专题08 三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型（解析版）

专题08 三角形中的重要模型 -平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全 等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型） 模型1、平分平行（射影）构等腰 1）角平分线加平行线必出等腰三角形． 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线 及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总 结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。 图1 图2 图3 条件：如图1，’平分∠M，过’的一点P 作PQ// 结论：△PQ 是等腰三角形。 条件：如图2，△B 中，BD 是 ∠ B 的角平分线，DE B ∥ 。结论：△BDE 是等腰三角形。 条件：如图3，在 中， 平分 ， 平分 ，过点作 的平行线与 ， 分别相 交于点M，．结论：△BM、△都是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． F A B C D E → × × ○ ○ × 图4 条件：如图4，BE 平分∠B，∠B＝∠D＝90° 结论：三角形EF 是等腰三角形。 例1．（2023·河南濮阳·统考二模）如图，直线 ，点 、 分别在、 上，以点 为圆心，适当长 为半径画弧，交 、 于点 、 ；分别以 、 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ；作 射线 交于点 ．若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据作图可知 是 的角平分线，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵ ，∴ ∵ ，∴ 根据作图可知 是 的角平分线， ∴ ，故选：B． 【点睛】本题考查了作角平分线，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． 例2．（2023 湖南长沙八年级期中）如图，点为△B 的∠B 和∠B 的平分线的交点，D // B 交B 于点D， E // 交B 于点E．若B=5 m，B=10 m，=9 m，则△DE 的周长为( ) ．10 m B．9 m ．8 m D．5 m 【答】 【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质，把△DE 三条边转移到同一条线段B 上，即可解答． 【详解】解：如图： ∵、B 分别是∠B、∠B 的角平分线，∴∠5= 6 ∠，∠1= 2 ∠， ∵D∥B，E∥，∴∠4= 6 ∠，∠1= 3 ∠． 4= 5 ∠ ∠，∠2= 3 ∠， 即D=BD，E=E． ∴△DE 的周长=D+DE+E=BD+DE+E=B=10m．故选：． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，关键是证明△BD，△E 都是等腰三角形． 例3．（2023·广东·八年级期末）如图，▱BD 中，B＝3m，B＝5m，BE 平分∠B 交D 于E 点，F 平分∠BD 交D 于F 点，则EF 的长为 m． 【答】1 【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出E=B，DF=D，进而推出 EF=E+DF-D． 【详解】∵四边形BD 是平行四边形，∴∠EB＝∠EB，D＝B＝5m， ∵BE 平分∠B，∴∠BE＝∠EB，则∠BE＝∠EB， ∴B＝E＝3m，同理可证：DF＝D＝B＝3m， 则EF＝E+FD﹣D＝3+3 5 ﹣＝1m．故答为：1． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边． 例4（2023 成都市青羊区八年级期中）如图，在 中， ， 于点D， 的平 分线BE 交D 于F，交于E，若 ， ，则 _____________． 【答】5 【详解】由角度分析易知 ，即 ， ∵ ∴ ∵ ∴ 【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型． 例5．（2023 山东八年级期末）如图①，△B 中，B=，∠B、∠的平分线交于点，过点作EF∥B 交B、于E、 F(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF 与BE、F 之间有怎样的关系 (2)如图②,若B≠，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们在第(1)问中EF 与BE、F 间的关系还存在吗?(3)如图③，若△B 中∠B 的平分线B 与三角形外角平分线交于，过点作E∥B 交B 于E，交 于F 这时图中还有等腰三角形吗?EF 与BE、F 关系又如何?