第12讲 反比例函数的图象、性质及应用（讲义）（原卷版）

第12 讲 反比例函数的图象、性质及应用 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 反比例函数的相关概念 题型01 用反比例函数描述数量关系 题型02 判断反比例函数 题型03 根据反比例函数的定义求字母的值 考点二 反比例函数的图象与性质 题型01 判断反比例函数图象 题型02 反比例函数点的坐标特征 题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式 题型04 由反比例函数解析式判断其性质 题型05 由反比例函数图象分布象限，求k 值 题型06 判断反比例函数经过象限 题型07 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围 题型08 已知反比例函数增减性，求k 值 题型09 由反比例函数的性质比较大小 题型10 求反比例函数解析式 题型11 与反比例函数有关的规律探究问题 考点三 反比例系数k 的几何意义 题型01 一点一垂线 题型02 一点两垂线 题型03 两点一垂线 题型04 两点两垂线 题型05 两点和原点 题型06 两曲一平行 考点四 反比例函数与一次函数综合 题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合 题型02 一次函数与反比例函数交点问题 题型03 一次函数与反比例函数综合应用 考点五 反比例函数的实际应用 题型01 行程问题 题型02 工程问题 题型03 物理问题 题型04 分段问题 题型05 几何问题 考点要求 新课标要求 命题预测 反比例函数相关 概念  理解与掌握反比例函数相关概念 反比例函数是非常重要的函数，年年 都会考，总分值为15 分左右，常考考点 为: 反比例函数图象的性质k 的几何意 义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数 与一次函数的交点问题以及反比例函数的 应用与综合题等其中前三个考点多以选 择、填空题的形式出题，后三个考点则是 基础解答题以及压轴题的形式出题在填空 题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比 较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规 则几何图形的性质一起出题,多数题目的技 巧性较强，复习中需要多加注意另外压轴 题中也常以反比例函数为背景，考察一些 新定义类问题 综合反比例函数以上特点，考生在复 习该考点时，需要准备堂握其各性质规 律，并日多注意其与几何图形结合题的思 考探究 反比例函数的图 象与性质  能画反比例函数的图象，根据图象和 表达式y= k x (k ≠0)探索并理解k>0 和k<0 时图象的变化情况  能根据已知条件确定反比例函数的表 达式 反比例系数k 的 几何意义  理解与掌握反比例系数k 的几何意义 反比例函数与一 次函数综合 反比例函数的实 际应用  能用反比例函数解决简单实际问题 考点一 反比例函数的相关概念 反比例函数的概念：一般地，形如y= k x （k为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数反比例函数的解析式也可以 写成xy=k（k≠0、xy≠0）、y=k x −1（k ≠0）的形式 反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数y，等号右边是一个分式； ②k ≠0； ③分母中含有自变量x，且指数为1 题型01 用反比例函数描述数量关系 【例1】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠 杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即F1 L1=F2 L2．如图，铁架台左侧钩码的个数与位 置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F 与力臂L 满足的函数关系是（ ） ．正比例函数关系 B．一次函数关系 ．反比例函数关系 D．二次函数关系 【变式1-1】（2023·北京朝阳·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量： ①矩形的面积一定，一边长y与它的邻边x； ②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S与全村总人口n； ③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） ．①② B．①③ ．②③ D．①②③ 【变式1-2】（2022·北京海淀·北京市十一学校校考二模）右图是一种古代计时装置（称为“漏刻”）的示 意图：水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均 匀升高，那么，就可以根据标尺上的刻度来反映浮子的高度从而计时．