √7 35 +¿+99 ❑ √97−97 ❑ √99 9603 ＝1−❑ √3 3 + ❑ √3 3 − ❑ √5 5 + ❑ √5 5 − ❑ √7 7 +¿+❑ √97 97 − ❑ √99 99 ＝1−❑ √99 99 ＝1−❑ √11 33 ， 故③错误； ④ 1 ❑ √5−❑ √2= ❑ √5−❑ √2 (❑ √5−❑ √2)(❑ √5−❑ √2)= ❑ √5−❑ √2 7−2❑ √10 ， 1 ❑ √5−❑ √2= ❑ √5 (❑ √5−❑ √2)×❑ √5= ❑ √5 5−❑ √10 ， 1 1 ❑ √5−❑ √2= 7−2❑ √10 (❑ √5−❑ √2)(7−2❑ √10)= 7−2❑ √10 15 ❑ √5−17 ❑ √2 ， ∴均不能对其分母有理化， 故④正确； ⑤∵（x+ ❑ √x 2+2022）（y+ ❑ √y 2+2022）＝2022， ∴（x+ ❑ √x 2+2022）¿ 2022 y+ ❑ √y 2+2022 ， ∴x+ ❑ √x 2+2022= ❑ √y 2+2022−¿y， 同理y+ ❑ √y 2+2022= ❑ √x 2+2022−¿x， 两式相加得，x+y＝0， ∴（x+y）2+2022＝2022， 故⑤正确； ⑥x¿ ❑ √n+1−❑ √n ❑ √n+1+❑ √n = (❑ √n+1−❑ √n) 2 (❑ √n+1+❑ √n)(❑ √n+1−❑ √n)=¿2+1 2 ﹣❑ √n(n+1)， y¿ 1 x = ❑ √n+1+❑ √n ❑ √n+1−❑ √n=¿2+1+2❑ √n(n+1)， ∴x+y＝4+2，xy＝1，x＞0，y＞0， 19 ∴ x2+123+19y2＝1985， ∴x2+y2＝98， ∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝100， ∴x+y＝10， ∴＝2， 故⑥正确； 故选：． 10 ． （ 2022• 鄞 州 区 校 级 自 主 招 生 ） 设 S=❑ √ 1+ 1 1 2 + 1 2 2 +❑ √ 1+ 1 2 2 + 1 3 2 +⋯+❑ √ 1+ 1 2016 2 + 1 2017 2，则S 最接近的整数是（ ） ．2015 B．2016 ．2017 D．2018 【分析】先对通式进行化简，然后将S 的各项代入计算即可． 【解答】解：∵❑ √ 1+ 1 n❑ 2 + 1 (n+1)❑ 2 ❑ ¿ ❑ √ n 2(n+1) 2+n 2+(n+1) 2 [n(n+1)]❑ 2 1 ¿ ❑ √ [n(n+1)]❑ 2+2n(n+1)+1 ¿¿ ¿ ¿ ❑ √ (n❑ 2+n+1)❑ 2 [n(n+1)]❑ 2 ¿ n 2+n+1 n(n+1) ＝1 +1 n(n+1) ＝1+1 n −1 n+1， S=❑ √ 1+ 1 1 2 + 1 2 2 +❑ √ 1+ 1 2 2 + 1 3 2 +⋯+❑ √ 1+ 1 2016 2 + 1 2017 2 ＝（1+1−1 2 ）+（1+1 2 −1 3）+…+（1 +1 2016− 1 2017） ＝2016+（1−1 2 + 1 2−1 3 + 1 3−1 4 +⋯+ 1 2016 − 1 2017 ＝2017 −1 2017 ， 所以S 最接近的整数是2017， 故选：． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．（2022•合肥模拟）使代数式 ❑ √x−2 x 有意义的x 的取值范围是 x ≥2 ． 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0 列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x 2≥0 ﹣ 且x≠0， 解得x≥2 且x≠0， 所以，x≥2． 故答为：x≥2． 12．（2022 秋•平昌县月考）化简：﹣❑ √ −1 a 化成最简二次根式为 ❑ √−a ． 【分析】根据二次根式的性质，可得答． 【解答】解：由题意＜0， ﹣❑ √ −1 a =❑ √(−a) 2×( 1 −a )=❑ √−a， 故答为：❑ √−a． 1 13．（2022 春•玉林期中）若¿ −1+❑ √1−4t 2 ，b¿ −1−❑ √1−4t 2 ，则ab a+b=¿ ﹣ t ． （结果用含t 的式子表示） 【分析】先根据二次根式的加法和二次根式的乘法法则求出+b 和b 的值，再求出答即可． 【解答】解：∵¿ −1+❑ √1−4t 2 ，b¿ −1−❑ √1−4 t 2 ， + ∴b¿ −1+❑ √1−4 t 2 +−1−❑ √1−4t 2 =−¿1， b¿ −1+❑ √1−4 t 2 ×−1−❑ √1−4t 2 ¿ 1 2−(❑ √1−4t ) 2 4 =¿t， ∴ab a+b= t −1 ＝﹣t， 故答为：﹣t． 