专题27 最值模型之胡不归模型（原卷版）

专题27 最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟 考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分 析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之 间线段最短”，虽然从他此刻位置到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人 刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不 归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的 一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题 V1 V2 V1 驿道 砂石地 A B C 知识储备：在直角三角形中锐角的对边与斜边的比叫做∠的正弦，记作s，即 sin A=∠A的对边 斜边 。 【模型解读】一动点P 在直线M 外的运动速度为V1，在直线M 上运动的速度为V2，且V1<V2，、B 为 定点，点在直线M 上，确定点的位置使 的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分） V2 V1 M N C B A CH=kAC sinα= CH AC =k H D α A B C N M M N C B A α D H 1） ，记 ，即求B+k 的最小值 2）构造射线D 使得s∠D=k， ，=k,将问题转化为求B+最小值 3）过B 点作B⊥D 交M 于点，交D 于点，此时B+取到最小值，即B+k 最小． 【解题关键】在求形如“P+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P+kPB”型问 题转化为“P+P”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1 的形式解决即可）。 【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。 例1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，按 下列步骤作图：①在 和 上分别截取 、 ，使 ．②分别以点D 和点E 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P 是线段 上的一 个动点，连接 ，则 的最小值是 ． 例2．（2023·河北保定·统考一模）如图，在矩形 中，对角线 交于点， ，点M 在线段 上，且 ．点P 为线段 上的一个动点． （1） °；（2） 的最小值为 ． 例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形 中， ， ，对角线 、 相交 于点 ，点 在线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则 的最小值为 ． 例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1 的正方形 中， 是边 的中点， 是对角线 上 的动点，则 的最小值为 ___________． 例5．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图， 是等边三角形 的外接圆，其半径为4．过点B 作 于点E，点P 为线段 上一动点（点P 不与B，E 重合），则 的最小值为 ． 例6．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x 轴 交于、两点，与y 轴交于点B，若P 是x 轴上一动点，点 在y 轴上，连接 ，则 的最 小值是 ． 例7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知 中， ，则 的最大值为 ． 例8．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线 与x 轴，y 轴分别交于，B 两点，点D 是线 段B 上一动点，点是直线 上的一动点，动点 ，连接 ．当 取最小值时， 的最小值是 ． 例9．（2023 重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣ x2+x+4 与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，点D 为线段的中点，直线BD 与抛物线交于另一点E，与y 轴交于点F． （1）求直线BD 的解析式；（2）如图②，点P 是直线BE 上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF 的面积最大时，在线段BE 上找一点G，使得PG﹣ GE 的值最小，求出点G 的坐标及PG﹣ GE 的最 小值； 课后专项训练 1．（2023·重庆·九年级期中）如图所示，菱形 的边长为5，对角线 的长为 ， 为 上一动 点，则 的最小值为 ．4 B．5 ． D． 2．（2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是 ，点的坐标是 ，点 是x 轴上的动点，点B 在x 轴上移动时，始终保持 是等边三角形（点P 不在第二象限），连接 ， 求得 的最小值为（ ） ． B．4 ． D．2 3．（2023 重庆九年级期中）如图，在 中， ， ， ，若 是 边上一动点， 则 的最小值为 ． B．6 ． D．3 4．（2022·河北·九年级期中）如图，在△B 中，∠＝15°，B＝2，P 为边上的一个动点（不与、重合），连 接BP，则 P+PB 的最小值是（ ） ． B． ． D．2 5．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝30°，B＝4，点D、F 分别是边B， B 上的动点，连接D，过点作E⊥D 交B 于点E，垂足为G，连接GF，则GF+ FB 的最小值是（ ） ． B． ． D． 