第12讲 反比例函数的图象、性质及应用（练习）（原卷版）

第12 讲 反比例函数的图象、性质及应用 目 录 题型01 用反比例函数描述数量关系 题型02 判断反比例函数 题型03 根据反比例函数的定义求字母的值 题型04 判断反比例函数图象 题型05 反比例函数点的坐标特征 题型06 已知反比例函数图象，判断其解析式 题型07 由反比例函数解析式判断其性质 题型08 由反比例函数图象分布象限，求k 值 题型09 判断反比例函数经过象限 题型10 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围 题型11 已知反比例函数增减性，求k 值 题型12 由反比例函数的性质比较大小 题型13 求反比例函数解析式 题型14 与反比例函数有关的规律探究问题 题型15 已知比例系数求特殊图形面积 题型16 已知图形面积求比例系数 题型17 一次函数图象与反比例函数图象综合 题型18 一次函数与反比例函数交点问题 题型19 一次函数与反比例函数综合应用 题型20 反比例函数的实际应用 题型21 反比例函数与几何综合 题型01 用反比例函数描述数量关系 1．（2022·北京昌平·统考二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单 位：千帕）随气球内气体的体积V （单位：立方米）的变化而变化，P随V 的变化情况如下表所示，那么在 这个温度下，气球内气体的气压P 与气球内气体的体积V 的函数关系最可能是 V （单位：立方米） 64 48 384 32 24 … P（单位：千帕） 15 2 25 3 4 … ．正比例函数 B．一次函数 ．二次函数 D．反比例函数 2．（2023·北京西城·统考二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①京沪铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度y(单位：km/)与此次列车的全程运行时间x(单位：)； ②已知北京市的总面积为1.68×10 4 km 2，人均占有面积y(单位：km 2/人)与全市总人口x(单位：人)； ③某油箱容量是50L的汽车，加满汽油后开了200km时，油箱中汽油大约消耗了1 4 ．油箱中的剩油量y L与 加满汽油后汽车行驶的路程x km． 其中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( ) ．①② B．①③ ．②③ D．①②③ 题型02 判断反比例函数 1．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列函数y 是x 的反比例函数的是（ ） ．y=❑ √3 x B．y= a x ．y= 1 x 2 D．y= 1 3 x 2．（2022·河南焦作·统考模拟预测）在下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ） ．y=2 x+1 B．y= x 2 ．y=−❑ √5 x D．y x =2 题型03 根据反比例函数的定义求字母的值 1．（2023·云南楚雄·统考二模）已知反比例函数y=−2 x 的图象过点P (a,b)，则代数式ab的值为（ ） ．−2 B．2 ．−1 2 D．1 2 2．（2023·山西阳泉·统考二模）若点A (2,6),B (−3,m)在同一个反比例函数的图象上，则m 的值为（ ） ．1 B．−1 ．4 D．−4 3．（2023·浙江台州·统考一模）若反比例函数y= k x (k ≠0)的图象经过点(2,k−n 2−2)，则k的取值范围为 （ ）． ．k ≤−2 B．k ≤−4 ．k ≥2 D．k ≥4 4．（2022 下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数y= ❑ √3 x 的图象经过 (a，m+3 ❑ √3)，(b，m)两点，则代数式 2ab 2a−2b+7 ab 的值是（ ） ．2 3 B．−2 3 ．2 D．−2 5．（2021·云南昭通·统考一模）若函数y=a+3 x 是关于x的反比例函数，则a满足的条件是 ． 6．（2021·云南红河·统考一模）已知关于x 的反比例函数y=2a x a 经过点(1,b)，则b=¿ ． 7．（2019·湖南益阳·统考一模）若函数y=(k−1)x ¿k∨−2是反比例函数，则k=¿ ． 题型04 判断反比例函数图象 1．（2022·河北保定·校考一模）函数y=−1 ❑ √x 的图象所在的象限是（ ） ．第一、三象限 B．第二、四象限 ．第二象限 D．第四象限 2（2023·河北廊坊·校考三模）若函数y=5 x (x>0)和函数y=−3 x (x<0)在同一平面直角坐标系的图象如图所 示，则坐标系的纵轴是（ ） ．y1 B．y2 ．y3 D．