专题02 全等三角形中的六种模型梳理（教师版）

专题02 全等三角形中的六种模型梳理 几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明 三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。 类型一、倍长中线模型 中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。 目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形 中去。 例1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 如图1，延长△B 的边B 到D，使D＝B，过D 作DE∥B 交延长线于点E，求证：△B≌△ED． 【理解与应用】 如图2，已知在△B 中，点E 在边B 上且∠E＝∠B，点E 是D 的中点，若D 平分∠BE． (1)求证：＝BD； (2)若BD＝3，D＝5，E＝x，求x 的取值范围． 【答】[探究与发现]见解析；[理解与应用](1)见解析；(2)1＜x＜4 【详解】解：[探究与发现] 证明：∵DE∥B，∴∠B=∠D， 又∵B=D，∠B=∠ED，∴△B≌△ED(S)； [理解与应用](1)证明：如图2 中，延长E 到F，使EF=E，连接DF， ∵点E 是D 的中点，∴ED=E， 在△DEF 与△E 中， ，∴△DEF≌△E(SS)，∴=FD，∴∠FD=∠E， ∵∠E=∠B，∴∠FD=∠B，∵D 平分∠BE，∴∠BD=∠FD， 在△BD 与△FD 中， ，∴△BD≌△FD(S)，∴BD=FD，∴=BD； (2)解：由(1)得：F=2E=2x，△BD≌△FD，∴B=F=2x， ∵BD=3，D=5， 在△BD 中，由三角形的三边关系得：D-BD＜B＜D+BD，即5-3＜2x＜5+3，解得：1＜x＜ 4， 即x 的取值范围是1＜x＜4． 【变式训练1】如图1，在 中， 是 边的中线， 交 延长线 于点 ， ． (1)求证 ； (2)如图2， 平分 交 于点 ，交 于点 ，若 ， ， 求 的值． 【答】(1)见解析；(2) 【详解】(1)如图1 所示，延长 至点 ，使 ， 在 与 中， ， ， ， ， ， 在 与 中， , ， ， ； (2)如图所示， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ，作 ， 在 与 中， ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， ，设 ， ， ， ． 【变式训练2】(1)如图1，已知 中，D 是中线，求证： ； (2)如图2，在 中，D，E 是B 的三等分点，求证： ； (3)如图3，在 中，D，E 在边B 上，且 ．求证： ． 【答】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析 【详解】证：(1)如图所示，延长D 至P 点，使得D=PD，连接P， ∵D 是△B 的中线，∴D 为B 的中点，BD=D， 在△BD 与△PD 中， ，∴△BD≌△PD(SS)，∴B=P， 在△P 中，由三边关系可得+P＞P，∴ ； (2)如图所示，取DE 中点，连接并延长至Q 点，使得=Q，连接QE 和Q， ∵为DE 中点，D、E 为B 三等分点，∴D=E，BD=DE=E，∴D=， 在△B 和△Q 中， ，∴△B≌△Q(SS)， 同理可得：△D≌△QE，∴B=Q，D=EQ， 此时，延长E，交Q 于K 点， + ∵Q=+K+QK，+K＞K，∴+Q＞K+QK， 又∵K+QK=E+EK+QK，EK+QK＞QE，∴K+QK＞E+QE， + ∴Q＞K+QK＞E+QE， ∵B=Q，D=EQ，∴ ； (3)如图所示，取DE 中点M，连接M 并延长至点，使得M=M，连接E，E， ∵M 为DE 中点，∴DM=EM，∵BD=E，∴BM=M， 在△BM 和△M 中， ，∴△BM≌△M(SS)， 同理可证△DM≌△EM，∴B=，D=E， 此时，延长E，交于T 点， +=+ ∵ T+T，+T＞T，∴+＞T+T， 又∵T+T=E+ET+T，ET+T＞E，∴T+T＞E+E，∴+＞T+T＞E+E， ∵B=，D=E，∴ ． 