专题20 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）（解析版）

专题20 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多， 是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入 理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 母子相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1“母子”模型(共边角模型) 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角 形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对 应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠=∠BD； 结论：△BD∽△B，B2＝D· 2）双垂直模型（射影模型） 条件:如图2，∠B=90，D⊥B； 结论：△D∽△B∽△BD；2＝D·B，B2＝BD·B，D2＝D·DB 3）“母子”模型（变形） 条件:如图3，∠D=∠E，B=； 结论：△BD∽△E； 4）共边模型 条件:如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ，结论： ； 例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在 中， 是 边上的点， ， ， 则 与 的周长比是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】先证明△D∽△B，即有 ，则可得 ，问题得解． 【详解】∵∠B=∠D，∠=∠，∴△D∽△B，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴△D 与△B 的周长比1:2，故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△D∽△B 是解答本题的关键． 例2．（2022 春·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，点D 在B 上，且 ＝ ． （1）求证 △D∽△B；（2）若D＝3，BD＝2，求D 的长． 【答】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出 （2）由 得 ， ，推出 ，由相似三角形的性质得 ，即可求出D 的长． 【详解】（1）∵ ， ，∴ ； （2）∵ ，∴ ， ， ∴ ，∴ ， ∴ ，即 ，∴ ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键． 例3（2022 山西九年级期中）如图，点，D 在线段B 上，△PD 是等边三角形，且∠PB＝120°，求证：（1） △P∽△PDB，（2）D2＝•BD． 证明：（1）∵△PD 是等边三角形， ∴∠PD＝∠PD＝∠PD＝60°，∴∠P＝∠PDB＝120°， ∵∠PB＝120°，∴∠P+∠BPD＝60°， ∵∠P+∠P＝60°∴∠BPD＝∠P， ∴△P∽△PDB； （2）由（1）得△P∽△PDB，∴ ， ∵△PD 是等边三角形，∴P＝PD＝D，∴ ，∴D2＝•BD． 例4．（2023·湖南·统考中考真题）在 中， 是斜边 上的高． (1)证明： ；(2)若 ，求 的长． 【答】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据三角形高的定义得出 ，根据等角的余角相等，得出 ，结合公 共角 ，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵ 是斜边 上的高． ∴ ， ∴ ，∴ 又∵ ∴ ， （2）∵ ∴ ，又 ∴ ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 例5．（2023 浙江中考模拟）如图，在 B 中，∠B＝90°，D B ⊥． （1）图1 中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）： （2）已知B＝5，＝4，请你求出D 的长： （3）在（2）的情况下，如果以B 为x 轴，D 为y 轴，点D 为坐标原点，建立直角坐标系（如图2），若点 P 从点出发，以每秒1 个单位的速度沿线段B 运动，点Q 出B 点出发，以每秒1 个单位的速度沿线段B 运动， 其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒是否存在点P，使以点B、 P、Q 为顶点的三角形与△B 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】（1）3， B∽ D， B∽ BD， D∽ BD；（2） ；（3）存在，( ， )，( ， ) 【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3 对相似三角形，分别为：△B D ∽△， △B BD ∽△ ，△D BD ∽△ ．（2）先在△B 中由勾股定理求出B 的长，再根据△B 的面积不变得到 B•D＝ •B， 即可求出D 的长．（3）由于∠B 公共，所以以点B、P、Q 为顶点的三角形与△B 相似时，分两种情况进行讨 论：①△PQB B ∽△；②△QPB B ∽△． 【详解】解：（1）图1 中共有3 对相似三角形，分别为：△B D ∽△，△B BD ∽△ ，△D BD ∽△ ． 证明：∵D B ⊥，∴∠D= B=90° ∠ ，又∵∠=∠，∴△D B ∽△ 同理可证：△B BD ∽△ ，△D BD ∽△ ． 故答为：3；△B D ∽△，△B BD ∽△ ，△D BD ∽△ ． （2）如图2 中，在△B 中，∵∠B＝90°，B＝5，＝4，∴B＝ ＝ ＝3． B ∵△的面积＝ B•D＝ •B，∴D＝ ＝ ． （3）存在点P，使以点B、P、Q 为顶点的三角形与△B 相似，理由如下： 在△B 中，∵∠B＝90°，B＝3，＝ ，∴B＝ ． 分两种情况：①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB B ∽△， ∴ ＝ ，∴ ，解得t＝ ，即 ，∴ ． 在△BPQ 中，由勾股定理，得 ，∴点P 的坐标为 ； ②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB B ∽△，∴ ，∴ ， 解得t＝ ，即 ， 过点P 作PE x ⊥轴于点E．∵△QPB B ∽△，∴ ，即 ，∴PE＝ ． 在△BPE 中， ， ∴ ，∴点P 的坐标为 ， 综上可得，点P 的坐标为( ， )；( ， )． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会 用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 例6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图， 是等腰直角 斜边 的中线，以点 为顶点的 绕点 旋转，角的两边分别与 、 的延长线相交，交点分别为点 、 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，且 ．(1)如图1，若 ，求证： ；(2)如图2，若 ，求证： ；(3)如图2，过 作 于点 ，若 ， ，求 的长． 【答】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) ． 【分析】（1）由题意可得∠BD=∠D=45°，∠BE=∠F= 90°，从而可得∠DE=∠DF = 135°，于是可证得 ，则有DE= DF；（2）结合（1）可求得∠DF +∠F= 45°从而可得∠F =∠DE，则 ，利用相似三角形的性质即可求解；（3）由DG⊥B，∠B=90°，∠BD=∠D=45°，结合 （2）可求得E = 2 ，从而可求得G= DG= ，可证得 ，从而可求得G = ，再利用勾 股定理即可求得D． （1）证明∶∵∠B=90°，= B，D 是中线， ∴∠BD=∠D=45°，∠BE=∠F= 90°，∴∠DE=∠DF= 135° ∵在△DE 与△DF 中， ，∴ ，∴DE= DF； （2）证明∶∵∠DE= ∠DF= 135°∴∠DF+∠F=180°-135°=45°， ∵∠DF +∠DE=45°，∴∠F=∠DE， ∴ ，∴ ，即 ； （3）解：如图，∵DG⊥B，∠B=90°，∠BD=∠D=45°， ∴∠DG=∠E=90°， ∠GD=∠DG=45°，∴G= DG 当D=2，F= 时，由 可得，E=2 ， 在Rt△DG 中， ∵∠E =∠DG，∠E=∠DG，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，作出适当的辅 助线，并熟记相似三角形的判定条件与性质是解题的关键． 例7．（2023·浙江·九年级期末）（1）如图1，在 中， 为 上一点， ．求证： ． （2）如图2，在 中， 是 上一点，连接 ， ．已知 ， ， ．求证： ． （3）如图3，四边形 内接于 ， 、 相交于点 ．已知 的半径为2， ， ， ，求四边形 的面积． 【答】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由 化比例，与 ，可证 ∽ 即可； （2）由 ，可得 ，D=B，根据线段比值计算 ， ，可得 ，由 ∠E=∠B，可证 ∽ 即可； （3）连接 交 于点 ，连接 ，根据 ， ，可得=2E，根据线段比值计算可得 ，由∠B=∠EB，可证 ∽ ，可证∠BD=∠DB，可得BF=DF，根据勾股定理F= ，可求 ，可证 ， ，可得S△BD= 即可． 【详解】（1）证明：如图1，∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ∽ ，∴ ． （2）证明：如图2，∵ ，∴ ，D=B， ∵ ， ， ，∴ ， ∴ ， ，∴ ，∵∠E=∠B，∴ ∽ ， ∴ ，即 ，∴ ．∴ ； （3）解：如图3，连接交 于点 ，连接 ，∵ ， ，∴=2E， ∴ ， ，∴ ， ∵∠B=∠EB，∴ ∽ ，∴ ， ∵∠DB=∠B，∴∠BD=∠DB， ∴点是弧 的中点，BD 为弦，为半径，∴ ，BF=DF， ∵ ， ，∴BF=DF= ， 在Rt△BF 中，根据勾股定理F= ， ∴ ，∴ ，∵ ，∴ ， ， ∴S△BD=S△BE+S△DE= ，∴ ． 【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算，掌握三角形相 似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算是解题关键． 例8．（2022 春·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】 （1）如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ，求证： ； 【尝试应用】（2）如图2，四边形 为平行四边形， 在 边上， ，点 在 延长线 上，连结 ， ， ，若 ， ， ，求 的长； 【拓展提高】（3）如图3，在 中， 是 上一点，连结 ，点 ， 分别在 ， 上，连结 ， ， ，若 ， ， ， ， ，求 的值． 【答】（1）见解析；（2） ；（3） 【分析】（1）据角平分线的定义及相似三角形的判定可知 ，再根据相似三角形的性质即可 解答；（2）据平行四边形的性质及相似三角形的判定可知 ，再根据相似三角形的性质即可 解答；（3）据平行线的性质可知即相似三角形的判定可知 ，再根据相似三角形的性质即 可解答． 【详解】（1）证明：∵ 平分 ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ； （2）解：∵四边形 为平行四边形，∴ ， ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ， ∴ ，即 ，解得： ，∴ ； （3）过点 作 交 的延长线于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性 质是解题的关键． 课后专项训练 1（2023 成都市九年级期中）如图，矩形BD 中，F 是D 上一点，BF⊥，垂足为E，AD AB =1 2，△EF 的面积 为S1，△EB 的面积为S2，则S1 S2 的值等于（ ） ．1 16 B．1 5 ．1 4 D．1 25 【解答】解：∵AD AB =1 2，∴设D＝B＝，则B＝D＝2，∴¿ ❑ √5， ∵BF⊥，∴△BE∽△B，△EB∽△B，∴B2＝E•，B2＝E• ∴2＝E•❑ √5，42＝E•❑ √5，∴E¿ ❑ √5a 5 ，E¿ 4 ❑ √5a 5 ，∴CE AE = 1 4 ， ∵△EF∽△EB，∴S1 S2 =¿（CE AE ）2¿ 1 16，故选：． 2．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在 中， ．分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，作直线 分别交 ， 于点 ．以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，连结 ．则下列说法错误的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项；先根据等腰三角形的性质可得 ，从而可得 ，再根据等腰三角形的性质可得 ，然后根 据三角形的外角性质可得 ，由此即可判断选项B；先假设 可得 ， 再根据角的和差可得 ，从而可得 ，由此即可判断选项；先根据等 腰三角形的判定可得 ，再根据相似三角形的判定可得 ，然后根据相似三角形 的性质可得 ，最后根据等量代换即可判断选项D． 