现向贮水壶内注水，则在受水壶注 满水之前，浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是（ ） 1 反比例函数y= k x （k ≠0）的自变量x的取值为一切非零实数，函数y的取值是一切非零实数 2 反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式． 3 反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k ．一次函数 B．二次函数 ．反比例函数 D．无法确定 题型02 判断反比例函数 【例2】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）下列函数中，不是反比例函数的是（ ） ．y=−3 x B．y=−3 2 x ．y= 3 x−1 D．3 xy=2 【变式2-1】（2022·福建南平·统考一模）下面四个函数中，图象为双曲线的是（ ） ．y=5 x B．y=2 x+3 ．y= 4 x D．y=x 2+2 x+1 题型03 根据反比例函数的定义求字母的值 【例3】（2022 上·山东枣庄·九年级校考期末）已知函数y=(m+1)x m 2−5是关于x的反比例函数，则m的值 是 ． 【变式3-1】（2022·江苏南京·校联考一模）已知反比例函数y＝k x 的图象经过点（1，3）、（m，），则 m 的值为 ． 【变式3-2】（2023·浙江杭州·校考二模）已知点A(−2,m−1)在反比例函数y=−2 x 的图象上，则m=¿ ． 【变式3-3】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学统考二模）如果反比例函数y=k−1 x 的图象经 过点(−2,1)，则k 的值是（ ） ．1 B．−2 ．−1 D．3 考点二 反比例函数的图象与性质 一、反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的 两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为 原点． 性 质 表达 式 y= k x （k为常数，k ≠0） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y 同号） 二、四象限（x、y 异号） 增减 性 在每个象限内，y 随x 的增大而减小 在每个象限内，y 随x 的增大而增大 对称 性 ①图象关于原点对称，即若（，b）在双曲线的一支上，则（-，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线y=x 对称，即若（，b）在双曲线的一支上，则（b，）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线y=−x对称，即若（，b）在双曲线的一支上，则（-b，-）在双曲线的另一支上 即：反比例函数的图象关于直线y=±x 成轴对称,关于原点成中心对称 反比 例函 数解 析式 的确 定方 法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为y= k x （k 为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y 的值带入解析式，得到一个关于待定系数k 的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k 值代入所设解析式中 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的 坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式． 题型01 判断反比例函数图象 【例1】（2022·黑龙江绥化·校考三模）当长方形的面积S 是常数时，长方形的长与宽b 之间关系的函数图 象是（ ） ． B． ． D． 【变式1-1】（2023·安徽亳州·统考三模）如图，在△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，且始终保 持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ= y（ ） ． B． ． D． 【变式1-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD， CF ⊥BD，垂足分别为E、F，已知AE=2，且∠CBF=∠EAF，设EF=x，BF= y，假设x、y 能组 1 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这 个前提．当k＞0 时，在每一象限（第一、三象限）内y 随x 的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0 时， y 随x 的增大而减小．同样，当k＜0 时，也不能笼统地说y 随x 的增大而增大． 2 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k 的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和 函数的增减性，也可以推断出k 的符号。 