【变式训练3】在 中，点 为 边中点，直线 绕顶点 旋转， 直线 于点 ． 直线 于点 ，连接 ， ． (1)如图1，若点 ， 在直线 的异侧，延长 交 于点 ．求证： ． (2)若直线 绕点 旋转到图2 的位置时，点 ， 在直线 的同侧，其它条件不变，此时 ， ， ，求 的长度． (3)若过 点作 直线 于点 ．试探究线段 、 和 的关系． 【答】(1)见解析；(2) ；(3)线段 、 和 的位置关系为 ，数量 关系为 或 或 【详解】(1)证明：如图1， 直线 于点 ， 直线 于点 ， ， ， ， 又 为 边中点， ， 在 和 中， ， ， ． (2)解：如图2，延长 与 的延长线相交于点 ， 直线 于点 ， 直线 于点 ， ， ， ， ， 又 为 中点， ， 又 ，∴在 和 中， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ， ． (3)位置关系： ，数量关系：分四种情况讨论 ∵ 直线 于点 ． 直线 于点 ， 直线 于点 ， ∴ ， ①如图3，当直线 与线段 交于一点时， 由(1)可知 ， ，即 ， ， ， ， ∵ ， ． ②当直线 与线段 交于一点时，如图，延长 交 的延长线于点 ． 直线 于点 ， 直线 于点 ， ， ， ， 又 为 边中点， ， 在 和 中， ， ， ． ，即 ， ， ， ， ∵ ， ． ③如图4，当直线 与线段 的延长线交于一点时． 由(2)得： ， ， ， ∴ ，即 ， ． ④当直线 与线段 的延长线交于一点时， 如图，延长 交 的延长线于点 ． 直线 于点 ， 直线 于点 ， ， ， ， ， 又 为 中点， ， 又 ，∴在 和 中， ， ， ， ，∴ ，即 ， ． 综上所述，线段 、 和 的位置关系为 ，数量关系为 或 或 ． 类型二、截长补短模型 截长补短法使用范围：线段和差的证明(往往需证2 次全等) 例．在等边三角形B 的两边B、所在直线上分别有两点M、，P 为△B 外一点，且∠MP＝ 60°，∠BP＝120°，BP＝P．探究：当点M、分别在直线B、上移动时，BM，，M 之间的数 量关系． (1)如图①，当点M、在边B、上，且PM＝P 时，试说明M＝BM+． (2)如图②，当点M、在边B、上，且PM≠P 时，M＝BM+还成立吗？ 答： ．(请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”)． (3)如图③，当点M、分别在边B、的延长线上时，请直接写出BM，，M 之间的数量关系． 【答】(1)见解析；(2)一定成立；(3)M＝﹣BM 【解析】(1)证明：∵△B 为等边三角形，∴∠B＝∠B＝60°， ∵∠BP＝120°，BP＝P，∴∠PB＝∠PB＝ ×(180° 120°) ﹣ ＝30°，∴∠PBM＝∠P＝90°， 在Rt△PBM 和Rt△P 中， ，∴Rt△PBM≌Rt△P(L)，∴∠BPM＝∠P＝30°， ∵∠MP＝60°，PM＝P，∴△PM 为等边三角形，∴PM＝P＝M， 在Rt△PBM 中，∠BPM＝30°，∴BM＝ PM，同理可得，＝ P，∴BM+＝M． (2)解：一定成立，理由如下：延长至，使＝BM，连接P，如图所示， 由(1)可知：∠PBM＝∠P＝90°，∴∠P＝90°，∴∠PBM＝∠P， 在△PBM 和△P 