专题01 与三角形的边有关的四种题型（解析版）

专题01 与三角形的边有关的四种题型 类型一、利用三边关系简绝对值 例．若，b，是△B 的三边，则化简 的结果是（ ） ． B． ． D．0 【答】B 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”， 得到-b-<0，b--＜0，再根据绝对值的性质进行化简计算． 【详解】根据三角形的三边关系，得 -b-<0，b-- <0 ∴原式= 故选B． 【点睛】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 【变式训练】按要求完成下列各小题． (1)在 中， ， ， 的长为偶数，求 的周长； (2)已知 的三边长分别为3，5，，化简 ． 【答】(1) 的周长为 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系以及 的长为偶数，即可求得 的长，从而即可 得解； （2）根据三角形的三边关系可求得 的取值范围，从而化简不等式计算即可． 【详解】（1）解：根据三角形的三边关系得： ，即 ． ∵ 为偶数， ∴ ， ∴ 的周长为 ； （2）解：∵ 的三边长分别为3，5，， ∴ ，解得 ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边间的关系，熟记三角形的两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边是解题的关键． 类型二、确定三边的范围 例．三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有 个． 【答】3 【分析】根据周长小于13，三角形三边为互不相等的整数，三角形两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边可确定三边可选的数字为2、3、4、5，由此可得这样的三角形以及个 数． 【详解】解：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何 一边不能超过65； 根据三角形各边为整数，所以任何一边都大于1，且小于6，故三边可选的数字为2、3、 4、5； 根据各边不相等可得，三边可以为：2、3、4；2、4、5；3、4、5； 故这样的三角形共有3 个， 故答为：3． 【点睛】本题考查三角形三边关系，涉及分类讨论的思想．解答的关键是找到三边的取值 范围及对三角形三边的理解把握． 【变式训练1】△B 的两边长为4 和3，则第三边上的中线长m 的取值范围是 ． 【答】 【分析】作出草图，延长D 到E，使DE=D，连接E，利用“边角边”证明△BD 和△ED 全等， 然后根据全等三角形对应边相等可得E=B，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两 边之和小于第三边求出E 的取值范围，便不难得出m 的取值范围． 【详解】解：如图，延长D 到E，使DE=D，连接E， D ∵ 是△B 的中线， BD=D ∴ ， 在△BD 和△ED 中， , BD ED ∴△ ≌△ （SS）， E=B ∴ ， B=3 ∵ ，=4， 4-3 ∴ ＜E＜4+3， 即1＜E＜7， ∴ ． 故答为 ． 【点睛】本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练 掌握倍长中线法构造全等三角形 【变式训练2】在等腰△B 中，B=，腰上的中线BD 将三角形周长分为15 和21 两部分，则 这个三角形的底边长为 ． 【答】16 或8 【分析】本题由题意可知有两种情况，B+D=15 或B+D=21．从而根据等腰三角形的性质及 三角形三边关系可求出底边为8 或16． 【详解】解：∵BD 是等腰△B 的中线，可设D=D=x，则B==2x 又知BD 将三角形周长分为15 和21 两部分 ∴可知分为两种情况 ①B+D=15，即3x=15，解得x=5，此时B=21﹣x=21 5=16 ﹣ ②B+D=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△B 的三边分别为14，14，8 经验证，这两种情况都是成立的 ∴这个三角形的底边长为8 或16 故答为：16 或8 【点睛】本题主要考查来了等边三角形的性质以及三角形的三边关系（两边之和大于第三 边，两边只差小于第三边），注意求出的结果燕验证三角形的三边关系，掌握分类讨论思 想是解题的关键． 【变式训练3】一个三角形有两边长分为3 与2．若它的第三边的长为偶数．则它的第三边 长为 ． 【答】2 或4 【分析】根据三角形的边的关系，求得第三边的取值范围，在结合偶数条件，即可确定答． 【详解】解：设第三边长为x 根据三角形的边的关系可得：1＜x＜5， 又由第三边为偶数，所以第三边长为2 或4 故答为2 或4 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，确定第三边的取值范围是关键．