6．（2023 上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的动点，且 ，则 的最小值为 ． 7．（2023 上·四川成都·八年级校考期中）已知在等腰 中， ， ． ，连接 ，在 的右侧做等腰 ，其中 ， ，连接 E，则 的最小值为 (用含 的代数式表示)． 8．（2023·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形 中， ，对角线 、 相交 于点， ．点E 是 的中点，若点F 是对角线 上一点，则 的最小值是 ． 9．（2023 上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ， ，点E，F 分别在边 上，且 ，沿直线 翻折，点的对应点 恰好落在对角线 上，点B 的对应点为 ，点 M 为线段 上一动点，则 的最小值为 ． 10．（2023·新疆·九年级期中）如图，在△E 中，＝E，∠E＝30°，半径为5 的⊙经过点，E 是圆的切线，且 圆的直径B 在线段E 上，设点D 是线段上任意一点（不含端点），则D D 的最小值为 _____． 11．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x 3 ﹣分别交x 轴、y 轴于B、两点，点（0，1）在y 轴 上，点P 在x 轴上运动，则 P＋PB 的最小值为___． 12．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在矩形 中， ， ，点 是对角线 上的动 点，连接 ，则 的最小值为______． 13．（2023·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，已知菱形BD 的边长为4，点 是对角线上的一动点， 且∠B=120°，则( )的最小值是____________． 14．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形BD 中，∠DB=60°，B=6，B=2，P 为边D 上的一动 点，则 的最小值等于________． 15．（2023·成都市·九年级课时练习）点E 为正方形BD 的B 边上的一个动点，B=3，如图1，将正方形BD 对折，使点与点B 重合，点与点D 重合，折痕为M． 思考探索(1)如图2，将正方形BD 展平后沿过点的直线E 折叠，使点B 的对应点B′落在M 上，折痕为E． ①点B'在以点E 为圆心， 的长为半径的圆上；②B'M=______； 拓展延伸(2)当B=3E 时，正方形BD 沿过点E 的直线l（不过点B）折叠后，点B 的对应点B'落在正方形BD 内部或边上，连接B'．①△BB'面积的最大值为______； ②点P 为E 的中点，点Q 在B'上，连接PQ，若∠QP=∠B'E、求B'+2PQ 的最小值． 16．（2023 上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线 经过点 ，与x 轴交于点 ，点为 中点，反比例函数 刚好经过点．将直线 绕点沿顺 时针方向旋转 得直线 ，直线 与x 轴交于点D． (1)求反比例函数解析式；(2)如图2，点Q 为射线以上一动点，当 取最小值时，求 的面 积； (3)将 沿射线 方向进行平移，得到 且 刚好落在y 轴上，已知点M 为反比例函数 上一点，点为y 轴上一点，若以M，，B， 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点 的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 17．（2023·江苏·中考模拟）如图，抛物线 2 1 2 y x mx n    与直线 1 3 2 y x   交于A ，B 两点，交x 轴于 D ，C 两点，连接AC ，BC ，已知 (0,3) A ， (3,0) C ．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan BAC  的值；（Ⅱ） 在（Ⅰ）条件下：（1）P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ PA  交y 轴于点Q ，问： 是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB  相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐 标；若不存在，请说明理由．（2）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出 发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒 2 个单位的速度运动到A 后停止， 当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？ 18．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形BD 中，∠BD = 120°，B = 6，连接BD ． (1)求BD 的长；(2)点E 为线段BD 上一动点（不与点B，D 重合）， 点F 在边D 上，且BE= DF， ①当E 丄B 时，求四边形BEF 的面积；②当四边形BEF 的面积取得最小值时，E+ F 的值是否也最小？ 如果是，求E+ F 的最小值；如果不是，请说明理由． 19．（2020·四川乐山市·中考真题）已知抛物线 2 y ax bx c    与x 轴交于( 1,0) A  ， (5 0) B ，两点，C 为 抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连结BC ，且 4 tan 3 CBD   ，如图所示．（1）求抛物 线的解析式；（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ， 过点E 作EF PE  交抛物线于点F ，连结FB 、 FC ，求BCF  的面积的最大值；②连结PB ，求 3 5 PC PB  的最小值．