中， ，∴△PBM≌△P(SS)，∴PM＝P，∠BPM＝∠P， ∵∠BPM+∠P＝60°，∴∠P+∠P＝60°，∴∠MP＝∠P， 在△MP 和△P 中， ，∴△MP≌△P(SS)，∴M＝＝BM+， 故答为：一定成立． (3)解：在上截取K＝BM，连接PK，如图所示， 在△PBM 和△PK 中， ，∴△PBM≌△PK(SS)， ∴PM＝PK，∠BPM＝∠PK， ∵∠BPM+∠BP＝60°，∴∠PK+∠BP＝60°，∴∠KP＝60°，∴∠MP＝∠KP， 在△MP 和△KP 中， ，∴△MP≌△KP(SS)，∴M＝K， ∵K＝﹣K＝﹣BM，∴M＝﹣BM． 【变式训练1】如图，在四边形 中， ，点E、F 分别在 直线 、 上，且 ． (1)当点E、F 分别在边 、 上时(如图1)，请说明 的理由． (2)当点E、F 分别在边 、 延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立， 请说明理由；若不成立，请写出 、 、 之间的数量关系，并说明理由． 【答】(1)见解析；(2)不成立， ，见解析 【解析】(1)EF＝BE+DF， 理由：延长EB 至G，使BG＝DF，连接G， ∵∠B+∠D＝180°，∠B+∠BG＝180°，∴∠D＝∠BG， 在△BG 和△DF 中， ，∴△BG≌△DF(SS)，∴G＝F，∠BG＝∠DF， ∵∠EF＝ ∠BD，∴∠BE+∠DF＝∠BE+∠BG＝∠EF，即∠EG＝∠EF， 在△EG 和△EF 中， ，∴△EG≌△EF(SS)，∴GE＝EF，∴EF＝BE+DF； (2)(1)中结论不成立，EF＝BE﹣FD， 在BE 上截取BM＝DF，连接M， ∵∠B+∠D＝180°，∠D+∠DF＝180°，∴∠B＝∠DF， 在△BM 和△DF 中， ，∴△BM≌△DF(SS)，∴M＝F，∠BM＝∠DF， ∵∠BM+∠MD＝∠DF+∠MD，∴∠BD＝∠MF， ∵∠EF＝ ∠BD，∴∠EF＝ ∠MF，∴∠EF＝∠EM， 在△ME 和△FE 中， ，∴△ME≌△FE(SS)， ∴ME＝EF，∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD． 【变式训练2】(1)阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ．求证： ． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1 和方法2 中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点D 作 ，垂足为点E，请直接写出线段 、 、 之间的数量关系． 【答】(1)证明见解析；(2) ；理由见解析；(3) ． 【详解】解：(1)方法1：在 上截 ，连接 ，如图． 平分 ， ． 在 和 中， ， ， ， ． ， ． ． ， ． 方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，如图． 平分 ， ． 在 和 中， ， ． ， ． ， ． ， ， ． (2) 、 、 之间的数量关系为： ． (或者： ， )． 延长 到点 ，使 ，连接 ，如图2 所示． 由(1)可知 ， ． 为等边三角形． ， ． ， ． ． ， 为等边三角形． ， ． ， ，即 ． 在 和 中， ， ． ， ， ． (3) ， ， 之间的数量关系为： ． (或者： ， ) 解：连接 ，过点 作 于 ，如图3 所示． ， ． ． 在 和 中， ， ， ， ． 在 和 中， ， ． ， ， ． 【变式训练3】在 中，BE，D 为 的角平分线，BE，D 交于点F． (1)求证： ； (2)已知 ． ①如图1，若 ， ，求E 的长； ②如图2，若 ，求 的大小． 【答】(1)证明见解析；(2)25；(3)100°． 