说明你的理由 【答】（1）△EF、△EB、△F、△B、△B 共5 个，EF=BE+F；（2）有，△EB、△F，存在；（3）有，EF=BE- F． 【分析】（1）由B=，可得∠B=∠B；又已知B、分别平分∠B、∠B；故∠EB=∠B=∠F=∠B；根据EF∥B，可 得：∠EB=∠B=∠EB，∠F=∠F=∠B；由此可得出的等腰三角形有：△EF、△EB、△F、△B、△B； 已知了△EB 和△F 是等腰三角形，则E=BE，F=F，则EF=BE+F． （2）由（1）的证明过程可知：在证△EB、△F 是等腰三角形的过程中，与B=的条件没有关系，故这两个 等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+F 的结论仍成立． （3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-F． 【详解】解：（1）图中是等腰三角形的有：△EF、△EB、△F、△B、△B； EF、BE、F 的关系是EF=BE+F．理由如下： ∵B=，∴∠B=∠B，△B 是等腰三角形； ∵B、分别平分∠B 和∠B， ∴∠B=∠B= ∠B，∠B= = ∠ ∠B， ∵EF∥B，∴∠EB=∠B，∠F=∠B， ∴∠B=∠B=∠EB=∠B=∠F=∠F， ∴△EB、△B、△F 都是等腰三角形， ∵EF∥B，∴∠EF=∠B，∠FE=∠B， ∴∠EF=∠FE，∴△EF 是等腰三角形， ∵B、平分∠B、∠B，∴∠B=∠B，∠=∠B； ∵EF∥B，∴∠EB=∠B=∠EB，∠F=∠B=∠F； 即E=EB，F=F；∴EF=E+F=BE+F； （2）当B≠时，△EB、△F 仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立． ∵B、平分∠B、∠B，∴∠B=∠B，∠=∠B； ∵EF∥B，∴∠EB=∠B=∠EB，∠F=∠B=∠F； 即E=EB，F=F；∴EF=E+F=BE+F； （3）△EB 和△F 仍是等腰三角形，EF=BE-F．理由如下： 同（1）可证得△EB 是等腰三角形；∵E∥B，∴∠F=∠G； ∵平分∠G，∴∠=∠F=∠G， ∴F=F，故△F 是等腰三角形；∴EF=E-F=BE-F． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代 换是正确解答本题的关键． 模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型 1）内角平分线定理 D C B A 图1 图2 图3 条件：如图1，在△B 中，若D 是∠B 的平分线。 结论： 2）外角平分线定理 条件：如图2，在△B 中，∠B 的外角平分线交B 的延长线于点D。 结论： ． 3）奔驰模型 条件：如图3， 的三边 、 、 的长分别是，b，，其三条角平分线交于点，将 分为三 个三角形。结论： =：：b。 例1．（2022 秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在 中， ， ， ， 是 的平分线，设 和 的面积分别是 ， ，则 ． 【答】 / 【分析】过点D 作 于E，根据角平分线的性质得出 ，再根据三角形的面积公式得出 与 即可求解． 【详解】解：如图，过点D 作 于E， ∵ ， ， 是 的角平分线，∴ ， ∵ ， ，∴ ，故答为： ． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质得出 是解题的关键． 例2．（2023·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图， 的三边 ， ， 长分别是3，4，5，其 三条角平分线将 分为三个三角形，则 为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】过点 作 于点 ，作 于点 ，作 于点 ，由 ， ， 是 的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得 ，然后利用三角形面积的计算公式表示 出 、 、 ，结合已知，即可得到所求的三个面积的比． 【详解】解：过点 作 于点 ，作 于点 ，作 于点 ． ， ， 是 的三条角平分线， ， 于， ， 的三边 、 、 长分别为3、4、5， ．故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平 分线的性质定理解决问题． 例3．（2022 春·江苏·九年级专题练习）请阅读以下材料，并完成相应的问题： 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△B 中，D 平分∠B，则 ． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点作 ．交B 的延长线于点E．… 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图3，已知Rt△B 中，B＝3，B＝4，∠B＝90°，D 平分∠B，求△BD 的周长． 