专题07 三角形中的重要模型之平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题07 三角形中的重要模型之 平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全 等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................2 模型1 平分平行（射影）构等腰模型...........................................................................................................2 模型2 角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型...................................................7 ...............................................................................................................................................15 模型1 平分平行（射影）构等腰模型 角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造 等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以 后还会遇到很多类似总结）。 角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。 1）角平分线加平行线必出等腰三角形． 图1 图2 图3 条件：如图1，’平分∠M，过’的一点P 作PQ// 结论：△PQ 是等腰三角形。 证明：∵PQ//，∴∠1=∠3，∵’平分∠M，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴Q=PQ，∴△PQ 是等腰三角形。 条件：如图2，△B 中，BD 是∠B 的角平分线，DE ∥ B。结论：△BDE 是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ B，∴∠BDE=∠DB，∵BD 是∠B 的角平分线，∴∠DBE=∠DB， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE 是等腰三角形。 条件：如图3，在 中， 平分 ， 平分 ，过点作 的平行线与 ， 分别相 交于点M，．结论：△BM、△都是等腰三角形。 证明：由题意得：M ∥ B，∴∠BM=∠B，∵B 是∠B 的角平分线，∴∠BM=∠B， ∴∠BM=∠MB，∴BM=M，∴△BM 是等腰三角形。同理可得：△也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． F A B C D E → × × ○ ○ × 图4 条件：如图4，BE 平分∠B，∠B＝∠D＝90° 结论：三角形EF 是等腰三角形。 证明：∵BE 平分∠B，∴∠BE=∠BE，∵∠B＝90°，∴∠BE+∠EB=90°， ∵∠D＝90° ，∴∠BE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠FE，∴∠BE+∠FE=90°， ∴∠EB=∠FE，∴F=E，∴三角形EF 是等腰三角形。 例1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在 中，按以下步骤作图：①以点 为圆心，以适当长为 半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；②分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧 在 内交于点 ；③作射线 ，交 于点 ，交 延长线于点 ．若 ， ，下列结 论错误的是（ ） ． B． ． D． 例2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在 中， ， 和 的平分线相交于点 ， 过点 作 的平行线交 于点 ，交 于点 ，若 的周长为14，则 的周长是（ ） ．14 B．19 ．21 D．23 例3．（2023·广东·八年级期末）如图，▱BD 中，B＝3m，B＝5m，BE 平分∠B 交D 于E 点，F 平分∠BD 交D 于F 点，则EF 的长为 m． 例4．（2023 春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，D⊥B，垂足为D，F 平分 ∠B，交D 于点E，交B 于点F，则下列结论成立的是（ ） ．E＝EF B．FE＝F ．E＝F D．E＝F＝EF 例5（2023 成都市青羊区八年级期中）如图，在 中， ， 于点D， 的平 分线BE 交D 于F，交于E，若 ， ，则 _____________． 例6．（2023 九年级·广东·专题练习）如图1，在 中， 和 的平分线交于点，过点作 ，交 于E，交 于F． (1)当 ，则 ___________；(2)当 时，若 是 的外角平分线，如图2，它 仍然和 的角平分线相交于点，过点作 ，交 于E，交 于F，试判断 ， 之 间的关系，并说明理由． 