模型07 将军饮马模型（原卷版）

一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： （一）、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P，使P+PB 最小； （1）点、B 在直线m 两侧： （2 ）点、B 在直线同侧： 、’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m、上分别找两点P、Q，使P+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： 模型介绍 P m A B m A B m A B P m A B A' n m A B Q P n m A B P' Q' （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个 点都在内侧： （4 ）、 台球两次碰壁模型 变式一：已知点、B 位于直线m, 的内侧，在直线、m 分别上求点D、E 点， 使得围成的四边形DEB 周长最短 变式二：已知点位于直线m, 的内侧, 在直线m、 分别上 求点P、Q 点 P+PQ+Q 周长最短 二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于 第三边) 基本图形解析： 1、在一条直线m 上，求一点P，使P 与PB 的差最大； （1）点、B 在直线m 同侧： 解：延长B 交直线m 于点P，根据三角形两边之差小于第三 m B A m B A P' P n m A B Q P n m A B B' Q P n m A B B' A' n m A B m n A B E D m n A B A' B' m n A P Q m n A A" A' 边，P’—P’B＜B， 而P—PB=B 此时最大，因此点P 为所求的点。 （2）点、B 在直线m 异侧： 解：过 B 作关 于直线m 的对称点B’,连接B’交点直线m 于P,此 时PB=PB’，P-PB 最大值为B’ 考点一、两定一动模型 【例1】如图，在△B 中，B 的垂直平分线DE 交B 于点D，垂足为E，M 为DE 上任意一点， B＝3，＝4，B＝6，则△M 周长的最小值为（ ） ．7 B．6 ．9 D．10 变式训练 【变式1-1】．如图，Rt△B 中，＝B＝4，点D，E 分别是B，的中点，在D 上找一点P， 使P+PE 最小，则这个最小值是（ ） ．2 B． ． D．4 【变式1-2】．如图，在矩形BD 中，B＝5，D＝3，动点P 满足S△PB＝ S 矩形BD，则点P 例题精讲 m A B m A B B' P P' 到、B 两点距离之和P+PB 的最小值为 ． 【变式1-3】．如图，∠B 的边B 与x 轴正半轴重合，点P 是上的一动点，点（5，0）是B 上的一定点，点M 是的中点，∠B＝30°，要使PM+P 最小，则点P 的坐标为 ． 考点二、一定两动模型 【例2】如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，＝3，B＝4，B＝5，D 平分∠B 交B 于D 点，E、F 分别是D，上的动点，则E+EF 的最小值为________ 变式训练 【变式2-1】．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，∠B＝60°，B＝4，若E 是B 上的动点，F 是上 的动点，则E+EF 的最小值为 ． 【变式2-2】如图，正方形BD 的边长为4，∠D 的平分线交D 于点E，若点P、Q 分别是D 和E 上的动点，则DQ+PQ 的最小值是 ． 【变式2-3】．如图，四边形BD 中，∠BD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在B、D 上分别找一点 M、，使△M 周长最小时，则∠M+∠M 的度数为 ． 考点三、线段差最大值模型 【例3】如图，在△B 中，B＝，的垂直平分线交于点，交B 于点M，B＝12m，△BM 的周长 是20m，若点P 在直线M 上，则P﹣PB 的最大值为_______ 变式训练 【变式3-1】．如图，已知点的坐标为（0，1），点B 的坐标为（ ，﹣2），点P 在直线 y＝﹣x 上运动，当|P﹣PB|最大时点P 的坐标为_________ 【变式3-2】．如图，两点、B 在直线M 外的同侧，到M 的距离＝16，B 到M 的距离BD＝ 10，D＝8，点P 在直线M 上运动，则|P﹣PB|的最大值等于 ． 【变式3-3】．如图，在菱形BD 中，对角线＝6，BD＝8，点E 为B 边的中点，点P 为对 角线BD 上一动点，连接P，PE，求|P﹣PE|的最大值． 模型四、造桥选址模型（即动线段类型） 【例4】如图，在矩形BD 中，B＝5，B＝4，E、F 分别是D、B 的中点，点P、Q 在EF 上． 且满足PQ＝2，则四边形PQB 周长的最小值为 ． 变式训练 【变式4-1】．如图，在平面直角坐标系中，矩形BD 的顶点B 在原点，点、在坐标轴上， 点D 的坐标为（6，4），E 为D 的中点，点P、Q 为B 边上两个动点，且PQ＝2，要使 四边形PQE 的周长最小，则点P 的坐标应为 ． 【变式4-2】．如图，正方形BD 的边长为3，E、F 是对角线BD 上的两个动点，且EF＝ ，连接E、F，则△EF 周长的最小值为 ． 【变式4-3】．在直角坐标系中，矩形B 的顶点在坐标原点，顶点，B 分别在x 轴、y 轴的 正半轴上，＝3，B＝4，D 为边B 的中点，线段EF 在边上移动，保持EF＝2，当四边形 DEF 的周长最小时，求点E，F 的坐标． 