y4 3．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）下列四个函数图象中，y=x+ 1 x 的大致图象（ ） ． B． ． D． 4．（2023·山东潍坊·统考二模）定义新运算：a⊕b=¿，例如：3⊕5=3 5，3⊕(−5)=−3 −5，则 y=3⊕x (x≠0)的图象是（ ） ． B． ． D． 5．（2023·河北沧州·统考二模）如图，把函数y= 1 x ( x<0)和函数y=−2 x ( x<0)的图象画在同一平面直角 坐标系中，则坐标系的原点可能是（ ） ．点M B．点N ．点P D．点Q 6．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，反比例函数y= 1 x ，⊙的半径为2，则阴影部分的面积为 ． 题型05 反比例函数点的坐标特征 1．（2023·安徽滁州·校考一模）已知正比例函数y=ax与反比例函数y=b x 的图象交于点A (m,n)，则这个 函数图象的另一个交点为（ ） ．(b,a) B．(−a,b) ．(m,−n) D．(−m,−n) 2．（2022·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）互不重合的两点A (x1, y1)，B (x2, y2)皆落于反比例函 数y=7 x 图象上，当直线B 与第二象限角平分线垂直时，x1⋅x2的值等于（ ） ．−1 B．1 ．−7 D．7 3．（2022·陕西西安·陕西师大附中校考三模）若点P(m+1,7)与点Q(4 ,n)是正比例函数y=ax(a≠0)图象 与反比例西数y= k x (k ≠0)图象的两个不同的交点，则m+n=¿ ． 4．（2022·北京·北京市第五中学分校校考模拟预测）在平面直角坐标系xy 中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线 y¿ 2 x 的交于M（x1，y1），（x2，y2）两点，则x1•y2的值为 ． 5．（2021·贵州遵义·统考二模）已知点A (m,n)在双曲线y= k x 上，点B (−m,n)在直线y=2 x−3k上，则 2 n + 1 m的值为 ． 题型06 已知反比例函数图象，判断其解析式 1．（2023·山东济南·统考一模）反比例函数y= k x 在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ） ．9 B．18 ．25 D．36 2．（2022·河南省直辖县级单位·统考一模）若反比例函数y= 4−k x 的图象经过点(−5,−2)，则下列各点在 该函数y= k x 图象上的为（ ） ．(2,5) B．(−1,6) ．(6,2) D．(−2,−3) 3．（2021·陕西汉中·统考一模）如图，正比例函数y＝x 和反比例函数y＝k x （k≠0）的图象在第一象限交于 点，且＝2，则k 的值为 ． 题型07 由反比例函数解析式判断其性质 1．（2022·福建龙岩·校联考一模）已知反比例函数y＝6 x ，下列结论正确的是（ ） ．图象在第二、四象限 B．图象与y 轴的交点为（0，6） ．图象经过点（3，2） D．函数值y 随x 的增大而减小 2．（2021·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考一模）已知，反比例函数y= k x 的图像上有两点A (−3, y1) 和B (3, y2)，则下列叙述正确的是（ ） ．y1= y2 B．当y1=3时，y2=−3 ．k>0时，y1> y2 D．过点B作x轴的垂线，垂足为点H，连AH，若S ΔABH=6，则k=6 3．（2021 上·江西南昌·九年级统考期末）下列关于反比例函数y= k x （k<0）的说法中，正确的是（ ） ．双曲线在第一、第三象限 B．当x>0时，函数值y>0 ．当x>0时，y随x的增大而增大 D．当x<0时，y随x的增大而减小 4．在平面直角坐标系xy 中，P 为反比例函数y= 2 x （x＞0）的图象上的动点，则线段P 长度的最小值是 ． 题型08 由反比例函数图象分布象限，求k 值 1．（2023·河北保定·保定市第十七中学校考三模）如图，函数y= k x 在第一象限的图象将所标三整点分隔开， 则整数k的值可能是（ ） ．10 B．8 ．7 D．6 2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）反比例函数y=1−2m x 图象位于一、三象限，则m 的取值范围是 （ ） ．m≥1 2 B．m≤1 2 ．m< 1 2 D．m> 1 2 3．（2022 上·浙江台州·九年级统考期末）如图，为反比例函数y=k1 x ，y=k2 x ，y=k3 x 在同一坐标系的图象， 则k1，k2，k3的大小关系为（ ） ．k1>k2>k3 B．k2>k1>k3 ．