也可使用列举， 但是容易因遗漏导致错误． 类型三、三角形的中线问题 例．如图，在 中，点 是 边上一点， ，连接 ，点 是线段 上一点， ，连接 ，点 是线段 的中点，连接 交线段 于点 ， 若 的面积是12，则 的面积是 ． 【答】 【分析】连接 ， ．由题意中的线段的比和 ，可推出 ， ，从而可求出 ， ．结合中点的性质 即得出 ，从而可求出 ，进而得出 ，最后即得出 ，最后即可求出 ． 【详解】解：如图，连接 ， ． ∵ ， ， ∴ ， ． 又∵ ， ∴ ， ． ∵点 是线段 的中点， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 , ∴ ， ∴ ． 故答为： ． 【点睛】本题考查线段的中点的性质，线段的等分点的性质，与三角形的高有关的计算问 题．正确的连接辅助线是解题关键． 【变式训练1】如图，在 中，D 是边 的中点，E、F 分别是边 上的三等分点， 连接 分别交 于G、点，若 的面积为90，则四边形 的面积为 ． 【答】 【分析】如图: 连接 ，设 ， ，根据“等底同高的三角形面积相等”可 得 、 、 、 、 ，进而列出二元一次方程组 求 解可得 ；同理：连接 ，设 ， ，可得 ，最后根据 即可解答． 【详解】解： 如图: 连接 ，设 ， ， E、F 分别是边 上的三等分点， 的面积为90， ∴ ， ， ， ∵D 是边 的中点， ∴ ， ∵ ,即 ， ，即 ∴ ，解得： ，即 ； 如图: 连接 ，设 ， ， ∴ ， ∵ ,即 ， ，即 ∴ ，解得： ； ∴ , ． 故答为 ． 【点睛】本题主要考查了三角形中线、三角形的等分点、解二元一次方程组等知识点，通 过做辅助线、明确各三角形之间的面积关系是解答本题的关键． 【变式训练2】如图，点为直线 外一动点， ，连接 ，点D、E 分别是 的中点，连接 交于点F，当四边形 的面积为5 时，线段 长度的 最小值为 ． 【答】5 【分析】如图：连接 ，过点作 于点，根据三角形中线的性质求得 ， 从而求得 ，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图：连接 ，过点作 于点， ∵点D、E 分别是 的中点， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵点到直线的距离垂线段最短， ∴ ， ∴ 的最小值为． 故答为：5． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线、利用中 线分析三角形的面积关系是解题的关键． 【变式训练3】如图，在 中，已知 为 的中线，过点作 分别交 、 于点F、E，连接 ，若 ， ， ，则 ． 【答】84 【分析】根据 为 的中线，可得 ， ，通过题中条件可求 得 ，根据 ，可得 ， ， 设 ，则 ， ，故 ，根据 ，列方程 ，即可解答． 【详解】解： 为 的中线， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， 根据 ，列方程 ， 解得 ， ． 故答为：84． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，根据题中的边长之比得出对应的三角形的面积之 比是解题的关键． 类型四、三角形的面积综合 例．如图①，在平面直角坐标系中，(，0)，(b，2)，且满足 (+2)2 + =0，过作B⊥x 轴 于B． (1)直接写出三角形B 的面积 ； (2)如图②，若过B 作BD∥交y 轴于D，且E，DE 分别平分∠B，∠DB，求∠ED 的度数； (3)在y 轴上是否存在点P，使得三角形P 和三角形B 的面积相等？若存在，求出P 点的坐 标；若不存在，请说明理由． 【答】(1)4 (2)45° (3)P(0，-1)或(0，3) 【分析】（1）先依据非负数的性质可求得、b 的值，从而可得到点和点的坐标，接下来， 再求得点B 的坐标，最后，依据三角形的面积公式求解即可； （2）过E 作 ，首先依据平行线的性质可知∠DB＝∠6，∠B＝∠5，接下来，依据平 行公理的推理可得到 ，然后，依据平行线的性质可得到∠1＝∠3，∠2＝ ∠4，然后，依据角平分线的性质可得到∠3＝ ∠B，∠4＝ ∠DB，最后，依据∠ED＝∠1＋ ∠2＝∠3＋∠4 求解即可； （3）①当P 在y 轴正半轴上时，设点P（0，t），分别过点P，，B 作M x 轴， y 轴， BM y 轴，交于点M，，然后，用含t 的式子表示出，M 的长，然后依据S△P=S 梯形M- S△MP-S△P=4 列出关于t 的方程求解即可；②当P 在y 轴负半轴上时，分别过点P，，B 作 M x 轴， y 轴，BM y 轴，交于点M，，设点P（0，），然后用含的式子表示出、M 的 长，最后，依据S△P=S 梯形M-S△P-S△MP=4 列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵(+2)2+ =0， +2=0 ∴ ，b-2=0， =-2 ∴ ，b=2， ∵B⊥B， (-2 ∴ ，0)，B(2，0)，(2，2)， ∴△B 的面积为： ×2×4=4． 