专题07 三角形中的重要模型之平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题07 三角形中的重要模型之 平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全 等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................2 模型1 平分平行（射影）构等腰模型...........................................................................................................2 模型2 角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型...................................................7 ...............................................................................................................................................15 模型1 平分平行（射影）构等腰模型 角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造 等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以 后还会遇到很多类似总结）。 角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。 1）角平分线加平行线必出等腰三角形． 图1 图2 图3 条件：如图1，’平分∠M，过’的一点P 作PQ// 结论：△PQ 是等腰三角形。 证明：∵PQ//，∴∠1=∠3，∵’平分∠M，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴Q=PQ，∴△PQ 是等腰三角形。 条件：如图2，△B 中，BD 是∠B 的角平分线，DE ∥ B。结论：△BDE 是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ B，∴∠BDE=∠DB，∵BD 是∠B 的角平分线，∴∠DBE=∠DB， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE 是等腰三角形。 条件：如图3，在 中， 平分 ， 平分 ，过点作 的平行线与 ， 分别相 交于点M，．结论：△BM、△都是等腰三角形。 证明：由题意得：M ∥ B，∴∠BM=∠B，∵B 是∠B 的角平分线，∴∠BM=∠B， ∴∠BM=∠MB，∴BM=M，∴△BM 是等腰三角形。同理可得：△也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． F A B C D E → × × ○ ○ × 图4 条件：如图4，BE 平分∠B，∠B＝∠D＝90° 结论：三角形EF 是等腰三角形。 证明：∵BE 平分∠B，∴∠BE=∠BE，∵∠B＝90°，∴∠BE+∠EB=90°， ∵∠D＝90° ，∴∠BE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠FE，∴∠BE+∠FE=90°， ∴∠EB=∠FE，∴F=E，∴三角形EF 是等腰三角形。 例1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在 中，按以下步骤作图：①以点 为圆心，以适当长为 半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；②分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧 在 内交于点 ；③作射线 ，交 于点 ，交 延长线于点 ．若 ， ，下列结 论错误的是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综 合．先由作图得到 为 的角平分，利用平行线证明 ，从而得到 ， 再利用平行四边形的性质得到 ，再证明 ，分别求出 ， ，则各选项可以判定． 【详解】解：由作图可知， 为 的角平分，∴ ，故正确； ∵四边形 为平行四边形，∴ ， ∵ ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，故B 正确； ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ，故D 错误； ∵ ，∴ ，故正确，故选：D． 例2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在 中， ， 和 的平分线相交于点 ， 过点 作 的平行线交 于点 ，交 于点 ，若 的周长为14，则 的周长是（ ） ．14 B．19 ．21 D．23 【答】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线定义．由角平分线的定义得到 ，由平行线的性质得到 ，因此 ，推出 ，同理： ，于是得到 ，由 的周长 ，即可求出 的周长 ． 【详解】解： 平分 ， ， ∵ ， ， ， ， 同理： ， ， 的周长 ， 的周长 ．故选：． 例3．（2023·广东·八年级期末）如图，▱BD 中，B＝3m，B＝5m，BE 平分∠B 交D 于E 点，F 平分∠BD 交D 于F 点，则EF 的长为 m． 【答】1 【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出E=B，DF=D，进而推出 EF=E+DF-D． 【详解】∵四边形BD 是平行四边形，∴∠EB＝∠EB，D＝B＝5m， ∵BE 平分∠B，∴∠BE＝∠EB，则∠BE＝∠EB， ∴B＝E＝3m，同理可证：DF＝D＝B＝3m， 则EF＝E+FD﹣D＝3+3 5 ﹣＝1m．故答为：1． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边． 例4．（2023 春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，D⊥B，垂足为D，F 平分 ∠B，交D 于点E，交B 于点F，则下列结论成立的是（ ） ．E＝EF B．FE＝F ．E＝F D．