第一章 勾股定理压轴题考点训练（解析版）

第一章 勾股定理压轴题考点训练 评卷人 得分 一、单选题 1．在△B 中，B＝13 m，＝20 m，B 边上的高为12 m，则△B 的面积是 ．126 m2 或66 m2 B．66 m2 ．120 m2 D．126m2 【答】 【分析】此题分两种情况：∠B 为锐角或∠B 为钝角已知B、的值，利用勾股定理即可求出 B 的长，利用三角形的面积公式得结果． 【详解】当∠B 为锐角时（如图1）， 在Rt△BD 中， m， 在Rt△D 中， m， ∴B=21， ∴S△B= B•D= ×21×12=126m2； 当∠B 为钝角时（如图2）， 在Rt△BD 中， m， 在Rt△D 中， m， ∴B=D-BD=16-5=11m， ∴S△B= B•D= ×11×12=66m2； 故答为：126 或66． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题 的关键． 2．如图所示，在 中， ， ， 分别以 ， ， 为直 径作半圆（以 为直径的半圆恰好经过点 ，则图中阴影部分的面积是（ ） ．4 B．5 ．7 D．6 【答】D 【分析】先利用勾股定理计算B 的长度，然后阴影部分的面积=以B 为直径的半圆面积+以 B 为直径的半圆面积+ -以为直径的半圆面积 【详解】解：在 中 ∵ ， , ∴ , ∴B=3, ∴阴影部分的面积=以B 为直径的半圆面积+以B 为直径的半圆面积+ -以为直径的半 圆面积 =6 故选D 【点睛】本题考查扇形面积的计算和勾股定理在本题中解题关键是用重叠法去表示阴影部 分的面积 3．刘徽是我国三国时期杰出的数学大师，他的一生是为数学刻苦探究的一生，在数学理论 上的贡献与成就十分突出，被称为“中国数学史上的牛顿”．刘徽精编了九个测量问题， 都是利用测量的方法来计算高、深、广、远问题的，这本著作是（ ）． ．《周髀算经》 B．《九章算术》 ．《孙子算经》 D．《海岛算经》 【答】D 【分析】运用《九章算术注》相关知识即可直接解答． 【详解】解：由于《九章算术注》是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，该书第一 卷的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，故本书的名称是《海岛算经》． 故答为D． 【点睛】本题主要考查了数学常识，了解一定的数学史以及数学著作是解答本题的关键． 4．如图，正方形BD 的边长为2，其面积标记为S1，以D 为斜边作等腰直角三角形，以该 等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下 去，则S2016的值为（ ） ．（ ）2013 B．（ ）2014 ．（ ）2013 D．（ ）2014 【答】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分S 的值，根据数的变化找 出变化规律“S=( )−3”，依此规律即可得出结论． 【详解】解：在图中标上字母E，如图所示． ∵正方形BD 的边长为2，△DE 为等腰直角三角形， ∴DE2+E2=D2，DE=E， ∴S2+S2=S1． 观察，发现规律：S1=22=4，S2= S1=2，S3= S2=1，S4= S3= ，…， ∴S=( )−3． 当=2016 时，S2016=( )2016−3=( )2013． 故选． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题 的关键是找出规律“S=( )−3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部 分S 的值，根据数值的变化找出变化规律是关键． 5．如图，是一长、宽都是3 m，高B＝9 m 的长方体纸箱，B 上有一点P，P＝ B，一只 蚂蚁从点出发沿纸箱表面爬行到点P 的最短距离是( ) ．6 m B．3 m ．10 m D．12 m 【答】 【分析】将图形展开，可得到安排P 较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可． 【详解】解：(1)如图1，D=3m，DP=3+6=9m， 在Rt△DP 中，P= ＝3 m ((2)如图2， =6m，P=6m，Rt△DP 中，P= = m 综上，蚂蚁从点出发沿纸箱表面爬行到点P 的最短距离是 m． 故选． 【点睛】题考查了平面展开--最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键． 6．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦 图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 BD，正方形EFG，正方形MKT 的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于 S1、S2、S3的说法正确的是（ ） ．