专题08 三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型（原卷版）

专题08 三角形中的重要模型 -平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全 等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型） 模型1、平分平行（射影）构等腰 1）角平分线加平行线必出等腰三角形． 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线 及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总 结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。 图1 图2 图3 条件：如图1，’平分∠M，过’的一点P 作PQ// 结论：△PQ 是等腰三角形。 条件：如图2，△B 中，BD 是 ∠ B 的角平分线，DE B ∥ 。结论：△BDE 是等腰三角形。 条件：如图3，在 中， 平分 ， 平分 ，过点作 的平行线与 ， 分别相 交于点M，．结论：△BM、△都是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． F A B C D E → × × ○ ○ × 图4 条件：如图4，BE 平分∠B，∠B＝∠D＝90° 结论：三角形EF 是等腰三角形。 例1．（2023·河南濮阳·统考二模）如图，直线 ，点 、 分别在、 上，以点 为圆心，适当长 为半径画弧，交 、 于点 、 ；分别以 、 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ；作 射线 交于点 ．若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 例2．（2023 湖南长沙八年级期中）如图，点为△B 的∠B 和∠B 的平分线的交点，D // B 交B 于点D， E // 交B 于点E．若B=5 m，B=10 m，=9 m，则△DE 的周长为( ) ．10 m B．9 m ．8 m D．5 m 例3．（2023·广东·八年级期末）如图，▱BD 中，B＝3m，B＝5m，BE 平分∠B 交D 于E 点，F 平分∠BD 交D 于F 点，则EF 的长为 m． 例4（2023 成都市青羊区八年级期中）如图，在 中， ， 于点D， 的平 分线BE 交D 于F，交于E，若 ， ，则 _____________． 例5．（2023 山东八年级期末）如图①，△B 中，B=，∠B、∠的平分线交于点，过点作EF∥B 交B、于E、 F(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF 与BE、F 之间有怎样的关系 (2)如图②,若B≠，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们在第(1)问中EF 与BE、F 间的关系还存在吗?(3)如图③，若△B 中∠B 的平分线B 与三角形外角平分线交于，过点作E∥B 交B 于E，交 于F 这时图中还有等腰三角形吗?EF 与BE、F 关系又如何?说明你的理由 模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型 1）内角平分线定理 D C B A 图1 图2 图3 条件：如图1，在△B 中，若D 是∠B 的平分线。 结论： 2）外角平分线定理 条件：如图2，在△B 中，∠B 的外角平分线交B 的延长线于点D。 结论： ． 3）奔驰模型 条件：如图3， 的三边 、 、 的长分别是，b，，其三条角平分线交于点，将 分为三 个三角形。结论： =：：b。 例1．（2022 秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在 中， ， ， ， 是 的平分线，设 和 的面积分别是 ， ，则 ． 例2．（2023·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图， 的三边 ， ， 长分别是3，4，5，其 三条角平分线将 分为三个三角形，则 为（ ） ． B． ． D． 例3．（2022 春·江苏·九年级专题练习）请阅读以下材料，并完成相应的问题： 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△B 中，D 平分∠B，则 ． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点作 ．交B 的延长线于点E．… 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图3，已知Rt△B 中，B＝3，B＝4，∠B＝90°，D 平分∠B，求△BD 的周长． 例4、△B 中，∠B 的外角平分线交B 的延长线于点D，求证： ． 例5（2022 秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在 中，D 是 边上的点（不与点B、重合），连 接 ．(1)如图1，当点D 是 边的中点时， _____；(2)如图2，当 平分 时，若 ， ，求 的值（用含m、的式子表示）；(3)如图3， 平分 ，延长 到E．使得 ，连接 ，若 ，求 的值． 课后专项训练 1．（2023 春·山东淄博·九年级校考期中）如图， 中， ，点为 各内角平分线的交点， 过点作 的垂线，垂足为，若 ， ， ，那么 的值为（ ） ．1 B． ．2 D． 2．（2023 春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图， 是 的角平分线， 相交于点 于 ， ，下列四个结论：① ；② ；③若 的周长为 ，则 ；④若 ，则 ．其中正确的结论有（ ）个． ． B． ． D． 3．（2023 秋·四川南充·八年级校考期末）如图， 内角 和外角 的平分线交于点 ， 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，有以下结论；① ；② ；③若 ，则 ；④ ；⑤ ．其中正确的结论有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 4．（2022 秋·江苏宿迁·八年级校考期末）如图，在 中， ，垂足为D， 平分 ，交 于点E，交 于点F．若 ，则 的长为（ ） ． B．3 ． D． 5．