模型2 角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 角平分线第二定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 该定理现在材里面虽然没有讲，但它在实战确有很大的作用（可以避免去构造勾股定理或相似），很多时 候能起到事半功倍的良好效果。 1）内角平分线定理 条件：如图，在△B 中，若BD 是∠B 的平分线。 结论： 证明：作 ，作D B 垂足分别为F， ∵BD 是∠B 的平分线，∴DF=D，则 = = （2）作BE 垂足为E，则 = = ∴ = 2）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△B 中，∠B 的外角平分线交B 的延长线于点D。 结论： ． 证明：如图2，过作 ．交B 的延长线于E， ∵ ，∴ ，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴E＝，∴ ． 3）奔驰模型 条件：如图3， 的三边 、 、 的长分别是，b，，其三条角平分线交于点，将 分为三 个三角形。结论： =：：b。 证明：过点 作 于点 ，作 于点 ，作 于点 ． 由题意知： ， ， 是 的三条角平分线， ， 于， ， 的三边 、 、 长分别为，b，， ． 例1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在 中， ，以点 为圆心，适当 长为半径画弧分别交 于点 和点 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧 交于点 ，连接 并延长交 于点 ．若 的面积为8，则 的面积是（ ） ．8 B．16 ．12 D．24 例2．（2023·四川泸州·八年级统考期中）如图， 的三边 、 、 长分别是10、15、20．其三 条角平分线交于点，将 分为三个三角形， 等于（ ） ． B． ． D． 例3．（23-24 九年级上·吉林·期末）已知 ， 是一条角平分线． 【探究发现】如图①，若 是 的角平分线．可得到结论： ． 小红的解法如下：过点D 作 于点E， 于点F，过点作 于点G， ∵ 是 的角平分线，且 ， ，∴______________． ∴ _____________．又∵ ，∴_____________． 【类比探究】如图②，若 是 的外角平分线， 与 的延长线交于点D．求证： ． 例4．（23-24 九年级上·湖南娄底·期末）一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平 分线的一个论证．如图1，已知 是 的角平分线，可证 ．小慧的证明思路是：如图2， 过点作 ，交 的延长线于点E，构造相似三角形来证明 ． (1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2 证明 ； (2)应用拓展：如图3，在 中， ，D 是边 上一点．连接 ，将 沿 所在 直线折叠，点恰好落在边 上的E 点处． ①若 ， ，求 的长；②若 ， ，求 的长（用含k 与 的代数式表示）． 例5．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【问题初探】 在数学活动课上，张老师给出如下问题：“如图1，在 中， 是 的角平分线，求证： ”，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小丽同学从结论出发给出如下解题思路：过点作 的平行线交 的延长线于点E，运用等腰 三角形和相似等知识解决问题． ②如图3，小强同学从“ 是 的角平分线”给出了另一种解题思路：在 上截取 ，连 接 ，过点作 的平行线交 的延长线于点G，也是利用相似等知识解决问题． （1）请你选择一名同学的解答思路，写出证明过程． 【类比分析】张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将两组线段比值问题转化为两三角形相似的对 应边的比．为了帮助学生更好地领悟这种转化思想，张老师将问题进行了改编，提出下面问题，请你解答． （2）如图4，若 的外角 平分线 交 的延长线于点D，求证： ． 【学以致用】（3）如图5，在四边形 中， ， ， ， 平分 ，求 的长． 1．（2024·湖南怀化·一模）如图，以直角 的一个锐角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直 角边 于点D，交斜边 于点E，再分别以点D，E 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 F，作射线 交边 于点G，若 ， ，用 表示 的面积（其它同理），则 ＝ （ ） ． B． ． D． 2．（23-24 八年级上·陕西西安·阶段练习）如图， 中， 与 的平分线交于点F，过点F 作 交 于点D，交 于点E，那么下列结论：① 和 都是等腰三角形；② ；③ 的周长等于 与 的和；④ ；⑤若 ，则 ．其 中正确的有（ ） ．①②③⑤ B．①③④⑤ ．①②④⑤ D．②③④⑤ 3．（2023 春·山东淄博·九年级校考期中）如图， 中， ，点为 各内角平分线的交点， 过点作 的垂线，垂足为，若 ， ， ，那么 的值为（ ） ．1 B． ．2 D． 4．