专题3.1 一元一次方程及等式的性质【十大题型】（解析版）

专题31 一元一次方程及等式的性质【十大题型】 【人版】 【题型1 方程及一元一次方程的定义】................................................................................................................. 1 【题型2 利用一元一次方程的定义求值】............................................................................................................. 3 【题型3 方程的解】................................................................................................................................................. 5 【题型4 列方程】..................................................................................................................................................... 6 【题型5 利用等式的性质变形】.............................................................................................................................8 【题型6 等式的性质的应用】.................................................................................................................................9 【题型7 利用等式的性质解方程】.......................................................................................................................11 【题型8 方程的解中的遮挡问题】.......................................................................................................................13 【题型9 利用等式的性质检验方程的解】........................................................................................................... 15 【题型10 方程的解的规律问题】..........................................................................................................................16 【知识点1 方程及一元一次方程的定义】 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知 数． （2）一元一次方程的定义： 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是x+b=0（，b 为常数，且≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是 整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 我们将x+b=0（其中x 是未知数，、b 是已知数，并且≠0）叫一元一次方程的标准形式． 这里是未知数的系数，b 是常数，x 的次数必须是1． 【题型1 方程及一元一次方程的定义】 【例1】（2022•顺德区模拟）下列等式中不是一元一次方程的是（ ） ．2x 5 ﹣＝21 B．40+5x＝100 ．（1+14730%）x＝8930 D．x（x+25）＝5850 【分析】利用一元一次方程方程的定义判断即可． 【详解】解：x（x+25）＝5850 是一元二次方程， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关 键． 1 【变式1-1】（2022 秋•博白县期末）下列式子中是方程的是（ ） ．5x+4 B．3x 5 ﹣＜7 ．x 2 ﹣＝6 D．3×2 1 ﹣＝5 【分析】根据方程的定义，含有未知数的等式是方程，判断即可． 【详解】解：5x+4，不是方程，故不符合题意； B3x 5 ﹣＜7 是一元一次不等式，故B 不符合题意， ．x 2 ﹣＝6，是方程，故符合题意； D3×2 1 ﹣＝5，不是方程，故D 不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 【变式1-2】（2022 秋•盐城校级期中）下列方程（1）x 3 =¿2；（2）5x 2 ﹣＝2x﹣（3﹣ 2x）；（3）xy＝5；（4）3 x+1=−¿2；（5）x2﹣x＝1；（6）x＝0 中一元一次方程有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次 方程．它的一般形式是x+b＝0（，b 是常数且≠0）． 【详解】解：（1）x 3 =¿2、（6）x＝0 符合一元一次方程的定义，属于一元一次方程； （2）由5x 2 ﹣＝2x﹣（3 2 ﹣x）得到：x+1＝0，符合一元一次方程的定义，属于一元一 次方程； （3）xy＝5 中含有2 个未知数，属于二元二次方程； （4）3 x+1=−¿2 不是整式方程； （5）x2﹣x＝1 的未知数的最高次数是2，属于一元二次方程． 综上所述，属于一元一次方程的个数是3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指 数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【变式1-3】（2022•江东区质检）在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出 了6 个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈（1）中，属于一次方程的序号填入 圆圈（2）中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分． 1 3 ①x+5＝9：②x2+4x+4＝0；③2x+3y＝5：④x2+y＝0；⑤x﹣y+z＝8：⑥xy＝﹣1． 【分析】根据一次方程与一元一次方程的定义即可解答． 【详解】解：（1）一元方程，①3x+5＝9②x2+4x+4＝0； （2）一次方程①3x+5＝9⑤x﹣y+z＝8 2 ③x+3y＝5； （3）既属于一元方程又属于一次方程的是①3x+5＝9． 【点睛】此题很简单，关键是熟知一次方程与一元一次方程的定义即可解答． 【题型2 利用一元一次方程的定义求值】 【例2】（2022•市中区模拟）若方程（m2 1 ﹣）x2﹣mx﹣x+2＝0 是关于x 的一元一次方程， 则代数式|m 1| ﹣的值为（ ） ．0 B．2 ．0 或2 D．