（2023 春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，D⊥B，垂足为D，F 平分 ∠B，交D 于点E，交B 于点F，则下列结论成立的是（ ） ．E＝EF B．FE＝F ．E＝F D．E＝F＝EF 6．（2023·贵州·中考模拟）如图，在△B 中，∠B 和∠B 的平分线交于点E，过点E 作M B 交B 于M，交于， 若BM+=9，则线段M 的长为（ ） ．6 B．7 ．8 D．9 7．（2023·河南开封·统考模拟预测）如图，在 中， ， ，以 为圆心，任意长为半 径画弧分别交 、 于点 和 ，再分别以 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ， 连接 并延长交 于点 ，以下结论错误的是（ ） ． 是 的平分线 B． ．点 在线段 的垂直平分线上 D． 8．（2023·江苏扬州·九年级校联考期末）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，D⊥B，垂足为D，F 平分∠B，交 D 于点E，交B 于点F．若＝6，B＝10，则DE 的长为（ ） ． B．3 ． D． 9．（2023·北京顺义·统考二模）如图，在 中， ， 分别是 ， 的平分线，过点D 作 ，分别交 ， 于点E，F．若 ， ，则 的长为 ． 10．（2023 春·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）如图，在 中， ， 点 为 的边 上一点，点 分别在边 上，连接 ，若 ，则 的度数为 ． 11．（2023 秋·安徽滁州·八年级统考期末） 中，D 是 边上的点（不与点B，重合），连接 ． （1）如图1，当 平分 时，若 ， ，则 ；（2）如图2， 平分 ，延长 到E，使得 ，连接 ，如果 ， ， ，则 12（2023 广东九年级期中）如图所示，在△B 中，B =6，E、F 分别是B、的中点，动点P 在射线EF 上， BP 交E 于D，∠BP 的平分线交E 于Q，当Q = E 时，EP+BP =________ 13．（2023 春·山东淄博·七年级统考期末）如图，在 中， ， 是斜边 上的高， 的平分线 交 于点 ，交 于点 ．(1)求证： 是等腰三角形．(2)若 ， ．求 的长度． 14．（2023 秋·江苏·八年级专题练习）如图，在 中， ， 是 边上的高， 是 的角平分线， 与 交于点 ，求证： 是等腰三角形． 15．（2023 广东江门八年级月考）（1）如图1，已知，在 中， ， 平分 ， 平分 ，过点 作 ，分别交 、 于 、 两点，则图中共有________个等腰三角 形： 与 、 之间的数量关系是________， 的周长是________． （2）如图2，若将（1）中“ 中， ”改为“若 为不等边三角形， ， ”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形； 与 、 之间的数量关系是什么？证 明你的结论，并求出 的周长． （3）已知：如图3， 在 外， ，且 平分 ， 平分 的外角 ，过点 作 ，分别交 、 于 、 两点，则 与 、 之间又有何数量关系呢？写出结论并 证明． 16（2022 秋·福建厦门·八年级厦门市湖里中学校考期中）如图， 为 的角平分线． （1）如图1，若 于点 ，交 于点 ， ， ．则 ________； （2）如图2，若 ， ， 的面积是10，求 的面积； （3）如图3，若 ， ， ，请直接写出 的长（用含 ， 的式子表示） 17．（2023·湖南长沙·统考二模）如图， ，按照下列步骤作图： ①以点为圆心，小于 的长为半径画弧，分别交 、 于E、F 两点； ②分别以E、F 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线 ，交 于点M． (1)试根据作图过程，说明 是 的平分线的理由；(2)若 ，求 的度数． 18．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）爱动脑筋的小明同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽经过思 考发现里面还有一个有趣的结论： (1)【问题发现】如图1 所示，若 是 的角平分线，可得到结论： ． 小明的解法如下：过点D 作 于点E， 于点F，过点作 于点G， ∵ 是 的角平分线，且 ， ， ∴ ， ， ∵ ，∴ (2)【类比探究】如图2 所示，若 是 的外角平分线， 与 的延长线交于点D．求证： ． (3)【直接应用】如图3 所示， 中， ， 是 交 于D，若 ， ， 在不添加辅助线的情况下直接写出 ． (4)【拓展应用】如图4 所示，在 中， ， ， ，将 先沿 的平分 线 折叠，B 点刚好落在 上的E 点，剪掉重叠部分（即四边形BDE），再将余下部分（ ）沿 的平分线 折叠，再剪掉重叠部分（即四边形DEGF），求出剩余部分 的面积． 19．（2023·河南驻马店·校考三模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 《数学的发现》是2006 年科学出版社出版的图书，作者是（美）乔治·波利亚．本书通过对各种类型生动 而有趣的典型问题（有些是非数学的））进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型． 共高三角形：有一条公共高的三角形称为共高三角形． 共高定理：如图①，设点M 在直线 上，点P 为直线外一点，则有 下面是该结论的证明过程：证明：如图①，过点P 作 于点Q， ．．．．．． 按要求完成下列任务： (1)请你按照以上证明思路，结合图①完成剩余的证明； (2)如图②， ，①画出 的平分线（不写画法，保留作图痕迹，使用2B 铅笔作图）； ②若 的平分线交 于D，求证： ；(3)如图③，E 是平行四边形 边 上一点，连 接 并延长，交 的延长线于点F，连接 ，若 的面积为2，则 的面积为 ； 20．（2023·安徽合肥·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成相应的学习任务： 已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比 例，如图①，在△B 中，D 平分∠B，则 ．下面是这个定理的部分证明过程． (1)证明：如图②，过作E D ∥，交B 的延长线于E．请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)你还有其他的证明方法么？如果有，另外写出一个完整的证明过程。