E＝F＝EF 【答】 【分析】求出∠F＝∠BF，∠B＝∠D，根据三角形外角性质得出∠EF＝∠FE，即可得出答； 【详解】∵在Rt△B 中，∠B＝90°，D⊥B，∴∠DB＝∠B＝90°， ∠ ∴ D+∠BD＝90°，∠BD+∠B＝90°，∴∠D＝∠B， ∵F 平分∠B，∴∠E＝∠BF，∴∠D+∠E＝∠B+∠BF， ∠ ∴ EF＝∠FE，∴E＝F．故选． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键． 例5（2023 成都市青羊区八年级期中）如图，在 中， ， 于点D， 的平 分线BE 交D 于F，交于E，若 ， ，则 _____________． 【答】5 【详解】由角度分析易知 ，即 ， ∵ ∴ ∵ ∴ 【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型． 例6．（2023 九年级·广东·专题练习）如图1，在 中， 和 的平分线交于点，过点作 ，交 于E，交 于F． (1)当 ，则 ___________；(2)当 时，若 是 的外角平分线，如图2，它 仍然和 的角平分线相交于点，过点作 ，交 于E，交 于F，试判断 ， 之 间的关系，并说明理由． 【答】(1)8(2) ，见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分 线和平行线证明等腰三角形是解题的关键．（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证 ，即可得出答；（2）与（1）同理由平行线的性质和角平分线的定义可证． 【详解】（1）解：∵ ，∴ ， ∵ 和 的平分线交于点，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，故答为：8； （2） ，理由如下：∵ 平分 ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，同理可得 ，∴ ． 模型2 角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 角平分线第二定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 该定理现在材里面虽然没有讲，但它在实战确有很大的作用（可以避免去构造勾股定理或相似），很多时 候能起到事半功倍的良好效果。 1）内角平分线定理 条件：如图，在△B 中，若BD 是∠B 的平分线。 结论： 证明：作 ，作D B 垂足分别为F， ∵BD 是∠B 的平分线，∴DF=D，则 = = （2）作BE 垂足为E，则 = = ∴ = 2）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△B 中，∠B 的外角平分线交B 的延长线于点D。 结论： ． 证明：如图2，过作 ．交B 的延长线于E， ∵ ，∴ ，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴E＝，∴ ． 3）奔驰模型 条件：如图3， 的三边 、 、 的长分别是，b，，其三条角平分线交于点，将 分为三 个三角形。结论： =：：b。 证明：过点 作 于点 ，作 于点 ，作 于点 ． 由题意知： ， ， 是 的三条角平分线， ， 于， ， 的三边 、 、 长分别为，b，， ． 例1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在 中， ，以点 为圆心，适当 长为半径画弧分别交 于点 和点 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧 交于点 ，连接 并延长交 于点 ．若 的面积为8，则 的面积是（ ） ．8 B．16 ．12 D．24 【答】B 【分析】本题考查了尺规作图，含 的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知 平 分 ，则可求 ，利用含 的直角三角形的性质得出 ，利用等角对等 边得出 ，进而得出 ，然后利用面积公式即可求解． 【详解】解： ∵ ，∴ ，由作图知： 平分 ， ∴ ，∴ ， ， ∴ ，∴ ，∴ ， 又 的面积为8，∴ 的面积是 ，故选B． 例2．（2023·四川泸州·八年级统考期中）如图， 的三边 、 、 长分别是10、15、20．其三 条角平分线交于点，将 分为三个三角形， 等于（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过点作 ， ， ，垂足分别为 ， ， ，根据角平分线的性质可知 ，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【详解】解：过点作 ， ， ，垂足分别为 ， ， ， 的三条角平分线交于点， ， ， ， ， ．故选． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，利用角平分线的性质求得 是解题的关键． 例3．（23-24 九年级上·吉林·期末）已知 ， 是一条角平分线． 【探究发现】如图①，若 是 的角平分线．可得到结论： ． 小红的解法如下：过点D 作 于点E， 于点F，过点作 于点G， ∵ 是 的角平分线，且 ， ，∴______________． ∴ _____________．又∵ ，∴_____________． 【类比探究】如图②，若 是 的外角平分线， 与 的延长线交于点D．求证： ． 【答】[探究发现] ， ， ；[类比探究]证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，等高三角形面积的关系．熟练掌握角平分线的性质定理是解题 的关键．[探究发现]根据过程填写即可；[类比探究]证明过程同[探究发现] ． 【详解】[探究发现]证明：∵ 是 的角平分线，且 ， ， ∴ ．∴ ．又∵ ，∴ ． 故答为： ， ， ； [类比探究] 证明：如图②，过点D 作 于，过点D 作 于M，过点作 于点P． ∵ 平分 ，∴ ．∴ ， 又∵ ．∴ ． 例4．（23-24 九年级上·湖南娄底·期末）一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平 分线的一个论证．如图1，已知 是 的角平分线，可证 ．小慧的证明思路是：如图2， 过点作 ，交 的延长线于点E，构造相似三角形来证明 ． (1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2 证明 ； (2)应用拓展：如图3，在 中， ，D 是边 上一点．