专题20 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）（原卷版）

专题20 相似三角形重要模型--母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多， 是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入 理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 母子相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1“母子”模型(共边角模型) 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角 形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对 应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠=∠BD； 结论：△BD∽△B，B2＝D· 2）双垂直模型（射影模型） 条件:如图2，∠B=90，D⊥B； 结论：△D∽△B∽△BD；2＝D·B，B2＝BD·B，D2＝D·DB 3）“母子”模型（变形） 条件:如图3，∠D=∠E，B=； 结论：△BD∽△E； 4）共边模型 条件:如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ，结论： ； 例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在 中， 是 边上的点， ， ， 则 与 的周长比是（ ） ． B． ． D． 例2．（2022 春·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，点D 在B 上，且 ＝ ． （1）求证 △D∽△B；（2）若D＝3，BD＝2，求D 的长． 例3（2022 山西九年级期中）如图，点，D 在线段B 上，△PD 是等边三角形，且∠PB＝120°，求证：（1） △P∽△PDB，（2）D2＝•BD． 例4．（2023·湖南·统考中考真题）在 中， 是斜边 上的高． (1)证明： ；(2)若 ，求 的长． 例5．（2023 浙江中考模拟）如图，在 B 中，∠B＝90°，D B ⊥． （1）图1 中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）： （2）已知B＝5，＝4，请你求出D 的长： （3）在（2）的情况下，如果以B 为x 轴，D 为y 轴，点D 为坐标原点，建立直角坐标系（如图2），若点 P 从点出发，以每秒1 个单位的速度沿线段B 运动，点Q 出B 点出发，以每秒1 个单位的速度沿线段B 运动， 其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒是否存在点P，使以点B、 P、Q 为顶点的三角形与△B 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 例6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图， 是等腰直角 斜边 的中线，以点 为顶点的 绕点 旋转，角的两边分别与 、 的延长线相交，交点分别为点 、 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，且 ．(1)如图1，若 ，求证： ；(2)如图2，若 ，求证： ；(3)如图2，过 作 于点 ，若 ， ，求 的长． 例7．（2023·浙江·九年级期末）（1）如图1，在 中， 为 上一点， ．求证： ． （2）如图2，在 中， 是 上一点，连接 ， ．已知 ， ， ．求证： ． （3）如图3，四边形 内接于 ， 、 相交于点 ．已知 的半径为2， ， ， ，求四边形 的面积． 例8．（2022 春·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】 （1）如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ，求证： ； 【尝试应用】（2）如图2，四边形 为平行四边形， 在 边上， ，点 在 延长线 上，连结 ， ， ，若 ， ， ，求 的长； 【拓展提高】（3）如图3，在 中， 是 上一点，连结 ，点 ， 分别在 ， 上，连结 ， ， ，若 ， ， ， ， ，求 的值． 课后专项训练 1（2023 成都市九年级期中）如图，矩形BD 中，F 是D 上一点，BF⊥，垂足为E，AD AB =1 2 ，△EF 的面积 为S1，△EB 的面积为S2，则S1 S2 的值等于（ ） ．1 16 B．1 5 ．1 4 D．1 25 2．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在 中， ．分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，作直线 分别交 ， 于点 ．以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，连结 ．则下列说法错误的是（ ） ． B． ． D． 3．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在 中， ， 于 点，下列关系中 不正确的是（ ） ． B． ． D． 4．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在 中， ， ，以点 为圆心，以 为半径作弧交 于点 ，再分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射 线 交 于点 ，连接 ．以下结论不正确的是（ ） ． B． ． D． 5．（2023·云南临沧·统考三模）如图，在 中，D 是 上的点， ， ， ，则 与 的面积比为（ ） ． B． ． D． 6．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在 中，以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ；作射线 交 于点 ，若 ， ， 的面积为，则 的面积为 ． 7．（2020·山西·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ， ，垂足 为 ， 为 的中点， 与 交于点 ，则 的长为 ． 8．（2022·河北邢台·校考二模）如图1，在 中， ， ， ，点 为 边上 一点，则点 与点 的最短距离为______．如图2，连接 ，作 ，使得 ， 交 于 ，则当 时， 的长为______． 