k3>k1>k2 D．k3>k2>k1 题型09 判断反比例函数经过象限 1．（2022·海南省直辖县级单位·统考二模）反比例函数y=−2022 x 的图象在（ ） ．第一、二象限 B．第一、三象限 ．第二、四象限 D．第三、四象限 2．（2022·黑龙江哈尔滨·统考一模）已知点M(1，−m 2−1)在双曲线y= k x 上，则双曲线y= k x 一定分布在 （ ）象限 ．一、二 B．一、三 ．二、三 D．二、四 题型10 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围 1．（2023·陕西咸阳·校考三模）在平面直角坐标系中，点A (−1, y1),B (2, y2)在反比例函数y= k x （k 为常 数，k ≠0）的图象上，且y1> y2，则k 的取值范围是 ． 2．（2023·四川成都·校考三模）在平面直角坐标系xOy中，对于每一象限内的反比例函数y=m+3 x 图像，y 的值都随x值的增大而增大，则m的取值范围是 ． 3．（2023·陕西西安·统考二模）已知点(−2,a)和(3,b)在反比例函数y= 4−m x 的图像上，若a>b，则m的取 值范围是 ． 题型11 已知反比例函数增减性，求k 值 1．（2023·河南周口·校联考三模）若反比例函数y= k x （k 为无理数）的图象在每个象限内，y 随x 的增大而 减小，则k 的值可以为 2．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）A (2, y1),B (3, y2)为反比例函数y= k x (k ≠0)上的两个点， 若y1< y2，写出一个满足条件的k的值 ． 3．（2023·湖南永州·统考二模）在反比例函数y= k x (k ≠0)的图象的每一支上，y 都随x 的增大而减小，且整 式x 2−kx+9是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ． 题型12 由反比例函数的性质比较大小 1．（2022·广东江门·校考模拟预测）已知点(−4 , y1)，(−1, y2)，(6, y3)都在反比例函数y=m 2+1 x 的图象上， 则y1，y2，y3的大小关系是 （从小到大）． 2．（2023·广东广州·统考一模）物理学中，在压力F 不变的情况下，某物体承受的压强P 与它的受力面积S 成反比例函数关系，则下表中压强P1与P2的大小关系为：P1 P2．（填“¿”，“¿”或“¿”） S /m 2 1 2 3 P /Pa P1 300 P2 题型13 求反比例函数解析式 1．（2023 上·河南许昌·九年级许昌市第一中学校考期末）已知：y 是x 的反比例函数，当x=−4时，y=3， 当2<x<3时，y 的取值范围是 ． 2．（2023·福建宁德·校考模拟预测）在如图所示的格中（每个小正方形的边长为1），以点为原点作平面直 角坐标系，则与点P 不在同一反比例函数y= k x (k ≠0)上的点为 ． 3．（2023·陕西商洛·统考二模）已知A (−1, p)与B (2, p−3)是反比例函数y= k x 图象上的两个点，则k 的值 为 ． 4．（2023·云南玉溪·统考三模）反比例函数y= k x (k ≠0)的图象位于第二、四象限，函数图象上一点P到x轴， y轴的距离分别为3和4，则k的值为 ． 5．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，反比例函数y= k x 的图象与△ABC的两边AB、 BC分别交于点E(3,m)、F(n,2)，已知AB∥x轴，点在y 轴上，点在x 轴上，F 为BC的中点，则 m+n=¿ ． 题型14 与反比例函数有关的规律探究问题 1．（2019·辽宁·统考一模）如图，点B1(1, ❑ √3 3 )在直线l2: y= ❑ √3 3 x上，过点B1作A1B1⊥l1交直线 l: y=❑ √3 x于点A1，以A1B1为边在△O A1B1外侧作等边三角形A1B1C1，过C1的反比例函数为y= k1 x ；再 过点C1作A2B2⊥l1，分别交直线l1和l2于A2,B2两点，以A2B2为边在△O A2B2外侧作等边三角形A2B2C2， 过C2的反比例函数为y=k2 x ，…，按此规律进行下去，则第n个反比例函数的kn=¿ ．（用含n的代数式表 示） 2．（2021·山东威海·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1 的正方形OA P1B的顶点A ,B分别在 x轴，y轴上，点P1在反比例函数y= k x ( x>0)图象上，过P1 A的中点B1作矩形B1 A A1 P2，使顶点P2落在 反比例函数y= k x 图象上，再过P2 A1的中点B2作矩形B2 A1 A2 P3，使顶点P3落在反比例函数y= k x 图象上， …，依此规律，作出矩形B18 A17 A18 P19时，落在反比例函数y= k x 图象上的顶点P19的坐标为 ． 