14．（2022 春•苏州期末）像（❑ √5+❑ √2）（❑ √5−❑ √2）＝3、❑ √a• ❑ √a=¿（≥0）、（ ❑ √b+¿1）（❑ √b−¿1）＝b 1 ﹣（b≥0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次 根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．请写出❑ √3−❑ √2的一个有理化因式 ❑ √3+❑ √2 ． 【分析】根据题意可以解答本题． 【解答】解：∵(❑ √3−❑ √2)(❑ √3+❑ √2)=1， ∴❑ √3+❑ √2是❑ √3−❑ √2的一个有理化因式． 故答为：❑ √3+❑ √2（答不唯一）． 15 ． （ 2022 春 • 沙 坪 坝 区 校 级 月 考 ） 实 数 、 b 满 足 ❑ √a 2−4 a+4+ ❑ √36−12a+a 2=10−¿b+4∨−¿b−2∨¿，则2+b2 的最大值为 52 ． 【分析】根据❑ √a 2=¿||化简变形得：| 2|+| 6|+| ﹣ ﹣ b+4|+|b 2| ﹣＝10，到2 和6 的距离之和 ＝4，b 到﹣4 和2 的距离之和是6，得到2≤≤6，﹣4≤b≤2，根据||最大为6，|b|最大为4 即可得出答． 【解答】解：原式变形为❑ √(a−2) 2+ ❑ √(a−6) 2+¿|b+4|+|b 2| ﹣＝10， | 2|+| 6|+| ∴﹣ ﹣ b+4|+|b 2| ﹣＝10， ∴到2 和6 的距离之和是4，b 到﹣4 和2 的距离之和是6， 2≤≤6 ∴ ，﹣4≤b≤2， 1 || ∴最大为6，|b|最大为4， ∴2+b2＝62+（﹣4）2＝36+16＝52． 故答为：52． 16 ．（2022 秋• 闵行区校级期中）已知x¿ ❑ √n+1−❑ √n ❑ √n+1+❑ √n ，y¿ ❑ √n+1+❑ √n ❑ √n+1−❑ √n ，且 19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数的值为 2 ． 【分析】先将x，y 分母有理化化简为含的代数式，可得x+y＝4+2，xy＝1，然后将xy＝ 1 代入19x2+123xy+19y2＝1985，结果化简为x2+y2＝98，进而求解． 【解答】解：∵x¿ ❑ √n+1−❑ √n ❑ √n+1+❑ √n = (❑ √n+1−❑ √n) 2 (❑ √n+1+❑ √n)(❑ √n+1−❑ √n) =¿（❑ √n+1−❑ √n）2 ＝ 2+1 2 ﹣❑ √n(n+1)， y¿ ❑ √n+1+❑ √n ❑ √n+1−❑ √n ， (❑ √n+1+❑ √n) 2 (❑ √n+1−❑ √n)(❑ √n+1+❑ √n)=¿（❑ √n+1+❑ √n）2＝2+1+2❑ √n(n+1)， ∴x+y＝4+2，xy＝1， 将xy＝1 代入19x2+123xy+19y2＝1985 得19x2+123+19y2＝1985， 化简得x2+y2＝98， （x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2＝100， ∴x+y＝10． 4+2 ∴ ＝10， 解得＝2． 故答为：2． 三．解答题（共7 小题，满分52 分） 17．（2022 春•亭湖区校级月考）计算： （1）❑ √3×❑ √6÷ ❑ √8； （2）3❑ √5+¿2❑ √ 1 2−❑ √20+ 1 4 ❑ √32； （3）❑ √ab 2÷ ❑ √ b a × ❑ √a 3b；（其中＞0，b＞0） （4）（❑ √3+❑ √5）2+（❑ √3−¿1）（❑ √3+¿1）． 【分析】（1）先算乘法，再算除法即可； （2）先化简，然后合并同类二次根式即可； （3）根据二次根式的乘除法可以解答本题； （4）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式和 同类项即可． 1 【解答】解：（1）❑ √3×❑ √6÷ ❑ √8 ＝3❑ √2÷2❑ √2 ¿ 3 2； （2）3❑ √5+¿2❑ √ 1 2−❑ √20+ 1 4 ❑ √32 ＝3❑ √5+❑ √2−¿2❑ √5+❑ √2 ¿ ❑ √5+2❑ √2； （3）❑ √ab 2÷ ❑ √ b a × ❑ √a 3b（其中＞0，b＞0） ＝b❑ √a•❑ √ a b •❑ √ab ＝b❑ √a 3 ＝2b❑ √a； （4）（❑ √3+❑ √5）2+（❑ √3−¿1）（❑ √3+¿1） ＝3+2❑ √15+¿5+3 1 ﹣ ＝10+2❑ √15． 18．（2022 秋•管城区校级月考）如果 1 3−❑ √7 的整数部分是，小数部分是b，求a b的值． 【分析】由 1 3−❑ √7 =3+❑ √7 2 ，可得整数部分是＝2，小数部分是b¿ ❑ √7−1 2 ，继而求得a