9．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图， 是正五边形 的对角线， 与 相交于点 ． 下列结论：① 平分 ； ② ； ③四边形 是菱形； ④ 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 10．（2020·广东广州·统考中考真题）如图，正方形 中， 绕点 逆时针旋转到 ， ， 分别交对角线 于点 ，若 ，则 的值为 ． 11．（2021·四川南充·中考真题）如图，在 中，D 为B 上一点， ，则 的值 为________． 12．（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，在△B 中，点D 在B 边上，点E 在边上，且D＝B，∠DE＝∠B． （1）求证：△ED D ∽△；（2）若E＝1，E＝3，求B 的长． 13．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在 与 中，点 、 分别在边 、 上，且 ，若___________，则 ．请从① ；② ；③ 这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 14．（2023·湖南·统考中考真题）在 中， 是斜边 上的高． (1)证明： ；(2)若 ，求 的长． 15．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践 问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴 趣并展开探究． 探究发现：如图1，在 中， ， ． （1）操作发现：将 折叠，使边 落在边 上，点 的对应点是点 ，折痕交 于点 ，连接 ， ，则 _______ ，设 ， ，那么 ______（用含 的式子表示）； （2）进一步探究发现： ，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明： ； 拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1 中的 是黄金三角形．如图2，在菱形 中， ， ．求这个菱形较长对角线的长． 16．（2023·广东·九年级专题练习）定义：如图，若点P 在三角形的一条边上，且满足 ，则称点P 为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D 是 的边B 的中点， ， ，试判断点 D 是不是 的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在 中， ， ， ，若 点D 是 的“理想点”，求D 的长． 17．（2022·江西·统考中考真题）如图，四边形 为菱形，点E 在 的延长线上， ． (1)求证： ；(2)当 时，求 的长． 18．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）已知，点D 在 的边 上，连接 ． (1)如图1，若 ．求证： ；(2)如图2，若 ， ， ， ．求线段 的长；(3)如图3，M、分别是 上的两点，连接 交 于点P，当 ， 时，若 ，直接写出 的值______． 19．（2022·湖南长沙·校考三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三 角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在 中， 为边 上的中线， 与 相似，那么称 为关于边 的“华益美三角”． (1)如图2，在 中， ，求证： 为关于边 的“华益美三角”； (2)如图3，已知 为关于边 的“华益美三角”，点 是 边 的中点，以 为直径的⊙ 恰好经过点 ．①求证：直线 与 相切；②若 的直径为 ，求线段 的长； (3)已知 为关于边 的“华益美三角”， ， ，求 的面积． 20．（2022·浙江台州·统考一模）已知在▱BD，B＝2 ，B＝10，∠B＝60°，E 是边B 上的动点，以E 为一 边作▱EFG，且使得直线FG 经过点D． （1）如图1，EF 与D 相交于，若是EF 的中点．①求证：GF＝DF；②若GF⊥D，求GD 的长； （2）如图2，设E＝x，G＝y，当点E 在边B 上移动时，始终保持∠EF＝45°， ①求y 关于x 的函数关系式，并求函数y 的取值范围；②连接ED，当△ED 是直角三角形时，求DF 的值． 21．（2023·山西临汾·统考二模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的倍，则称三角形为“倍角三角形”．当 时， 称为“1 倍角三角形”，显然等腰三角形是“1 倍角三角形”；当 时，称为“2 倍角三角形”，小康 通过探索后发现：“2 倍角三角形”的三边有如下关系． 如图，在 中， 所对的边分别为 ，若 ，则 ． 下面是小康对“2 倍角三角形”的结论的两种探索证明过程： 证法1：如图1，作 的平分线 ，∴ ． 设 ，则 ． 证法2：如图2，延长 到点 ，使得 ，连接 ，…… 任务：(1)上述材料中的证法1 是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或 “相似”）． (2)请补全证法2 剩余的部分． 22．（2022·安徽·校联考三模）在 中， ， 平分 ． （1）如图1，若 ， ，求 的长．（2）如图2，过 分别作 交 于 ， 于 ．①求证： ；②求 的值． 23．（2023 春·山东淄博·八年级统考期末）如图，已知 ，点 ， 在边 上，连接 ， ，使 ，且 ．(1)请判定 的形状，并说明理由；(2)若 ， ，求 的面积． 24．（2023·湖南娄底·统考中考真题）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华女永不褪色的信仰，国 旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星 进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形 的边 的延长线相交于点F， 的平分线交 于点M． (1)求证： ．(2)若 ，求 的长．(3)求 的值． 25．（2022·江苏苏州·统考中考真题）（1）如图1，在△B 中， ，D 平分 ，交B 于点 D， // ，交B 于点E． ①若 ， ，求B 的长；②试探究 是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是， 请说明理由．（2）如图2， 和 是△B 的2 个外角， ，D 平分 ，交B 的 延长线于点D， // ，交B 的延长线于点E．记△D 的面积为 ，△DE 的面积为 ，△BDE 的面积为 ．若 ，求 的值．