3．（2019·安徽合肥·校联考一模）如图，点B 在反比例函数y= 2 x (x>0)的图像上，过点B分别作x轴和y轴 的垂线，垂足分别为C0和A，点C0的坐标为(1,0)，取x轴上一点C1 ( 3 2 ,0)，过点C1作x轴的垂线交反比例 函数图像于点B1，过点B1作线段B1 A1⊥BC0交于点A1，得到矩形A1B1C1C0，依次在x轴上取点 C2 (2,0),C3( 5 2 ,0)⋯，按此规律作矩形，则矩形An BnCnCn−1（n 为正整数） 的面积为 4．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，直线y= 3 4 x与曲线y= 1 x , y= 2 x , y=3 x , y= 4 x , y=5 x , y=6 x ,…分别 交于点A1, A2, A3, A4, A5, A6,⋅⋅⋅，过点A1, A2, A3, A4, A5, A6,⋅⋅⋅作x 轴和y 轴的垂线，围成如图所示的 “7 字形”阴影部分，分别记作S1,S2,S3,⋅⋅⋅，则S1+S2+S3+⋅⋅⋅+S2023=¿ ． 5．（2023·山东聊城·统考一模）如图，在x 轴的正半轴上依次截取O A1=A1 A2=A2 A3=¿……，过点A1， A2，A3，……分别作x 轴的垂线与反比例函数y= 2 x (x≠0)的图像相交于点P1，P2，P3，……，得直角三角 形O P1 A1，A1 P2 A2，A2 P3 A3，……，并设其面积分别为S1，S2，S3，……，则S2023的值为 ． 题型15 已知比例系数求特殊图形面积 1．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学校联考一模）如图，A为双曲线y=6 x 上的一点，AB⊥x轴，垂足为B， AB交双曲线y= 2 x 于E，AC ⊥y轴，垂足为C，AC交双曲线y= 2 x 于D，连接DE，则△ADE的面积是 ． 2．（2022·山西大同·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，点、D 分别在x 轴，y 轴上，AB⊥x轴， 与y1= 2 x (x>0)交于点B，与y2= 4 x (x>0)交于点，四边形OBCD为平行四边形，平行四边形OBCD的面积 是 ； 3．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在Rt △AOB中，∠AOB=90°，顶点A、B分别在反比例函数 y=−2 x (x<0)与y= 4 x (x>0)的图象上，则OA OB 的值为 ． 4．（2022·湖南郴州·校考模拟预测）如图，在反比例函数y= 2 x (x>0)的图象上，有点P1, P2, P3, P4它们的 横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴y= 2 x 的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到 右依次为S1,S2,S3，则S1+S2+S3=¿ ． 5．（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数y= 4 x 的图像交于A，B 两点，点C在x轴上，且AC=OA，则△ABC的面积为 ． 6．（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）如图，A是函数y=16 x (x>0)图象上的一点，过点A作y轴 的垂线，垂足为C，过点A作x轴的垂线，垂足为B，则四边形ABOC的面积是 ． 7．（2023·江苏南京·统考二模）如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=5 x 的图像交于A ,B两点．若 AC ∥x轴，BC ∥y轴，则S△ABC=¿ ． 8．（2023·江苏徐州·校考三模）如图，点、点D 分别在反比例函数y=−12 x 、y= 4 x 的图象上，点B、在x 轴上，若四边形ABCD为正方形，点D 在第一象限，则点D 的坐标是 ． 9．（2023·陕西西安·校考三模）如图，点A是反比例函数y=−12 x ( x<0)图象上一点，连接OA．过点A作 AB⊥y轴于点B，C为AB的中点，连接OC并延长交反比例函数的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E， 则四边形BCDE的面积为 ． 10．（2023·河北·统考二模）如图，A，B是双曲线y= k x 上的两点，过点A作AC ⊥x轴，交OB于点D，垂 足为C，连接OA，过点B作BE⊥x轴，垂足为E若△ADO的面积为1，D为OB的中点 （1）四边形DCEB的面积为 ；