九上专题07 解直角三角形的三种实际应用（教师版）

专题07 解直角三角形的三种实际应用 类型一、仰角俯角问题 例1．如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣 传牌(D)，放置在学楼栋的顶部(如图所示)该中学数学活动小组在山坡的坡脚处测得宣传牌 底部D 的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡B 向上走到B 处测得宣传牌顶部的仰角为45°． 已知山坡B 的坡度为=1：3，B=2 m，E=8m． (1)求点B 距水平面E 的高度B． (2)求宣传牌D 的高度．(结果精确到01 米．参考数据： ≈1414 , ≈1732 ) 【答】(1)点B 距水平面E 的高度B 是2 米 (2)广告牌D 的高度约为21 米 【详解】(1)解：在Rt△B 中，B：=1:3， ∴设B=,则=3， ∵B=2 ，由勾股定理得B=2， 答:点B 距水平面E 的高度B 是2 米； (2)解：在Rt△B 中, B=2，∴ =6， 在Rt△DE 中, t∠DE= ，即DE=t60 ·E=8 ， 如图,过点B 作BF⊥E ,垂足为F， BF= + E=6+8 =14， DF= DE- EF= DE- B =8 —2， 在Rt△BF 中, = ∠∠BF=45°， ∴F= BF= 14, ∴D=F- DF =14—(8 —2)= 14—8 +2≈21 答:广告牌D 的高度约为21 米． 【变式训练1】如图，小明想要测量学校操场上旗杆B 的高度，他作了如下操作： (1)在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 ； (2)量得测角仪的高度 ； (3)量得测角仪到旗杆的水平距离 ． 利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为________． 【答】 【详解】解：延长 交 于点 ， 则 ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ，∴旗杆的高度可表示为： ， 故答为： ． 【变式训练2】风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优 势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头 上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在 点测得 点与塔底 点的距离为 ，李华站在斜坡 的坡顶 处，已知斜坡 的坡 度 ，坡面 长 ，李华在坡顶 处测得轮毂 点的仰角 ，请根据测量 结果帮他们计算： (1)斜坡顶点B 到D 所在直线的距离； (2)风力发电机塔架 的高度．结果精确到 ，参考数据 ， ， ， ， 【答】(1) ；(2) ． 【解析】(1)解：如图，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ， ， 则 为坡顶B 到 所在直线的距离， 则 ， ， 在 中， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； (2) 由题意得，四边形 是矩形， 由勾股定理得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ， 答：塔架高度 约为 ． 【变式训练3】“为梦想战，决战中考”，如图①是寻乌县第三中学的中考倒计时牌，图 ②为它的侧面图，图③为它的侧面简意图，已知 ， ． (1)如图③，处离地面多高？ (2)如图④，芳芳站在倒计时牌前的点处观察倒计时牌(点D、、在同一水平线上)，测得芳 芳的身高 为 ，当芳芳的视线恰好落在点B 处时(忽略眼睛到头顶的距离)视线俯角 为 ，求此时 的距离．(结果精确到 ．参考数据： ， ， ， ， ) 【答】(1) (2) 【解析】(1)解：连接 ，图 ， ∵ ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴在 中， ， 即处离地面 ； (2) 解：过点B 作 于点E，过点B 作 于点F，图②， 根据题意有： ，则可得四边形 是矩形， 即有 ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，∴ ， 在 中， ， ∴ ． 答： 的长度约为 ． 【变式训练4】如图，花城广场对岸有广州塔B，小明同学站在花城广场的处看塔顶点的仰 角为32°，向塔前进360 米到达点D，在D 处看塔顶的仰角为45°． (1)求广州塔B 的高度(s32°≈0．530，s32°≈0．848，t32°≈0．