故答为：4． （2）∵B y 轴，BD ， ∴∠B= 5 ∠，∠DB= 6 ∠，∠B+∠DB= 5+ 6=90° ∠ ∠ ， 过E 作EF ，如图所示： ∵BD ， ∴BD EF， ∵E、DE 分别平分∠B、∠DB， 3= ∴∠ ∠B= 1 ∠，∠4= ∠DB= 2 ∠， ∴∠ED= 1+ 2= ∠ ∠ (∠B+∠DB)=45°． （3）①当P 在y 轴正半轴上时，如图所示： 设P(0，t)，过P 作M x 轴， y 轴，BM y 轴， ∵S△P=S 梯形M-S△MP-S△P=4， ∴ -t-(t-2)=4， 解得：t=3； ②当P 在y 轴负半轴上时，如图所示： 设P(0，)，过P 作M x 轴， y 轴，BM y 轴， ∵S△P=S 梯形M-S△P-S△MP=4， ∴ +-(2-)=4， 解得：= -1； ∴P(0，-1)或(0，3)． 【点睛】本题主要考查的是三角形的综合应用，解答本题主要应用了非负数的性质、三角 形的面积公式，平行线的性质，依据三角形的面积公式、梯形的面积公式依据图形中相关 图形之间的面积关系列出关于和t 的方程是解题的关键． 【变式训练1】如图1，已知点 ， ， ，过点 作 轴的平行线 ， 一动点 从 点出发，在直线 上以1 个单位长度/秒的速度向右运动，与此同时，直线 以2 个单位长度/秒的速度竖直向上运动． (1)直接写出：运动1 秒时，点 的坐标为______；运动秒时，点 的坐标为______；（用 含的式子表示） (2)若点 在第三象限，且 ，求点 的坐标； (3)如图2，如果将直线 沿 轴负半轴向下平移 个单位长度，恰好经过点 ，求 的值． 【答】(1) ， (2) (3)10 【分析】（1）每运动1 秒，点 向右移动1 个单位长度，向上移动2 个单位长度，由此可 解； （2）连接P， ，由此可解； （3）由平移的性质和规律即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，每运动1 秒时，点 向右移动1 个单位长度，向上移动2 个单位长度． 运动1 秒时，点 的坐标为 ，即 ； 运动秒时，点 的坐标为 ， 故答为： ， ； （2）解：如图，连接P． ∵点 ， ， ∴ ， ， ∵点 ，在第三象限， ∴ ， ， ∴点P 到y 轴的距离为 ， 点P 到x 轴的距离为 ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ， ∴点 的坐标为 ； （3）解：如图，设直线m 与y 轴交于点D． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴直线 沿 轴负半轴向下平移2 个单位长度时经过点 ， 由（2）知， ， ， ∴直线 沿 轴负半轴每向下平移2 个单位长度，直线 与直线m 的交点向左平移1 个 单位长度， ∵点 向左平移4 个单位长度到达点， ∴将直线 沿 轴负半轴向下平移 个单位长度，恰好经过点 时， ， 即 的值为10． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形的特点、三角形面积、平移的性质等 知识点，综合性较强，熟练掌握三角形面积公式和平移的性质是解题的关键． 【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，( ，0)，(b，2)，且满足 ，过作B⊥ 轴于B． (1)求三角形B 的面积． (2)如图2，若过B 作BD∥交 轴于D，且E，DE 分别平分∠B，∠DB，求∠ED 的度数． (3)若交 轴于点F，在 轴上是否存在点P，使得三角形P 的面积是三角形F 的面积的4 倍？ 若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1)4 (2)45° (3)P 坐标为(0，3)或(0，-1) 【分析】（1）根据非负数的性质可列出关于、b 的二元一次方程组，解出、b，即得出、 B、三点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可； （2）过E 作EF∥，根据平行线的性质结合角平分线定义即可求解； （3）连接．根据 和 ，即可求出 ，从而可求出 ．分类讨论①当P 点在x 轴上方时，作 轴， 轴， 轴，分 别交于点M、．设P(0，m)，根据 ，即可求出m 的值，即得 出答；②当P 点在x 轴下方时，作 轴， 轴， 轴，分别交于点 、 ．设设P(0，)，根据 ，即可求出的值，即得出答． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， 解得： ． (-2 ∴ ，0)，(2，2)． ∵B⊥B， ∴B(2，0)， ∴B=4，B=2， ∴ ； （2）如图，过E 作EF∥． ∵B⊥x 轴， ∴B∥y 轴，∠B=90°， ∴∠DB= 6 ∠． 