3 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的 两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 成函数，则y 与x 的函数的图象为（ ） ． B． ． D． 【变式1-3】（2023·河南信阳·统考一模）参照学习函数y= 2 x 的过程与方法，探究函数y= 2 x−2 (x≠2)的 图象与性质． x … −2 −1 0 1 2 1 3 2 2 5 2 3 7 2 4 5 6 … y= 2 x … −1 −2 ■ 4 2 4 3 1 4 5 2 3 4 7 1 2 2 5 1 3 … y= 2 x−2 … −1 2 −2 3 −1 m −2 −4 ■ 4 2 4 3 1 2 3 1 2 … (1) m=¿ __________________． (2)请画出函数y= 2 x−2 (x≠2)的图象； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当x<2时，y 随x 的增大而___________；（填“增大”或“减小”） ②y= 2 x−2的图象是由y= 2 x 的图象向__________平移__________个单位长度而得到的； ③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） 题型02 反比例函数点的坐标特征 【例2】（2023·广西北海·统考模拟预测）下列各点在反比例函数y= 2 x 图象上的是（ ） ．(−1,2) B．(2,−1) ．(1,3) D．(−1,−2) 【变式2-1】（2023·福建宁德·统考模拟预测）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y= k x 的图象上， 则不在这个函数图象上的点是（ ）．(1,6) B．( −1 2 ,12)， ．(−2,−3) D．( 3 2 ,4) 【变式2-2】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，直线y=kx (k>0)与双曲线y= 4 x 交于，B 两点，若 A (2，m)，则点B 的坐标为（ ） ．(2,2) B．(−2,−1) ．(−2,−2) D．(−1,−4 ) 【变式2-3】（2019·吉林长春·中考模拟）如图，函数y＝2 x （x＞0）、y＝6 x （x＞0）的图象将第一象限分 成了、B、三个部分．下列各点中，在B 部分的是（ ） ．（1，1） B．（2，4） ．（3，1） D．（4，3） 【变式2-4】（2023·陕西渭南·统考一模）已知正比例函数y=ax（为常数，a≠0）与反比例函数y=−2 x 的图象的一个交点坐标为(1,m)，则另一个交点的坐标为 ． 【变式2-5】（2022·福建漳州·统考模拟预测）已知直线y=2 x与双曲线y= k x 相交于，B 两点．若点 A (2,m)，则点B 的坐标是 ． 【变式2-6】（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知直线y=kx 与双曲线y=k+6 x 的一个交点的 横坐标是2，则另一个交点坐标是 ． 题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式 【例3】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量x，y之间关系的是（ ） ．y= 1 ¿ x∨¿¿ B．¿ y∨¿ 1 x ．y= −1 ¿ x∨¿¿ D．¿ y∨¿−1 x 【变式3-1】（2023·江苏徐州·统考二模）在平面直角坐标系中，对于点P (a,b)，若ab>0，则称点P 为 “同号点”．若某函数图象上不存在“同号点”，其函数表达式可以是 ． 题型04 由反比例函数解析式判断其性质 【例4】（2023·山西晋城·统考一模）已知反比例函数y=−5 x ，则下列描述正确的是（ ） ．图象位于第一、三象限 B．y 随x 的增大而增大 ．图象不可能与坐标轴相交 D．图象必经过点( 3 2 ，−5 3) 【变式4-1】（2022·江西九江·校考二模）关于反比例函数y= k x (k ≠0)的图象与性质，下列结论中不正确 的是（ ） ．该函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．当k<0时，该函数的图象在第二、四象限 ．该函数的图象与直线y=kx+b有且只有两个交点 D．当k>0时，函数值y随x的增大而减小 题型05 由反比例函数图象分布象限，求k 值 【例5】（2023·贵州贵阳·校考一模）反比例函数y= k x （k ≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（ ） ．5 B．12 ．−5 D．−12 【变式5-1】（2023·河北沧州·统考三模）在平面直角坐标系中，反比例函数y= k x (k ≠0)的图象如图所示， 则k 的值可能是（ ） ．−2 B．1 ．3 D．5 题型06 判断反比例函数经过象限 【例6】（2023·湖南郴州·模拟预测）已知反比例函数y= k x （k≠0），当x1<x2<0时，y1< y2，则它的图 象一定在（ ） ．一，三象限 B．二，四象限 ．