S1＝2 B．S2＝3 ．S3＝6 D．S1+S3＝8 【答】D 【分析】根据八个直角三角形全等，四边形BD，EFG，MKT 是正方形，得出 ， ，再根据三个正方形面积公式列式相加： ，求出 的值， 从而可以计算结论即可． 【详解】解： 八个直角三角形全等，四边形BD，EFG，MKT 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角 形的性质，根据已知得出 是解决问题的关键． 7．如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形BD 和正方形EFG，即赵爽弦图，连接， F 交EF，G 分别于点M，已知=3D，且S 正方形BD ，则图中阴影部分的面积之和为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】利用勾股定理求出D 和，根据全等三角形的性质可得E=D=G= ，G： FG=E：E=1:2，根据全等三角形的判定可证 EM≌ G， ≌ FM，从而得出S△EM= S△G， S△ = S△FM，即可求出S 四边形MFG，最后根据S 阴影=S△MF＋S△EM＋S△G即可求出结论． 【详解】解：∵=3D，且S 正方形BD ， ∴2＋D2=D2=21 即（3D）2＋D2=21 解得：D= ， ∴= 由全等三角形的性质可得E=D=G= ，G：FG=E：E=1:2 ∴正方形EFG 的边长E=－E= ，S△FG=2S△G ∥ ∵F，∴∠E=∠FM ∠ ∵ EM=∠G=90°，E=G，∠=∠FM=90°，=F ∴ EM≌ G， ≌ FM，∴S△EM= S△G，S△ = S△FM ∴S 四边形MFG= S△FM－S△G= S△－S△EM=S 四边形EM= S 正方形EFG= × = ∵S△FG=2S△G，∴S 阴影=S△MF＋S△EM＋S△G= S△MF＋2S△G= S△MF＋S△FG= S 四边形MFG= 故选B． 【点睛】此题考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握勾股定理、全等三角形 的判定及性质和各图形的面积公式是解决此题的关键． 8．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我 国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图 2），连接 ，并延长 交 于点K，连接 ．若 ，则 的 长为（ ） ． B．2 ． D． 【答】 【分析】过点K 作 ，与 的延长线交于点M，由图形关系求得 ，再求得 ， ，求得 与 ， 进而由勾股定理求得结果． 【详解】解：过点K 作 ，与 的延长线交于点M， ∵ ， ， ∴ ， ∵ 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ 中， ． 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，关键是构造直角三角形． 9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离 为 米，顶端距离地面 米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距 离地面 米，则小巷的宽度为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度． 【详解】解：如图，由题意可得： D2=072+242=625， 在Rt△B 中，∵∠B=90°，B=15 米，B2+B2=2，D=， ∴B2+152=625，∴B=±2， ∵B＞0，∴B=2 米，∴小巷的宽度为：07+2=27（米）．故选：D 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程 的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准 确的示意图． 10．如图，正方形B 和正方形DEF 的顶点，，E 在同一直线l 上，且EF＝ ，B＝3，下 列结论：①∠D＝45°；②E＝5；③F＝BD＝ ；④△F 的面积是 ．其中正确的结论为 （ ） ．①②④ B．①④ ．②③ D．①③④ 【答】 【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求得∠D； ②根据正方形的性质求得E 的长，再根据线段的和差解得E 的长； ③作 于，作 交的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG 的长，根据勾股定理可求得F，BD 的长，据此解答； ④根据三角形面积公式即可解答． 