625)； (2)一架无人机从广州塔顶点出发，沿水平方向F 飞行300 米到 处，求此时从 处看点D 的俯角的正切值． 【答】(1)广州塔B 的高度约为600 米； (2)从 处看点D 的俯角的正切值为2． 【解析】(1) 解：设广州塔B 的高度为x 米， ∵∠DB=45°，∠BD=90°， ∴∠DB=45°， ∴∠DB=∠DB， ∴BD=B=x， ∴B=360+x， ∵∠B=32°， t∠B= ， ∴ ， 解得，x=600(米)， 答：广州塔B 的高度约为600 米； (2) 解：过D 作D⊥F 于， 则四边形BD 是矩形， ∵∠DB=45°， ∴BD=B， ∴四边形BD 是正方形， = ∴D=B=600 米，∠D=90°， ∵ =300， ∴ =- =300(米)， t ∴ = =2， 答：此时从 处看点D 的俯角的正切值为2． 类型二、方位角问题 例1．如图，某渔船沿正东方向以10 海里／小时的速度航行，在处测得岛在北偏东 方 向，1 小时后渔船航行到B 处，测得岛在北偏东 方向，已知该岛周围9 海里内有暗礁． 参考数据： ， ， ． (1)B 处离岛有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？ (2)如果渔船在B 处改为向东偏南 方向航行，有无触礁危险？ 【答】(1)B 处离岛有10 海里；有触礁危险，证明见解析 (2)没有触礁危险，证明见解析 【解析】(1) 过作 于，为渔船向东航行到的最短距离， ∵在处测得岛在北偏东的 方向，∴ ， 又∵B 处测得岛在北偏东 方向， ∴ ， ，∴ ， ∴ (海里)， ∵ ， ，∴ ， ∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险； (2) 过作 交BF 于D，交B 于E， ， ∴没有触礁危险． 【变式训练1】如图，在一笔直的海岸线l 上有B 两个观测站，在B 的正东方向，B=2(单位： km)．有一艘小船在点P 处，从测得小船在北偏西60°的方向，从B 测得小船在北偏东45° 的方向． (1)求点P 到海岸线l 的距离； (2)小船从点P 处沿射线P 的方向航行一段时间后，到点处，此时，从B 测得小船在北偏西 15°的方向．求点与点B 之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号) 【答】(1)点P 到海岸线l 的距离为( -1)km； (2)点与点B 之间的距离为 km． 【解析】(1)解：如图，过点P 作PD⊥B 于点D． 设PD=xkm． 在Rt△PBD 中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°， ∴BD=PD=xkm． 在Rt△PD 中，∠DP=90°，∠PD=90°-60°=30°， ∴D= PD= xkm． ∵BD+D=B， ∴x+ x=2， x= -1， ∴点P 到海岸线l 的距离为( -1)km； (2) 解：如图，过点B 作BF⊥于点F． 根据题意得：∠B=105°， 在Rt△BF 中，∠FB=90°，∠BF=30°， ∴BF= B=1km． 在△B 中，∠=180°-∠B-∠B=45°． 在Rt△BF 中，∠BF=90°，∠=45°， ∴B= BF= km， ∴点与点B 之间的距离为 km． 【变式训练2】小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道 进行实地测 量．如图所示，他在地面上点处测得隧道一端点在他的北偏东 方向上，他沿西北方向前 进 米后到达点D，此时测得点在他的东北方向上，端点B 在他的北偏西 方向上， (点、B、、D 在同一平面内) (1)求点D 与点的距离； (2)求隧道 的长度．(结果保留根号) 【答】(1)点D 与点的距离为300 米 (2)隧道 的长为 米 【解析】(1) 由题意可知： ， 在 中， ∴ (米) 答：点D 与点的距离为300 米． (2) 过点D 作 于点E． ∵ 是东西走向 ∴ 在 中， ∴ 在 中， ∴ ∴ (米) 答：隧道 的长为 米 【变式训练3】如图，我国某海域有，B，三个港口，B 港口在港口正西方向332mle(mle 是 单位“海里”的符号)处，港口在B 港口北偏西50°方向且距离B 港口40mle 处，在港口北 偏东53°方向且位于港口正北方向的点D 处有一艘货船，求货船与港口之间的距离．(参考 数据：s50°≈077，s50°≈064，t50°≈119，s53°≈080，s53°≈060，t53°≈133．) 【答】货船与港口之间的距离约为80 海里 【详解】解：过点作E⊥D，垂足为E，过点B 作BF⊥E，垂足为F， 由题意得： EF=B=332 海里，G∥D， ∴∠GD=∠D=53°， 在Rt△BF 中，∠BF=50°，B=40 海里， ∴F=B•s50°≈40×077=308(海里)， ∴E=F+EF=64(海里)， 在Rt△DE 中，D= ≈ =80(海里)， ∴货船与港口之间的距离约为80 海里． 