一，二象限 D．三，四象限 【变式6-1】（2023·湖南永州·统考二模）当k>2时，反比例函数y=k−2 x 的图象位于（ ） ．一、二象限 B．一、三象限 ．二、四象限 D．三、四象限 【变式6-2】（2023·上海奉贤·统考二模）下列函数图象中，可能是反比例函数y=6 x 的图象的是（ ） ． B． ． D． 题型07 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围 【例7】（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）反比例函数y=a+3 x 的图象在每个象限内，y随x的增大而 增大，则a的取值范围是（ ） ．a≥−3 B．a>−3 ．a≤−3 D．a←3 【变式7-1】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）在反比例函数y=3m+1 x 图象上有两点A (x1, y1)， B (x2, y2)，y1<0< y2，x1>x2，则有（ ） ．m≤−1 3 B．m>−1 3 ．m≥−1 3 D．m←1 3 【变式7-2】（2023·湖北武汉·统考三模）若点(m−1, y1)和(m+1, y2)在y= k x (k>0)的图象上，若y1> y2， 则m的取值范围是（ ） ．m>1或m←1 B．−1<m<1 ．−1<m<0或0<m<1 D．m≠±1 【变式7-3】（2022 上·陕西渭南·九年级统考期末）若反比例函数y=3k−2 x 在每个象限内，y随x的增大 而减小，则k的值可能是（ ） ．−1 B．0 ．1 2 D．1 题型08 已知反比例函数增减性，求k 值 【例8】（2023·安徽芜湖·统考二模）已知函数y1= k x , y2=−k x (k>0)，当1≤x ≤3时，函数y1的最大值为， 函数y2的最小值为a−4，则k＝ ． 【变式8-1】（2023·陕西咸阳·二模）已知反比例函数y= k x (k ≠0)的图象在每个象限内y随x的增大而增大， 且当1≤x ≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k的值为 ． 【变式8-2】已知反比例函数y= k x (k ≠0)，当1≤x ≤3时，y的最大值与最小值之差是4，则k=¿ ． 题型09 由反比例函数的性质比较大小 【例9】（2023·广东东莞·校联考一模）若点A (−2, y1)、B (−1, y2)、C (1, y3)都在反比例函数y= k 2+1 x （k 为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ） ．y1< y2< y3 B．y2< y3< y1 ．y2< y1< y3 D．y3< y1< y2 【变式9-1】（2023·广东湛江·统考三模）若点A (x1，y1)、B (x2，y2)、C (x3，y3)是反比例函数 y=−11 x 图象上的点，且x1<x2<0<x3，则y1、y2、y3的大小关系是（ ） ．y1< y2< y3 B．y3< y2< y1 ．y2< y3< y1 D．y3< y1< y2 【变式9-2】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知A (x1, y1),B (x2, y2) 在反比例函数y=6 x 的图象上， x1<0<x2，且|x1|>|x2|，则下列结论一定正确的是（ ） ．y1+ y2>0 B．y1⋅y2>0 ．y1+ y2<0 D．y1−y2>0 【变式9-3】（2022·河北邯郸·校考三模）已知反比例函数y= k x 的图象在第一、第三象限内，设函数图象 上有两点A (x1, y1)、B (x2, y2)，若x1<x2，则y1与y2的大小关系是（ ） ．y1> y2 B．y1< y2 ．y1= y2 D．不能确定 【变式9-4】（2023·湖北武汉·统考二模）已知A (x1, y1)，B (x2, y2)，C (x3, y3)，为双曲线y=−6 x 上的三 个点，且x1<x2<x3，则以下判断正确的是( ) ．若x1 x2>0，则y2 y3>0 B．若x1 x2<0，则y1 y3<0 ．若x1 x3<0，则y2 y3>0 D．若x1 x3>0，则y2 y3<0 题型10 求反比例函数解析式 【例10】（2023·陕西商洛·统考二模）已知A (−1, p)与B (2, p−3)是反比例函数y= k x 图象上的两个点， 则k 的值为 ． 【变式10-1】（2022·福建泉州·统考模拟预测）若反比例函数y= k x 的图象过点(−2,a)、(2,b)，且 a−b=−6，则k=¿ ． 【变式10-2】（2023·广东广州·校考一模）反比例函数y= k x 的图象上有一点P (a，b)，且、b 是方程 t 2−t−2=0的两根，则k=¿ ． 【变式10-3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）反比例函数y= k x (k ≠0)的图象经过(a,2)， (a+1,1)、(b,6)三点，则b的值为 ． 【变式10-4】（2022·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，直线y=−x+3与y轴交于点A，与反比 例函