1．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，＝6，B＝8，D 是∠B 的平分线．若P，Q 分别是D 和上 的动点，则P+PQ 的最小值是（ ） ． B．4 ．5 D． 2．如图，正方形BEF 的面积为4，△BE 是等边三角形，点在正方形BEF 外，在对角线BF 上有一点P，使P+PE 最小，则这个最小值的平方为（ ） ． B． ．12 D． 实战演练 3．如图，在平面直角坐标系中，Rt△B 的顶点在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3， ），点的坐标为（ ，0），点P 为斜边B 上的一个动点，则P+P 的最小值为（ ） ． B． ． D．2 4．如图，在正方形BD 中，B＝8，与BD 交于点，是的中点，点M 在B 边上，且BM＝6． P 为对角线BD 上一点，则PM﹣P 的最大值为（ ） ．2 B．3 ． D． 5．如图，在正方形BD 中，点E，F 将对角线三等分，且＝12，点P 在正方形的边上，则 满足PE+PF＝9 的点P 的个数是（ ） ．0 B．4 ．6 D．8 6．如图，在直角坐标系中，点、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点是y 轴上的一个 动点，当|B | ﹣最大时，点的坐标是 ． 7．如图，在四边形BD 中，∠BD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在B，D 上分别找一点M，，使 三角形M 周长最小时，则∠M 的度数为 ． 8．如图，在△B 中，∠B＝90°，+B＝14，tB＝075，点D，E 分别是边B，B 上的动点，则 D+DE 的最小值为 ． 9．如图，在▱BD 中，点M、分别是和B 上的动点，B＝3，B＝6，∠D＝60°，在点M、运 动的过程中，BM+M 的最小值为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，长为2 的线段D（点D 在点右侧）在x 轴上移动，（0， 2），B（0，4），连接 ，BD，则+BD 的最小值为 ． 11．如图，在等边△B 中，E 是边的中点，P 是△B 的中线D 上的动点，且B＝6，则BP﹣PE 的最大值是 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，点P（4，5），点Q（0，2），当腰长为2 的等腰直角 三角形B 在x 轴上滑动时，Q+P 的最小值为 ． 13．如图，菱形BD 的边长为4，∠＝60°，E 是边D 的中点，F 是边B 上的一个动点，EG ＝EF，且∠GEF＝60°，则GB+G 的最小值为 ． 14．如图，正方形BD 内接于⊙，线段M 在对角线BD 上运动，若⊙的面积为2π，M＝1， 则△M 周长的最小值为 ． 15．如图抛物线y＝x2+2x 3 ﹣与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，点P 是抛物线对称轴上 任意一点，若点D、E、F 分别是B、BP、P 的中点，连接DE，DF，则DE+DF 的最小 值为 ． 16．如图，正方形BD 边长为4，DE＝1，M，在B 上，且M＝2．求四边形ME 周长的最小 值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/1 9:58:15；用户：初中数学；邮箱：lsys@xym；学号：30145887 17．（1）如图1，平分∠B，点D 是射线边上一点，点P、Q 分别在射线、B 上运动，已知 D＝10，∠＝30°，则DP+PQ 的最小值是 ； （2）如图2，在菱形BD 中，B＝8，∠DB＝60°，点E 是B 边上的动点，点F 是对角线 上的动点，求EF+BF 的最小值； （3）如图3，在矩形BD 中，B＝8，D＝4，点M 是B 上一动点，点是对角线上一动点， 请直接写出M+B 的最小值． 18．（1）如图①，点P 为直线l 上一个动点，点，B 是直线l 外同侧的两个定点，连接 P，PB，B．若B＝2，则P﹣PB 的最大值为 ． （2）如图②，在四边形BD 中，B＝D，∠BD＝90°，对角线⊥BD，垂足为点，＝2，点 E 为中点，点F 在B 上，且BF＝3F，点P 为BD 上一动点，连接PE，PF，若＝6，求 PF﹣PE 的最大值． （3）如图③，在△B 中，B＝＝3，∠B＝150°，点P 为平面内一动点，连接P，PB，P． 若P＝2，求PB﹣P 的最大值 19．如图所示，抛物线y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣与x 轴相交于、B 两点，与y 轴相交于点，点M 为抛 物线的顶点． （1）求点及顶点M 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△P 的周长最小，请求出点P 的坐标； （3）若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接B、，求△B 面积的最大值及此时点 的坐标． 20．如图，已知直线 与y 轴交于点，与x 轴交于点D，抛物线 与直 线交于、E 两点，与x 轴交于B、两点，且线段＝B． （1）求该抛物线的解析式； （2）动点P 在x 轴上移动，当△PE 是直角三角形时，求点P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|M﹣M|的值最大，求点M 的坐标． （注：抛物线y＝x2+bx+的对称轴为 ）