专题65 反比例函数背景下的面积问题（原卷版）(1)

一、反比例函数 的几何意义 1 反比例函数 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂 线与坐标轴所围成矩形的面积为 。如图二，所围成三角形的面积为 O y x B A A B x y O 二、利用k 的几何意义进行面积转化 1 如图，直线 与反比例函数 （ ）交于 、 两点，与 、 轴的交点分别为 、 ， 那么 ，此方法是绝大部分学生选用的方法。但是，从效率来讲， 就比较低 2 如图，过点 、 作 轴的垂线，垂足分别为 、 ，则根据 的几何意义可得， ， 模型介绍 而 ，所以 ，此方法的好处，在于方便，快捷， 不易出错。 y x A B O C D y x D C F E O B A 【例1】．如图，反比例函数y＝ 在第一象限的图象上有两点，B，它们的横坐标分别是 2，6，则△B 的面积是 ． 变式训练 【变1-1】．如图，点在反比例函数 （x＞0）的图象上，点B 在x 轴负半轴上，直线 B 交y 轴于点，若 ，△B 的面积为12，则k 的值为（ ） ．4 B．6 ．10 D．12 例题精讲 【变1-2】．如图，反比例函数y＝ （k＞0）的图象与矩形B 的两边相交于E，F 两点， 若E 是B 的中点，S△BEF＝4，则k 的值为 ． 【例2】．如图，平面直角坐标系中，菱形BD 在第一象限内，边B 与x 轴平行，，B 两点 的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过，B 两点，若菱形BD 的 面积为2 ，则k 的值为 ． 变式训练 【变2-1】．如图，点、B 在反比例函数y＝ 的图象上，、B 的纵坐标分别是3 和6，连 接、B，则△B 的面积是（ ） ．9 B．8 ．7 D．6 【变2-2】．如图，在直角坐标系中，为坐标原点，函数y＝ 与y＝ （＞b＞0）在第一 象限的图象分别为曲线1，2，点P 为曲线1上的任意一点，过点P 作y 轴的垂线交2于点， 作x 轴的垂线交2于点B，则阴影部分的面积S△B＝ ．（结果用，b 表示） 1．如图，在△B 中，B＝，点在反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，点B，在x 轴 上，＝ B，延长交y 轴于点D，连接BD，若△BD 的面积等于1，则k 的值为（ ） ．3 B．2 ． D．4 2．如图，交双曲线y＝ 于点，且：＝5：3，若矩形BD 的面积是8，且B∥x 轴，则k 的值 是（ ） ．18 B．50 ．12 D． 3．如图，已知点，B 分别在反比例函数y1＝﹣ 和y2＝ 的图象上，若点是线段B 的中点， 则k 的值为（ ） ．﹣8 B．8 ．﹣2 D．﹣4 4．如图，点（m，），B（4， ）在双曲线y＝ 上，且0＜m＜．若△B 的面积为 ，则 m+＝（ ） ．7 B． ． D．3 5．如图，点，B 是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的两点，过点，B 分别作⊥x 轴于点， BD⊥x 轴于点D，连接、B，已知点（2，0），BD＝3，S△BD＝3，则S△为（ ） ．2 B．3 ．4 D．6 6．如图，平行于y 轴的直线分别交y＝ 与y＝ 的图象（部分）于点、B，点是y 轴上 的动点，则△B 的面积为（ ） ．k1﹣k2 B． （k1﹣k2） ．k2﹣k1 D． （k2﹣k1） 7．已知四边形B 是矩形，边在x 轴上，边在y 轴上，双曲线y＝ 与边B 交于点D、与对 角线B 交于中点E，若△BD 的面积为10，则k 的值是（ ） ．10 B．5 ． D． 8．如图，在以为原点的直角坐标系中，矩形B 的两边、分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反 比例函数 （x＞0）与B 相交于点D，与B 相交于点E，若BD＝3D，且△DE 的面积 是12，则k＝（ ） ．6 B．9 ． D． 9．如图，一直线经过原点，且与反比例函数y＝ （k＞0）相交于点、点B，过点作⊥y 轴， 垂足为，连接B．若△B 面积为8，则k＝ ． 10．如图，若反比例函数y＝ 的图象经过等边三角形PQ 的顶点P，则△PQ 的边长为 ． 11．如图，（4，3）是反比例函数y＝ 在第一象限图象上一点，连接，过作B∥x 轴，截取 B＝（B 在右侧），连接B，交反比例函数y＝ 的图象于点P．则△P 的面积为 ． 12．