【答】(1)见解析(2) 【分析】（1）过作 ，交B 的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到 ，利用平 行线的性质得∠2=∠E，∠1=∠E，由∠1= 2 ∠得∠E=∠E，所以E=，于是有 ； （2）先利用勾股定理计算出 ，再利用（1）中的结论得到 ，即 ，则可计算出 ，然后利用勾股定理计算出 ，从而可得到△BD 的周长． 【详解】（1）证明：如图2，过作 ．交B 的延长线于E， ∵ ，∴ ，∠2＝∠E，∠1＝∠E， 1 ∵∠＝∠2，∴∠E＝∠E，∴E＝，∴ ． （2）解：如图3，∵B＝3，B＝4，∠B＝90°，∴ ， ∵D 平分∠B，∴ ，即 ， ∴ ，∴ ， ∴△BD 的周长 ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线 分线段成比例定理是关键． 例4、△B 中，∠B 的外角平分线交B 的延长线于点D，求证： ． 证明：过作D 的平行线交B 于点E． ∵ ∴ ，∠1= 3 ∠，∠2= 4 ∠ D ∵ 为∠B 的外角平分线 ∴∠1= 2 3= 1= 2= 4 ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∴ E= ∴ ∴ 例5（2022 秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在 中，D 是 边上的点（不与点B、重合），连 接 ． (1)如图1，当点D 是 边的中点时， _____； (2)如图2，当 平分 时，若 ， ，求 的值（用含m、的式子表示）； (3)如图3， 平分 ，延长 到E．使得 ，连接 ，若 ，求 的值． 【答】(1) (2) (3)16 【分析】（1）过作 于E，根据三角形面积公式求出即可； （2）过D 作 于E， 于F，根据角平分线性质求出 ，根据三角形面积公式求出 即可；（3）根据已知和（1）（2）的结论求出 和 的面积，即可求出答． 【详解】（1））过作 于E，∵点D 是 边上的中点，∴ ， ∴ 故答为： ； （2）过D 作 于E， 于F，∵ 为 的角平分线，∴ ， ∵ ， ，∴ ； （3）∵ ，∴由（1）知： ，∵ ，∴ ， ∵ ， 平分 ，∴由（2）知： ， ∴ ，∴ ，故答为：16． 【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键． 课后专项训练 1．（2023 春·山东淄博·九年级校考期中）如图， 中， ，点为 各内角平分线的交点， 过点作 的垂线，垂足为，若 ， ， ，那么 的值为（ ） ．1 B． ．2 D． 【答】 【分析】连接 、 、 ，过作 于M， 于，利用角平分线的性质，以及等积法求线段 的长度，即可得解． 【详解】解：连接 、 、 ，过作 于M， 于， ∵点为 各内角平分线的交点， ， ， ，∴ ， ∵ ， ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ， ， ， ，∴ ，故正确．故选：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，等积法求线段长度．熟练掌握角平分线的性质，利用等积法求线 段的长度是解题的关键． 2．（2023 春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图， 是 的角平分线， 相交于点 于 ， ，下列四个结论：① ；② ；③若 的周长为 ，则 ；④若 ，则 ．其中正确的结论有（ ）个． ． B． ． D． 【答】 【分析】根据三角形内角和定理可验证结论①；如图所示，在 上截取 ，可证 ， ，根据全等三角形的性质可验证结论②；如图所示，连接 ，过点 分别作 于点 ，作 于点 ，根据角平分线的性质，三角形的面积计算方 法可验证结论③；结合结论②，③，图形结合，等面积法等知识可验证结论④． 【详解】解：结论① ， ∵ ， ，∴ ， ∵ 是 的角平分线，∴ ， ， ∴ ，在 中， ， ∴ ，故结论①正确； 结论② ，由结论①正确可知， ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，如图所示，在 上截取 ， ∵ 是 的角平分线，∴ ， ∴在 中， ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ，∴在 中， ，∴ ，∴ ， ∴ ，故结论②正确；结论③若 的周长为 ，则 ， 如图所示，连接 ，过点 分别作 于点 ，作 于点 ， ∵ 是 的角平分线， ， ， ∴ 平分 ， ，且 ， ∵ ， ∴ ，故结论③错误； 结论④若 ，则 ， 如图所示，连接 ，过点 分别作 于点 ，作 于点 ， ∵ ， ，且 ，∴ ， 如图所示，过点 作 于点 ， ∴ ， ，∴ ，且 ， ∴ ，同理， ，如图所示， 由结论②正确可知， ， ，且 ∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，故结论④正确； 综上所述，正确的有①②④，个，故选： ． 【点睛】本题主要考查三角形的综合知识，掌握角的和差计算方法，角平分线的性质，三角形全等的判定 和性质，角平分线交的性质，线段之间比例的计算方法等知识的综合是解题的关键． 3．