又∵BD∥， ∴∠B= 5 ∠， ∴∠B+∠DB= 5+ 6=180°- ∠ ∠ ∠B=90°． ∵BD∥， ∴BD∥∥EF， 1= 3 ∴∠ ∠，∠2= 4 ∠． ∵E，DE 分别平分∠B，∠DB， 3= ∴∠ ∠B，∠4= ∠DB， ∴∠ED= 1+ 2= 3+ 4= ∠ ∠ ∠ ∠ (∠B+∠DB)=45°； （3）如图，连接． ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 分类讨论：①当P 点在x 轴上方时，如图，作 轴， 轴， 轴，分别交 于点M、． 设P(0，m) 则M=m，MP=2，P=2，=m-2，M=4， ∴ ， ∴ ， 解得： ． ∴此时点P 坐标为(0，3)； ②当P 点在x 轴下方时，如图，作 轴， 轴， 轴，分别交于点 、 ． 设P(0，)， 则 =-， =2， =2， =2-， ， ∴ ， ∴ ， 解得： ． ∴此时点P 坐标为(0，-1)． 综上可知点P 坐标为(0，3)或(0，-1)． 【点睛】本题考查非负数的性质，解二元一次方程组，坐标与图形，角平分线的定义，三 角形的面积公式，平行线的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 课后训练 1．如图，在 中，延长 至点F，使得 ，延长 至点D，使得 ， 延长 至点E，使得 ，连接 、 、 ，若 ，则 为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】B 【分析】先设 的面积为 ，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其 余各个三角形的面积表示出来，总面积为 ，解得 的面积． 【详解】解：如图，连接 、 ，设 的面积为 ， ， 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ， , 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ， ， ，即 的面积为2 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的面积问题，等高且共底的三角形面积比是底边的比这个性质 是解题的关键． 2．已知如图， 是等腰直角三角形， ，点在x 轴负半轴上，直角顶点在y 轴上，点B 在x 轴上方． (1)如图1，点的坐标是 ． ①若 ，则 ______； ②若的坐标是 ，求点B 的坐标． (2)如图2，若x 轴恰好平分 ， 与x 轴交于点E，过点B 作 轴于F，问 与 有怎样的数量关系？并说明理由． 【答】(1)① ；② (2) ；理由见解析 【分析】（1）①根据直角三角形的性质即可得到结果；②过点B 作 轴，证明 ，求得 ， ，即可得到点B 的坐标 （2）延长 、 交于点，证明 ，得到 ，再证明 ，即可得到 【详解】（1）①∵点的坐标是 ， ∴ ， ∵ ，且 ， ∴ ， ∴ ②过点B 作 轴， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ （2） ，理由如下： 延长 、 交于点， ∵ ， ∴ ， ∵x 轴平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、 全等三角形的判定和性质及角平分线的定义，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形 3．不等边 两条高的长度分别为4 和12，若第三条高的长度也是整数，求第三条高的 长 【答】第三条高的长为5 【分析】可设高为12 时对应边长x，则利用等面积法可求得长度为4 的高对应的边长为 3x，设第三边y，根据三边关系有 ，即 ，第三边上的高（设为 ），利用等面积法可知满足 ，求得z 取值，再利用z 为整数和三角形不等边 可求得z 【详解】设长度为12 的高对应的边长为 则长度为4 的高对应的边长为 则第三边（设为 ）满足 即 故第三边上的高（设为）满足 即 ∵为整数 ∴ 或5 当 时，三角形为等腰三角形，不符合题意 故 第三条高的长为5 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解本题的关键是灵活利用等面积法将三边长度联 系起来，并注意结果一定要符合题意， 4．三边长均为整数，且周长为30 的不等边三角形有多少个？ 【答】18 【分析】不妨设三角形三边为 、 、，且 ，由三角形三边关系定理及题设条件 可确定的取值范围，以此确定的值，再确定 、 的值． 【详解】解：设三角形三边为 、 、，且 ， ∵ ， ， ∴ ，即 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 又∵为整数， ∴为 、 、 、 、 ， ① ∵ 当为 时，有1 个三角形， ， ， ； ②当为 时，有2 个三角形， ， ，； ， ，； ③当为 时，有4 个三角形， ， ，； ， ，； ， ，； ，，； ④当为 时，有5 个三角形， ， ， ； ， ，； ， ，； ， ，； ，，； ⑤当为 时，有7