如图，直线y＝x+m 与双曲线y＝ 相交于，B 两点，B∥x 轴，∥y 轴，则△B 面积的最小 值为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，△B 的边在x 轴正半轴上，其中∠B＝90°，＝B，点为斜 边B 的中点，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点，且交线段B 于点D，连接 D，D．若S△D＝6，则k 的值为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，▱B 的顶点，B 在第一象限内，顶点在y 轴上，经过点的 反比例函数y＝ （x＞0）的图象交B 于点D．若D＝2BD，▱B 的面积为15，则k 的值 为 ． 15．如图，点在双曲线y＝ 的第一象限的那一支上，B 垂直于y 轴于点B，点在x 轴正半 轴上，且＝2B，点E 在线段上，且E＝3E，点D 为B 的中点，若△DE 的面积为3，则k 的值为 ． 16．如图，已知反比例函数y1＝ 与一次函数y2＝k2x+b 的图象交于点（1，8），B（﹣ 4，m）两点． （1）求k1，k2，b 的值； （2）求△B 的面积； （3）请直接写出不等式 x+b 的解． 17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（，6），B⊥x 轴于点B，s∠B＝ ，反比例 函数y＝ 的图象的一支分别交、B 于点、D．延长交反比例函数的图象的另一支于点 E．已知点D 的纵坐标为 ． （1）求反比例函数的解析式； （2）求直线EB 的解析式； （3）求S△EB． 18．如图，直线y＝ x 与反比例函数的图象交于点（3，），第一象限内的点B 在这个反 比例函数图象上，B 与x 轴正半轴的夹角为α，且tα＝ ． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点B 的坐标； （3）求S△B． 19．已知：如图，在平面直角坐标系xy 中，直线B 与x 轴交于点（﹣2，0），与反比例函 数在第一象限内的图象的交于点B（2，），连接B，若S△B＝4． （1）求该反比例函数的解析式和直线B 的解析式； （2）若直线B 与双曲线的另一交点为D 点，求△DB 的面积． 20．如图，在平行四边形B 中， ，点在x 轴上，点D 是B 的中点， 反比例函数 的图象经过，D 两点． （1）求k 的值； （2）求四边形B 的面积． 21．如图，直线y＝6x 与双曲线y＝ （k≠0，且x＞0）交于点，点的横坐标为2． （1）求点的坐标及双曲线的解析式； （2）点B 是双曲线上的点，且点B 的纵坐标是6，连接B，B，求△B 的面积． 22．如图，已知（﹣4，），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b 的图象和反比例函数 的 图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求△B 的面积； （3）若D（x，0）是x 轴上原点左侧的一点，且满足 ，求x 的取值范围． 23．如图，一次函数y＝k1x+b 的图象与反比例函数y＝ （x＜0）的图象相交于点（﹣ 1，2）、点B（﹣4，）． （1）求此一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△B 的面积； （3）在x 轴上存在一点P，使△PB 的周长最小，求点P 的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系xy 中，已知四边形DB 是矩形，且D（0，4），B（6，0）． 若反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过线段的中点（3，2），交D 于点E，交B 于点 F．设直线EF 的解析式为y＝k2x+b． （1）求反比例函数和直线EF 的解析式； （2）求△EF 的面积； （3）请结合图象直接写出不等式k2x+b ＞0 的解集． 25．如图，已知反比例函数y＝ （m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y＝﹣x+b 的 图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）一次函数的图象分别与x 轴、y 轴交于、B 两点，与反比例函数图象的另一个交点 为P，连结P、Q．求△PQ 的面积． 26．如图，在平面直角坐标系中，边长为4 的等边△B 的边B 在x 轴的负半轴上，反比例函 数y＝ （x＜0）的图象经过B 边的中点，且与边交于点D． （1）求k 的值； （2）连接，D，求△D 的面积； （3）若直线y＝mx+与直线D 平行，且与△B 的边有交点，直接写出的取值范围．