【详解】解：① 故①正确； ② 故②正确； ③作 于，作 交的延长线于G，则FG=1 故③错误； ④ ， 故④正确， 即正确的结论为：①②④ 故选：． 【点睛】本题考查正方形的性质、含45°的直角三角形的性质、三角形面积、勾股定理、 平角的定义等知识，综合性较强，掌握相关知识是解题关键． 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，矩形BD 中，D＝6，B＝8．点E 为边D 上的一个动点，△D'E 与△DE 关于直线E 对称，当△D'E 为直角三角形时，DE 的长为 ． 【答】3 或6 【分析】分两种情况分别求解，（1）当∠ED′＝90°时，如图（1），根据轴对称的性质得 ∠ED＝∠ED′＝45′，得DE＝D＝6； （2）当∠ED′＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠D′E＝∠D，D′＝D，DE＝D′E， 得、D′、在同一直线上，根据勾股定理得＝10，设DE＝D′E＝x，则E＝D−DE＝8−x，根据 勾股定理得，D′E2＋D′2＝E2，代入相关的值，计算即可． 【详解】解：当∠ED′＝90°时，如图（1）， ∠ ∵ ED′＝90°， 根据轴对称的性质得∠ED＝∠ED′＝ ×90°＝45°， ∠ ∵ D＝90°， △ ∴DE 是等腰直角三角形， ∴DE＝D＝6； （2）当∠ED′＝90°时，如图（2）， 根据轴对称的性质得∠D′E＝∠D＝90°，D′＝D，DE＝D′E，△D′E 为直角三角形， 即∠D′E＝90°， ∠ ∴ D′E＋∠D′E＝180°， ∴、D′、在同一直线上， 根据勾股定理得 ， ∴D′＝10−6＝4， 设DE＝D′E＝x，则E＝D−DE＝8−x， 在Rt△D′E 中，D′E2＋D′2＝E2， 即x2＋16＝(8−x)2， 解得x＝3， 即DE＝3； 综上所述：DE 的长为3 或6； 故答为：3 或6． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股 定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，作出图形是解题关键． 12．折纸飞机是我们时快乐的回忆，现有一张长为290mm，宽为200mm 的白纸，如图所 示，以下面几个步骤折出纸飞机：（说明：第一步：白纸沿着EF 折叠，B 边的对应边′B′ 与边D 平行，将它们的距离记为x；第二步：将EM，MF 分别沿着M，MG 折叠，使EM 与MF 重合，从而获得边G 与′B′的距离也为x），则PD= mm． 【答】 【分析】延长ME′交D 于T，在TM 上截取T=TP，设DP=m．构建方程可求得x=30， T=TP 可知∠PT=45°，∠PM=225°，进而∠MP=∠PM=225°，可求得M=P= （100-m）可构 建方程 （100-m）+100-m=16，解得m=（260-160 ）mm，即可解决问题． 【详解】解：延长ME′交D 于T，在TM 上截取T=TP，设DP=m． 由题意M=M=100，MT=160 3x=290-200 x=30 ∵T=TP ∠ ∴ PT=45° ∠ ∵ PT=∠PMT+∠MP，∠PM=225° ∠ ∴ MP=∠PM=225° ∴M=P= （100-m） ∴ （100-m）+100-m=160 解得m=（260-160 ）mm ∴PD=（260-160 ）mm 故答为260-160 【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会 利用参数构建方程解决问题，属于中考创新题型． 13．如图，点 在直线 上， ， ． 为射线 上的动点，连接 ， 将线段 绕点 逆时针旋转 至 ，以 为斜边作等腰 ．若点 在直线 上，则 的长是 ． 【答】5 或 【分析】本题按照题意合理画图，尽可能想到各种情况，然后根据等腰直角三角形的性质 以及以此构造全等三角形，结合正切函数的概念，即可求解． 【详解】分两种情况： 第一种情况：如图，延长 交 于 ， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ． 又 ， ∴ ．由已知 ，且点、点、点 在同一条直线上， ∴与 是同一点（或重合）． 又∵ ，且 为直角三角形． ∴ ，又由 得， ， 解得： ． 第二种情况：如下图，分别自、D 作 的垂线，垂足为点、点F，过D 作 延长线的垂 线，与 的延长线交于点．设 与 交于R． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． 同理可证， ，则 ． 由 得四边形 是矩形， ∴ ． 由 、 为直角三角形，可得 ． 设 ，则 ． 由于 为等腰直角三角形，且 ，设 ， 则 ． 在直角 与直角 中，由勾股定理得： ， 即： ， 消去x，得 ， 即 ． 考虑到为正值，两边开方得， ， ∴ ． ∴ ， 故答为：5 或 ． 