【详解】解：由题意可知， 垂直平分 ， ， ，则选项正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，则选项B 正确； 假设 ， ， 又 ， ， ，与 矛盾，则假设不成立，选项错误； ， ， ， 在 和 中， ， ， ，即 ， ，则选项D 正确；故选：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形 的判定与性质，综合性较强，熟练掌握判定定理与性质是解题关键． 3．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在 中， ， 于 点，下列关系中 不正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】求证 ， ， ，相应得出相关线段的数量关系；由勾股 定理，可得 中， ， 中， ，于是 ，从而可得出结论． 【详解】解：∵ ， ，∴ ∴ ∴ ，故正确，不符合题意； ∵ ， ，∴ 又 ∴ ∴ ∴ ，故B 正确，不符合题意； 中， ， 中， ， ∴ ，故D 正确，不符合题意． ∵ ， ∴ ∴ ∵ ，故错误，符合题意；故选： 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据相似三角形得出线段间的数量关系是解题的 关键． 4．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在 中， ， ，以点 为圆心，以 为半径作弧交 于点 ，再分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射 线 交 于点 ，连接 ．以下结论不正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】由题意得， ， 平分 ，根据三角形内角和及角平分线判断即可；由角平分线求 出 ，得到 ，根据三角形内角和求出 ，得到 ，即可判 断B；证明 ，得到 ，设 ，则 ，求出x，即可判断；过点E 作 于G， 于，由角平分线的性质定理推出 ，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得， ， 平分 ， ∵在 中， ， ，∴ ∵ 平分 ，∴ ，故正确； ∵ 平分 ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，故B 正确； ∵ ，∴ ，∴ ， 设 ，则 ，∴ ，∴ ，解得 ， ∴ ，∴ ，故错误；过点E 作 于G， 于， ∵ 平分 ， ， ，∴ ∴ ，故D 正确；故选：． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元 二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 5．（2023·云南临沧·统考三模）如图，在 中，D 是 上的点， ， ， ，则 与 的面积比为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】证明 ，再利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解： ， ， ， ，设 ，则 ， ， 与 的面积比为 ，故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段 之间的关系是解决问题的关键． 6．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在 中，以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ；作射线 交 于点 ，若 ， ， 的面积为，则 的面积为 ． 【答】 【分析】过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ，得出 ，根据 ，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点 作 交 的延长线于点 ，∴ 由作图可得 是 的角平分线，∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ， ∵ 的面积为，∴ 的面积为 ，故答为： ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与 判定是解题的关键． 7．（2020·山西·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ， ，垂足 为 ， 为 的中点， 与 交于点 ，则 的长为 ． 【答】 【分析】过点F 作F⊥于，则 ∽ ，设F 为x，由已知条件可得 ，利用相似三角 形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x 的方程，解方程求出x 的值，利用 即可得到DF 的长． 【详解】如解图，过点 作 于 ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，点 是 的中点，∴ ， ∵ ，∴ ∽ ∴ ∴ ， 设 为 ，则 ，由勾股定理得 ， 又∵ ，∴ ， 则 ，∵ 且 ， ∴ ∽ ，∴ ，即 ，解得 ，∴ ． ∵ ∴ ∴ ∴ 故答为： 【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形． 8．（2022·河北邢台·校考二模）如图1，在 中， ， ， ，点 为 边上 一点，则点 与点 的最短距离为______．如图2，连接 ，作 ，使得 ， 交 于 ，则当 时， 的长为______． 【答】 5 2 【分析】根据等腰三角形的三线合一性作B 边上的高M，再根据三角函数值求出M 的长，根据垂线段最短 即可得到点P 到的最短距离即为M 长； ，根据等腰三角形的三线合一性即可得到B 的长，利用线段的和差求出P 的长，再根据三角函数值求出的 长，利于勾股定理即可得到P 长和长，再证△PQ 相似于△P，即可得到Q 长； 【详解】解如图1，过点作M⊥B，垂足为M， ∵B=，M⊥B，∴BM=M= B=12， 又∵t= ∴tB= ∴M=BM tB=12× =5， 根据点到直线的距离垂线段最短，可得点P 与点的最短距离为5； ∴B== =13， 如图2，过点作⊥B，在Rt△P 中，P=P-=1， 又=5，∴P2=P2+2=26，在△PQ 与△P 中， ∵∠PQ=∠，∠PQ=∠P，∴△PQ∽△P， ∴ ∴P2=Q ，∴Q=2 故答为：5；2． 【点睛】本题考查等腰三角形、直角三角形、锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，综合性较强，熟 练相似三角形的性质和判定以及锐角三角函数的意义