【解析】解：(1) 、 分别是 与 的角平分线， ， ， ， (2)如解(2)图，在B 上取一点G 使BG=BD， 由(1)得 ， ， ，∴ ， 在 与 中， ，∴ (SS) ∴ ，∴ ，∴ ，∴ 在 与 中， ， ， ， ， ；∵ ， ，∴ (3)如解(3)图，延长B 到P，使P=F， ，∴ ， 在 与 中， ，∴ (SS)∴ ， ， ∴ ， 又∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ， ， ∴ ， 类型三、做平行线证明全等 例1．如图所示： 是等边三角形， 、 分别是 及 延长线上的一点，且 ，连接 交 于点 ． 求让： 【答】见详解 【详解】过点D 作DE∥，交B 于点E，∵ 是等边三角形，∴∠B= B=60° ∠ ， DE ∵ ∥，∴∠DEB= B=60° ∠ ，∠MDE= ME ∠ ，∴ 是等边三角形，∴BD=DE， ∵ ，∴DE=E， 又∵∠EMD= ME ∠ ，∴∆EMD≅∆ME，∴ ． 【变式训练1】 P 为等边△B 的边B 上一点，Q 为B 延长线上一点，且P＝Q，连PQ 交边 于D． (1)证明：PD＝DQ． (2)如图2，过P 作PE⊥于E，若B＝6，求DE 的长． 【答】(1)证明见解析；(2)DE＝3． 【详解】(1)如图1 所示，点P 作PF∥B 交于点F． ∵△B 是等边三角形，∴△PF 也是等边三角形，P=PF=F=Q． ∵PF∥B，∴∠PFD=∠DQ．在△PDF 和△QD 中， ，∴ △PDF≌△QD(S)， ∴PD=DQ； (2)如图2 所示，过P 作PF∥B 交于F．∵PF∥B，△B 是等边三角形， ∴∠PFD=∠QD，△PF 是等边三角形，∴P=PF=F． ∵PE⊥，∴E=EF． ∵P=PF，P=Q，∴PF=Q．在△PFD 和△QD 中， ， ∴△PFD≌△QD(S)，∴FD=D． ∵E=EF，∴EF+FD=E+D，∴E+D=DE ． =6 ∵ ，∴DE=3． 【变式训练2】已知在等腰△B 中，B=，在射线上截取线段E，在射线B 上截取线段BD， 连接DE，DE 所在直线交直线B 与点M．请探究： (1)如图(1)，当点E 在线段上，点D 在B 延长线上时，若BD=E，请判断线段MD 和线段 ME 的数量关系，并证明你的结论． (2)如图(2)，当点E 在的延长线上，点D 在B 的延长线上时，若BD=E，则(1)中的结论还成 立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； 【答】(1)DM=EM．理由见详解；(2)成立，理由见详解；(3)MD= ME． 【解析】(1)解：DM=EM；证明：过点E 作EF//B 交B 于点F， ∵B=，∴∠B=∠； 又∵EF//B，∴∠B=∠EF，∴∠EF=∠，∴EF=E． 又∵BD=E，∴EF=BD． 又∵EF//B，∴∠DM=∠MEF． 在△DBM 和△EFM 中 ，∴△DBM≌△EFM，∴DM=EM． (2)解：成立；证明：过点E 作EF//B 交B 的延长线于点F， ∵B=，∴∠B=∠； 又∵EF//B，∴∠B=∠EF，∴∠EF=∠，∴EF=E． 又∵BD=E，∴EF=BD． 又∵EF//B，∴∠DM=∠MEF． 在△DBM 和△EFM 中 ∴△DBM≌△EFM；∴DM=EM； 类型四、旋转模型 例．如图1， ， ， ， 、 相交于点 ，连接 ． (1)求证： ，并用含 的式子表示 的度数； (2)当 时，取 ， 的中点分别为点 、 ，连接 ， ， ，如图2，判断 的形状，并加以证明． 【答】(1)证明见解析； ；(2) 为等腰直角三角形；证明见解析． 【详解】证明：(1)如图1， ， ， ， 在 和 中， ， ， ； ， ， 中， ， , ， 中， ；即 ； (2) 为等腰直角三角形．