【点睛】本题考查旋转的相关知识点，涉及等腰直角三角形性质、正切函数的计算等，利 用90°旋转的特点构造全等三角形是解题的关键． 14．如图，已知 中， ，D 是 的中点， 于点E；连接 ，则 下列结论正确的是 ．(写出所有正确结论的序号) ① ； ②当E 为 中点时， ﹔ ③若 ，则 ； ④若 ，则 面积的最大值为2． 【答】①②③④ 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角的性质以及等角的余角相等即可 判断①正确；证得△D 是等边三角形，得出∠B=60°，解得B= ，即可判断②正确；证得 △DE △ ≌BDM 即可求得DE=DM，解直角三角形即可得到BE=2EM=4DE，即可判断③正确； 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的可得 ，则 ，则 面积的最大值为2，即可判断④正确． 【详解】解：△B 中，∠B=90°，D 是B 的中点， ∴D=BD=D， ∠ ∴ DB=∠DB， ∠ ∴ D=2∠DB， ∵E⊥D 于点E， ∠ ∴ E+∠E=90°， ∠ ∵ E+∠DB=90°， ∠ ∴ E=∠DB， ∠ ∴ D=2∠E，故①正确； 当E 为D 中点时，∵E⊥D， ∴=D， △ ∴D 是等边三角形， ∠ ∴ B=60°， ∴B= ，故②正确； 作BM⊥D，交D 的延长线于点M，则E∥BM， ∠ ∴ DE=∠DBM， ∠ ∵ DE=∠BDM，D=BD， △ ∴DE △ ≌BDM（S）， ∴DE=DM， 若∠BED=60°，则BE=2EM=4DE，故③正确； △ ∵DE △ ≌BDM， ∴E=BM，DE=DM， ∴S△BE=S△BEM= •BM•EM= •E•2DE=E•DE， 若B=4，则D=2， 在Rt△DE 中，D2=E2+DE2， 即 的最大值值为1， △ ∴BE 面积的最大值为2，故④正确； 故答为：①②③④． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的性质，等边三角形的判断和性质，解直角三角形， 三角形的全等的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积，综合运用以上知识是解题 的关键． 15．如图，在四边形 中， ， 是 上一点， ， ， ． 【答】 【分析】通过等腰直角三角形构建一线三等角模型求解即可． 【详解】 解：如图所示，分别过、D 作 于E， 于F ∴ ∴ , ∵ ∴ ∴ , 在 与 中 ∴ ∴ ， 在 中， ∴ 同理可得： ∴ 故答为： ． 【点睛】本题考查特殊的直角三角形，灵活运用一线三等角模型及特殊直角三角形三边关 系是解题的关键． 16．在一个长为2 米，宽为1 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长 和场地宽D 平行且大于D，木块的正视图是边长为02 米的正方形，一只蚂蚁从点处，到达 处需要走的最短路程是 米．（精确到01 米） 【答】26 【分析】将木块展开，根据两点之间线段最短及勾股定理即可求出答． 【详解】如图，将木块展开， 可知蚂蚁从点到达点时，在横向上移动的距离为： （米）， 在纵向上移动的距离为： （米）， 由两点之间线段最短可知，从点处到达处需要走的最短路程为： （米）． 故答为：26 【点睛】本题考查两点间最短距离，需要想象着将木块展开再进行计算，对空间想象能力 要求较高，有一定难度． 17．如图，在 中， ，点E 是 的中点，动点P 从点出发以每秒 的速度沿→→B 运动，设点P 运动的时间是t 秒，那么当 ，△PE 的面积等于12． 【答】3 或18 或22 【分析】分当点P 在线段 上运动时，当点P 在线段 上运动且在点E 的右边时和当点 P 在线段 上运动且在点E 的左边时三种情况讨论，即可求出t 的值． 【详解】解：∵ ， ， ， ∴ ， ∵点E 是 的中点， ∴ ， ． 当点P 在线段 上运动时， ∵ 的面积等于12，即 ， ∴ ， ∴ 秒； 当点P 在线段 运动时上且在点E 的右边时，，如图2 所示， 同理可知 ， ∴ 秒； 当点P 在线段 上运动且在点E 的左边时，如图3 所示， 同理可知 ， ∴ 秒； 故答为∶3 或18 或22． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式的运用，勾股定理，以及中线的性质，分类讨论的 数学思想，解答时分类讨论是是关键． 18．如图，一个长方体纸箱，长是6，宽和高都是4，一只蚂蚁从顶点沿纸箱表面爬到顶点 B，它所走的最短路线的长是 ． 【答】10 【分析】根据题意画出图形，求出、B 的长，根据勾股定理求出B 即可 【详解】有两种情况，如图所示： （1）如图1，由题意知=4，B=6+4=10 由勾股定理得： （2）如图2，由题意知：=4+4=8，B=6 由勾股定理得： （3）如图3，由题意知：=4+4=8，B=6 由勾股定理得： ∵ ∴最短是10 故答为10 【点睛】本题考查利用勾股定理解决