（2023 秋·四川南充·八年级校考期末）如图， 内角 和外角 的平分线交于点 ， 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，有以下结论；① ；② ；③若 ，则 ；④ ；⑤ ．其中正确的结论有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】①根据角相等推出线段相等，再将线段进行转化，即可证明； ② 与 不能得出全等的结论，无法证明 ； ③若 ，无法推出 ；④利用三角形面积的公式即可证明； ⑤通过设未知数找到等量关系，从而证明 ． 【详解】①∵ ∴ ， ∵ 内角 和外角 的平分线交于点 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ，故①正确． ② 与 只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所以不能得出全等的结论，不能 推出 ，故②错误 ③若 ，则 ，则 ，无法推出 ，故③错误 ④ 的面积为 乘以点 到线段 的距离乘以 的面积为 乘以点 到线段 的距离乘以 点 到线段 的距离与点 到线段 的距离相等∴ ，故④正确 ⑤过点E 作 于， 于D， 于M，如图， ∵ 平分 ，∴ ∵ 平分 ，∴ ∴ ，∴ 平分 ， 设 ， ， ， 则 ， ， ∵ ，∴ ，∴ ∘， ∵ ，∴ ，∴ ， 即 ，故⑤正确；故选 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形 内角和定理，三角形外角的性质等多个知识点，解题的关键是灵活运用相关的定理进行求解． 4．（2022 秋·江苏宿迁·八年级校考期末）如图，在 中， ，垂足为D， 平分 ，交 于点E，交 于点F．若 ，则 的长为（ ） ． B．3 ． D． 【答】 【分析】根据三角形的内角和定理得出 ，根据角平分线和对顶 角相等得出 ，即可得出 ，再利用勾股定理得出 的长，即可得出答． 【详解】解：过点F 作 于点G， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ 平分 ，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ 平分 ， ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ , ∵ ，∴ ，∴设 ，则 ， 则 ，解得： ，即 的长为 ．故选：． 【点睛】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的 判定与性质等知识，关键是推出 ． 5．（2023 春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，D⊥B，垂足为D，F 平分 ∠B，交D 于点E，交B 于点F，则下列结论成立的是（ ） ．E＝EF B．FE＝F ．E＝F D．E＝F＝EF 【答】 【分析】求出∠F＝∠BF，∠B＝∠D，根据三角形外角性质得出∠EF＝∠FE，即可得出答； 【详解】∵在Rt△B 中，∠B＝90°，D B ⊥，∴∠DB＝∠B＝90°， D+ BD ∴∠ ∠ ＝90°，∠BD+ B ∠＝90°，∴∠D＝∠B， F ∵平分∠B，∴∠E＝∠BF，∴∠D+ E ∠＝∠B+ BF ∠ ， EF ∴∠ ＝∠FE，∴E＝F．故选． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键． 6．（2023·贵州·中考模拟）如图，在△B 中，∠B 和∠B 的平分线交于点E，过点E 作M B 交B 于M，交于， 若BM+=9，则线段M 的长为（ ） ．6 B．7 ．8 D．9 【答】D 【分析】利用角平分线和平行可以证明△BME 和△E 是等腰三角形，而可得BM+=M 即可解答． 【详解】解：∵∠B、∠B 的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EB，∠E=∠EB， ∵M B，∴∠EB=∠MEB，∠E=∠EB， ∴∠MBE=∠MEB，∠E=∠E，∴BM=ME，E=， ∴M=ME+E，即M=BM+．∵BM+=9∴M=9，故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三 角形是解题的关键． 7．（2023·河南开封·统考模拟预测）如图，在 中， ， ，以 为圆心，任意长为半 径画弧分别交 、 于点 和 ，再分别以 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ， 连接 并延长交 于点 ，以下结论错误的是（ ） ． 是 的平分线 B． ．点 在线段 的垂直平分线上 D． 【答】D 【分析】由作图可得： 平分 可判断，再求解 可得 可判断B，再证明 可判断，过 作 于 再证明 再利用 ，可判断D 从而可得答． 【详解】解： 由作图可得： 平分 故不符合题意； 故B 不符合题意； 在 的垂直平分线上，故不符合题意； 过 作 于 平分 故D 符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的作图，角平