（2023 春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图， 是 的角平分线， 相交于点 于 ， ，下列四个结论：① ；② ；③若 的周长为 ，则 ；④若 ，则 ．其中正确的结论有（ ）个． ． B． ． D． 5．（2024·江苏宿迁·八年级校考期末）如图，在 中， ，垂足为D， 平 分 ，交 于点E，交 于点F．若 ，则 的长为（ ） ． B．3 ． D． 6．（23-24 山西八年级期中）如图在 中， 的角平分线 交 于 ，若 ， ， 则平行四边形 的周长为（ ） ． B． ． D． 7．（2024·陕西宝鸡·二模）如图， 是 的中位线， 的角平分线交 于点F， ， ，则 的长为（ ） ．9 B．6 ．3 D．2 8．（24-25 九年级上·广东·课后作业）如图，在 中， 平分 交 于点 ．若 ， ，则 ． 9（23-24 八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等腰△B 中，B=B=，E=b，∠B 和∠B 的平分线分别为D，BE 相交于点，D 交B 于点D，BE 交于点E，过点作F⊥B 于F，若F=，则△B 的面积为 ． 10．（2023 春·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ，点 为 的边 上一点，点 分别在边 上，连接 ，若 ，则 的度数 为 ． 11．（2024·天津·八年级校考期中）如图，在 中， 是 的平分线，延长 至E，使 ，若 ， 的面积为9，则 的面积是 ． 12．（2023·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，已知 ，点E 是 上一点， 平分 ， 平分 ，延长 交 的延长线于点F．① ；②E 为 的中点；③若 ， ，则 ；④若四边形 的面积为27，且 ，则 的长为18，其中正确的结论 有 ． 13．（2023 春·贵州毕节·八年级期末）如图， 的三边 长分别是20、30、40，其三条角 平分线将 分成三个三角形，则 等于 ． 14．（23-24 九年级下·江苏南京·自主招生）（1）若 为 的角平分线，求证： ； （2）已知， ， ， ，求证： ． 15．（22-23 八年级上·浙江杭州·期末）如图，在 中， ， ， ， 是 的角平分线，点E，F 分别是边 ， 上的动点（不与点，B，重合），连结 ， ． (1)若分别记 ， 的面积为 ，求 的值． (2)设 ， ，①若 ，求 的值． ②若 ， ，请判断 的形状，并说明理由． 16．（2024·吉林长春·三模）如图①，AD是 的角平分线．数学兴趣小组发现结论： ．经 过讨论得到如下种证明思路： 思路：过点 向 两边作垂线段，利用三角形的面积比证出结论； 思路 ：过点 作AB的平行线，与AD的延长线相交，利用三角形相似证出结论； 思路：过点 作 的平行线，与 的延长线相交，利用平行线分线段成比例证出结论． (1)请参考以上种证明思路，选择其中一种证出结论； (2)在图①中，AD是 的角平分线．若 ， ， ，则BD的长度为_______； (3)如图②，在 中， ， 的角平分线BD、CE相交于点 ，若 ，则 的值 为_______． 17．（22-23 九年级上·吉林长春·阶段练习）[感知]如图①所示，在等腰 中， ，D 平分 ，易得 （不需要证明） (1)[探究]如图②所示，李丽同学将图①的等腰 改为任意 ，D 平分 ，他通过观察、测量， 猜想 仍然成立，为了证明自己的猜想，他与同学进行交流讨论，得到了证明猜想的两种方法： 方法1：过点D 分别作 于点E， 于点F，利用 与 的面积比证明结论． 方法2：过点B 作 交D 延长线于点E，利用 与 相似证明结论． 请你参考上面的两种方法，选择其中的一种方法完成证明． (2)[应用]如图③所示，在 中， ， ， ，D 平分 ．若点E 在边B 上， ，E 交D 于点F，则 ______． 18．（2023·浙江绍兴·模拟预测）小明在学习角平分线知识的过程中，做了进一步探究：如图1，在 中， 的平分线交 于点 ，发现 ．小明想通过证明来验证这个结论．证明：延长 至 ，使得 ， 请你完成上述证明过程： 结论应用：已知在 中， ， ， 边上有一动点 ，连结 ，点 关于 的对称 点为点，连结 交 于点 ． (1)请你完成发现中的证明过程；(2)如图2 当 ， ，求 的值； (3)如图3 当 ， 与 的边垂直时，求 的值． 19．（23-24 九年级上·江苏泰州·阶段练习）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联 想就有很多… 【问题提出】（1）如图①， 是 的角平分线，求证 ． 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积 法”． 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明． 【作图应用】（2）如图②， 是 的弦，在优弧 上作出点P，使得 ． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹． 【结论应用】（3）在 中，最大角 是最小角 的2 倍，且 ，求 ． 20．（23-24 九年级上·山东济宁·阶段练习）如图1， 的角平分线 交 于点 ． (1)①求证： ；②求证： ； (2)①在图2 中，作出 的外接圆 ；（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ②延长 交 的外接圆于点 ，连接 ，请补充完图形，并利用此图证明 ．