连接 ，将 沿 所在 直线折叠，点恰好落在边 上的E 点处． ①若 ， ，求 的长；②若 ， ，求 的长（用含k 与 的代数式表示）． 【答】(1)见解析(2)① ；② 【分析】（1）过点作 ，交 的延长线于点E，先证明 ，得到 ，再根 据角平分线的性质和等腰三角形的判定证得 ，进而可得结论； （2）①先由折叠性质得到 ， ， ，由（1）知， ，则 ，利用勾股定理求得 ，进而可求解；②由折叠性质得 ， ， ,由（1）得 ，利用正切定义得 ，则 ，进而可求解． 【详解】（1）证明：过点作 ，交 的延长线于点E， ∴ ， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，则 ，∴ ，∴ ； （2）解：①∵将 沿 所在直线折叠，点恰好落在边 上的E 点处． ∴ ， ， ，由（1）知， ，又 ， ， ∴ ，即 ，在 中， ， ， ， ∴ ，∴ ，则 ，∴ ； ②由折叠性质，得 ， ， ,由（1）得 ， ∵ ，∴ ，则 ， 由 得： ，∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股 定理、折叠性质、锐角三角函数等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是 解答的关键． 例5．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【问题初探】 在数学活动课上，张老师给出如下问题：“如图1，在 中， 是 的角平分线，求证： ”，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小丽同学从结论出发给出如下解题思路：过点作 的平行线交 的延长线于点E，运用等腰 三角形和相似等知识解决问题． ②如图3，小强同学从“ 是 的角平分线”给出了另一种解题思路：在 上截取 ，连 接 ，过点作 的平行线交 的延长线于点G，也是利用相似等知识解决问题． （1）请你选择一名同学的解答思路，写出证明过程． 【类比分析】张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将两组线段比值问题转化为两三角形相似的对 应边的比．为了帮助学生更好地领悟这种转化思想，张老师将问题进行了改编，提出下面问题，请你解答． （2）如图4，若 的外角 平分线 交 的延长线于点D，求证： ． 【学以致用】（3）如图5，在四边形 中， ， ， ， 平分 ，求 的长． 【答】（1）小丽同学的解题思路；证明见解析（2）证明见解析（3） 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的 判定和性质等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． （1）小丽同学，由平行线分线段成比例得到 ，再证 即可；小强同学，证明 ，则 ，得到 ， ， 则 ， ，即可得到结论； （2）过点D 作 交 于点M，则 ， ， ，由比例的性质得 到 ，证明 ，即可得到结论； （3）延长 交 的延长线于点F，求出 ， ， ，进一步得到 ， ．过点E 作 于点G，证明 是等腰直角三角形， ，则 ， ，求得 ，即可得到答； 【详解】解：（1）证明：小丽同学，∵ ，∴ ， ； ∵ 平分 ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ． 小强同学，在 上截取 ，连接 ，过点作 的平行线交 的延长线于点G， ∵ 平分 ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ，∴ ， ，∴ ． （2）证明：如图4，过点D 作 交 于点M， ∴ ， ， ，∴ ，则 ； ∵ 平分 ，∴ ，∴ ，∴ ； （3）解：如图5，延长 交 的延长线于点F， ∵ ，∴ ，即 ，解得 ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ 平分 ，∴ ， ．∴ 过点E 作 于点G，∴ 是等腰直角三角形， ， ∴ ， ∴ ，解得 ，∴ ． 1．（2024·湖南怀化·一模）如图，以直角 的一个锐角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直 角边 于点D，交斜边 于点E，再分别以点D，E 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 F，作射线 交边 于点G，若 ， ，用 表示 的面积（其它同理），则 ＝ （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和尺规作图，勾股定理等知识，解答时过点G 作 于点， 得到 ，再由勾股定理求出 ，再推出 ，则问题可解 【详解】解：如图，过点G 作 于点， 由尺规作图可知， 为 平分线，∵ ，∴ ， ∵ ， ， ，∴ ， ∴ ，故选：． 2．（23-24 八年级上·陕西西安·阶段练习）如图， 中， 与 的平分线交于点F，过点F 作 交 于点D，交 于点E，那么下列结论：① 和 都是等腰三角形；② ；③ 的周长等于 与 的和；④ ；⑤若 ，则 ．其 中正确的有（ ） ．①②③⑤ B．①③④⑤ ．①②④⑤ D．②③④⑤ 【答】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及角平分线的定义及平行线的性质．由角平分线的定义可得 ， ，结合平行线的性质可知 ， ，进而可得 ， ，由等边对等角可得 ， ，再根据等量代换逐项判断即 可．利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的 关键． 【详解】解：①∵ 是 的角平分线， 是 的角平分线，∴ ， ， ∵ ，∴ ， ，∴ ， ， ∴ ， ，∴ 和 都是等腰三角形，∴①选项正确，符合题意； ②∵ ， ， ，∴ ，∴②选项正确，符合题意； ∵ 的周长为 ，∵ ， ∴ 的周长为 ，∴③选项正确，符合题意； ④根据题意 的角度数不确定，故不能得出 ，∴④选项不正确，不符合题意； ∵若 ，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴⑤选项正确，符合题意； 故正确的有：①②③⑤．故选：． 3．（2023 春·山东淄博·九年级校考期中）如图， 中， ，点为 各内角平分线的交点， 过点作 的垂线，垂足为，若 ， ， ，那么 的值为（ ） ．1 B． ．2 D． 【答】 【分析】连接 、 、 ，过作 于M， 于，利用角平分线的性质，以及等积法求线段 的长度，即可得解． 【详解】解：连接 、 、 ，过作 于M， 于， ∵点为 各内角平分线的交点， ， ， ，∴ ， ∵ ， ，