证明：如图2，由(1)可得， ， ， 的中点分别为点 、 ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ，且 ， 又 ， ， ， 为等腰直角三 角形． 【变式训练1】四边形 是由等边 和顶角为 的等腰 排成，将一个 角顶点放在 处，将 角绕 点旋转，该 交两边分别交直线 、 于 、 ， 交直线 于 、 两点． (1)当 、 都在线段 上时(如图1)，请证明： ； (2)当点 在边 的延长线上时(如图2)，请你写出线段 ， 和 之间的数量关系， 并证明你的结论； (3)在(1)的条件下，若 ， ，请直接写出 的长为 ． 【答】(1)证明见解析；(2) ．证明见解析；(3) ． 【解析】解：(1)证明：把△DBM 绕点D 逆时针旋转120°得到△DQ， 则DM=DQ，Q=BM，∠DQ=∠BDM，∠QD=∠BD=90°， ∴点Q 在直线上， ∵∠QD=∠DQ+∠D=∠BDM+∠D=∠BD-∠MD=120°-60°=60°，∴∠QD=∠MD=60°， ∵在△MD 和△QD 中， ，∴△MD≌△QD(SS)，∴M=Q， ∵Q=Q+=BM+，∴BM+=M； (2)： 理由如下：如图，把△D 绕点D 顺时针旋转120°得到△DBP， 则D=DP，=BP， ∵∠D=∠DBP=90°，∴点P 在BM 上， ∵∠MDP=∠DB-∠DM-∠BDP=120°-∠DM-∠D=120°-∠MD=120°-60°=60°， ∴∠MDP=∠MD=60°， ∵在△MD 和△MPD 中， ，∴△MD≌△MPD(SS)，∴M=MP， ∵BM=MP+BP，∴M+=BM； (3)如图，过点M 作M∥交B 于G，交D 于， ∵△B 是等边三角形，∴△BMG 是等边三角形，∴BM=MG=BG， 根据(1)△MD≌△QD 可得∠QD=∠MD， 根据M∥可得∠QD=∠M，∴∠MD=∠M， ∴M=M，∴G=M-MG=M-BM=，即=G， ∵在△E 和△GE 中， ，∴△E≌△GE(S)，∴E=EG=21， =7 ∵ ，∴B==7，∴BG=B-E-EG=7-21-21=28，∴BM=BG=28．故答为：28 【变式训练2】(1)问题发现： 如图1，△B 和△DE 均为等边三角形，当△DE 旋转至点，D，E 在同一直线上，连接BE．则： ①∠EB 的度数为 °； ②线段D、BE 之间的数量关系是 ． (2)拓展研究： 如图2，△B 和△DE 均为等腰三角形，且∠B＝∠DE＝90°，点 、D、E 在同一直线上，若D ＝，E＝b，B＝，求、b、之间的数量关系． (3)探究发现： 图1 中的△B 和△DE，在△DE 旋转过程中，当点，D，E 不在同一直线上时，设直线D 与BE 相交于点，试在备用图中探索∠E 的度数，直接写出结果，不必说明理由． 【答】(1)①60；②D＝BE；(2)2＋b2＝2；(3)60°或120° 【详解】解：(1)①如图1，∵△B 和△DE 均为等边三角形， = ∴B，D=E，∠B=∠DE=60°，∴∠D=∠BE， 在△D 和△BE 中， ，∴△D≌△BE(SS)．∴∠D=∠BE． ∵△DE 为等边三角形，∴∠DE=∠ED=60°， ∵点，D，E 在同一直线上，∴∠D=120°，∴∠BE=120°，∴∠EB=∠BE-∠ED=60°， 故答为：60； ②∵△D≌△BE，∴D=BE，故答为：D=BE； (2)∵△B 和△DE 均为等腰直角三角形， = ∴B，D=E，∠B=∠DE=90°． ∴∠D=∠BE，∴△D≌△BE(SS)， ∴BE=D，∠D=∠BE， ∵△DE 为等腰直角三角形，∴∠DE=∠ED=45°． ∵点，D，E 在同一直线上， ∴∠D=135°．∴∠BE=135°， ∴∠EB=∠BE-∠ED=90°，∴D2+E2=B2， ∵D=，E=b，B=，∴2+b2=2； (3)如图3， 由(1)知△D≌△BE， ∴∠D=