【变式训练4】如图，m，为河流南北两岸的平行道路，北岸道路，B 和南岸道路D 点处各 有一株古树．已知B，D 两株古树间的距离为200 米，为了测量，B 两株古树之间的距离， 在南岸道路点处测得古树位于北偏西42°方向，在D 处测得古树B 位于北偏西30°方向．已 知D=280 米，求，B 两株古树之间的距离．(结果保留整数) 参考数据： ≈141， ≈173，s42° ，s42°≈ ，t42°≈ ． 【答】，B 两株古树之间的距离为336 米 【详解】解：如图，由题意可知：四边形DFE 是矩形， ∴E=DF，D=EF， 在Rt△BDF 中，∠BDF=30°，BD=200 米， ∴BF= BD=100 米， 由勾股定理得：DF= =100 米， 在Rt△E 中，∠E=42°，E=DF=100 米， ∴E=t42°×E= ×100 ≈1557(米)， ∴B=E+BE=E+D-BF=1557+280-100≈336 米， ∴，B 两株古树之间的距离为336 米． 类型三、坡度比问题 例1．小明和小亮利用数学知识测量学校操场边升旗台上的旗杆高度．如图，旗杆 立在 水平的升旗台上，两人测得旗杆底端 到升旗台边沿 的距离为 ，升旗台的台阶所在 的斜坡 长为 ，坡角为 ，小明又测得旗杆在太阳光下的影子落在水平地面 上 的部分 的长为 ，同一时刻，小亮测得长 的标杆直立于水平地面时的影子长为 请你帮小明和小亮求出旗杆 的高度(结果保留整数，参考数据： ) 【答】旗杆 的高度约为 【详解】解：延长 交 于 ，过 作 于 ， 则四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 同一时刻，物高和影长成正比， ， ， ， ， 答：旗杆 的高度约为 ． 【变式训练1】如图，在建筑物DF 的左边有一个小山坡，坡底B、同建筑底端F 在同一水 平线上，斜坡B 的坡比为 ，小李从斜坡底端B 沿斜坡走了26 米到达坡顶处，在坡 顶处看建筑物的顶端D 的仰角α 为 ，然后小李沿斜坡走了 米到达底部点，已知建 筑物上有一点E，在处看点E 的仰角为 ，(点、B、、D、E、F 在同一平面内)建筑物顶 端D 到E 的距离DE 长度为288 米，求建筑物DF 的高度．(参考数据： ， ， ， ) 【答】408 米 【详解】解：如图 于G， 于，连接 、 ， ∵ 的坡比 ， 设 ， ， ∴在 中， ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， 设 ，在 中， ，∴ ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， 又∵ ， 在 中， ， ， ，∴ ，答：建筑物 的高度为 408 米． 【变式训练2】如图，某校学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地． ， BE⊥D，斜坡B 长26m，斜坡B 的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决 定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改 造时保持坡脚不动，则坡顶B 沿B 至少向右移多少米时，才能确保山体不滑坡．(取t50°＝ 12) 【答】10 米 【详解】解：如图，设点B 沿B 向右移动至点，使得∠D=50°，过点作F⊥D 于点F，根据 题意有BE⊥D， ∵B=26，斜坡 的坡比为12 5 ∶， 则设BE=12，E=5， ∴ ，解得：=2， ∴BE=24，E=10， ∴F=BE=24， ∵∠F=50°， 则 ，解得：F=20， ∴EF=F-E=EF=20-10=10(m)， ∵ ，F⊥D，BE⊥D， ∴可得四边形BEF 是矩形， ∴B=EF=10(m)， 故坡顶B 沿 至少向右移10 时，才能确保山体不滑坡， 【变式训练3】在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚 处测得该建筑物顶端B 的仰角为60°，沿山坡向上走20m 到达D 处，测得建筑物顶端B 的 仰角为30°．已知山坡坡度 ，即 ，请你帮助该小组计算建筑物的高度 ． (结果精确到01m，参考数据： ) 【答】该建筑物 的高度约为319m 【详解】作 交 于点E，作 交 于点F，作 交 于点 则 ， ， ∵ ∴设 ，则 在 中， ∴ ∴ ∴ (负值舍去) ∴ ， ∴ ， 设 ，则 在 中， ∵ ∴ 在 中， ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ 答：该建筑物 的高度约为319m．