﹣2 【分析】根据一元一次方程的定义知m2 1 ﹣＝0，且﹣m 1≠0 ﹣ ，据此可以求得代数式|m 1| ﹣的值． 【详解】解：由已知方程，得 （m2 1 ﹣）x2﹣（m+1）x+2＝0． ∵方程（m2 1 ﹣）x2﹣mx﹣x+2＝0 是关于x 的一元一次方程， ∴m2 1 ﹣＝0，且﹣m 1≠0 ﹣ ， 解得，m＝1， 则|m 1| ﹣＝0． 故选：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1． 【变式2-1】（2022 秋•婺源县期末）已知方程x2k-1+k＝0 是关于x 的一元一次方程，则方程 的解等于（ ） ．﹣1 B．1 ．1 2 D．−1 2 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次 方程，它的一般形式是x+b＝0（，b 是常数且≠0）．根据定义可列出关于k 的方程，求 解即可． 【详解】解：由一元一次方程的特点得，2k 1 ﹣＝1， 解得：k＝1， ∴一元一次方程是：x+1＝0 解得：x＝﹣1． 1 故选：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数 是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【变式2-2】（2022•江阴市校级期末）如果（﹣2）x||-1 2 ﹣＝0 是一元一次方程，那么是 ﹣ 2 ． 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1（次）的方程叫做一元一次 方程．它的一般形式是x+b＝0（，b 是常数且≠0）．据此可得出关于的式子，进而求出 的值． 【详解】解：由题意，得{ ¿a∨−1=1 a−2≠0 ， 解得：m＝﹣2． 故答为﹣2． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的次数 是1，一次项系数不等于0，这是这类题目考查的重点． 【变式2-3】（2022 秋•鄂州月考）（3+2b）x2+x+b＝0 是关于x 的一元一次方程，且x 有唯 一解，则x＝ 15 ． 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次 方程，它的一般形式是x+b＝0（，b 是常数且≠0）．高于一次的项系数是0，据此可得 出3+2b＝0 且≠0，再用b 表示，代入原方程，即可得出x 的值． 【详解】解：方程（3+2b）x2+x+b＝0 是关于x 的一元一次方程，且有唯一解， 则3+2b＝0 且≠0， 因为¿−2 3 b，b≠0， 把¿−2 3 b代入x+b＝0，得 −2 3 bx+b＝0， 所以，−2 3 x+1＝0， 解得x＝15． 故答为：15． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数 是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【知识点2 方程的解】 方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 1 【题型3 方程的解】 【例3】（2022•温州期末）若关于x 的方程mx＝4﹣x 的解是整数，则非负整数m 的值为 0 或 1 或 3 ． 【分析】先用m 的代数式表示x 的值，再根据方程的解是整数，求非负整数m 的值即可． 【详解】解：由方程mx＝4﹣x，得：x¿ 4 m+1， ∵方程的解是整数， ∴非负整数m 的值为0 或1 或3． 故答为：0 或1 或3． 【点睛】本题主要考查了方程解的定义，关键会用m 的代数式表示方程的解． 【变式3-1】（2022•番禺区期末）已知关于x 的方程4x+5＝﹣3﹣的解为x=1 2，则3+5 的 值为 ﹣ 3 ． 【分析】根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数的一元一次方程， 从而可求出的值，然后将其代入求值式即可得到答． 【详解】解：方法1：把x¿ 1 2代入方程，得：4× 1 2+5＝﹣3﹣， 解得：¿−8 3． 3+5 ∴ ＝3×（−8 3 ）+5＝﹣3． 方法2：把x¿ 1 2代入方程，得：4× 1 2+5＝﹣3﹣，即2+5＝﹣3﹣，3+5＝﹣3． 故答为：﹣3． 【点睛】已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的 方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”． 【变式3-2】（2022 秋•锦江区校级期末）对于正整数，阶乘符号!表示从到1 的整数的乘积 （例如：6!＝6×5×4×3×2×1），则满足方程5!•9!＝！•12 的的值为 10 ． 【分析】根据阶乘符号!表示从到1 的整数的乘积，进行计算即可． 【详解】解：∵5!•9!＝！•12， 5×4×3×2×1•9! ∴ ＝！•12， 12×10•9! ∴ ＝！•12， 10! ∴ ＝!， ∴＝10， 故答为：10． 1 【点睛】本题考查了方程的解，有理数的混合运算，熟练掌握阶乘符号!表示从到1 的整 数的乘积，进行计算是解题的关键． 【变式3-3】（2022 春•黔江区期末）已知关于x 的方程2x 3 ﹣¿ m 3 +¿x 的解满足|x|＝1，则 m 的值是（ ） ．﹣6 B．﹣12 ．﹣6 或﹣12 D．6 或12 【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即利用方程的解代替未 知数，所得到的式子左右两边相等．就得到一个关于m 的方程，解方程就可求出m． 【详解】解：∵|x|＝1∴x＝±1 当x＝1 时，代入方程得：2 3 ﹣¿ m 3 +¿1， 解得：m＝﹣6； 当x＝﹣1 时，代入方程得：﹣2 3 ﹣¿ m 3 −¿1， 解得：m＝﹣12 ∴m＝﹣6 或﹣12 故选：． 【点睛】本题主要考查了方程解的定义，已知|x|＝1 即已知方程的解是±1，方程的解实 际就是得到了两个关于m 的方程． 【题型4 列方程】 【例4】（2022 秋•泗水县期末）一根细铁丝用去2 3后还剩2m，若设铁丝的原长为xm，可 列方程为 x −2 3 x ＝ 2 ． 【分析】设铁丝的原长为xm，用去全长的2 3后还剩2m，根据题意可得出数量关系式： 铁丝的全长﹣铁丝全长× 2 3=¿剩下铁丝的长度，据此可列出方程． 【详解】解：设铁丝的原长为xm， 由题意，得：x−2 3 x＝2． 故答为：x−2 3 x＝2． 【点睛】本题考查学生利用数量关系式列方程，培养学生的分析能力． 【变式4-1】（2022 秋•南岗区期末）列等式表示“x 的三分之一减y 的差等于6”是 1 1 3 x−y=6 ． 【分析】本题需先根据已知条件“x 的三分之一减y 的差等于6”，列出等式，即可求出 答． 【详解】解：根据已知条件：“x 的三分之一减y 的差等于6”， 得：1 3 x−y=6， 故答为：1 3 x−y=6． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，在解题时要根据已知条件列出等式是本题的关键． 【变式4-2】（2022 秋•雨花区校级期末）某校长方形的操场周长为210m，长与宽之差为 15m，设宽为xm，列方程为 2 （ x + x +15 ）＝ 210 ． 【分析】先表示出长，再根据长方形的周长公式列出方程即可． 【详解】解：设宽为xm，则长为（x+15）m， 根据题意得，2（x+x+15）＝210． 故答为：2（x+x+15）＝210． 【点睛】本题考查了一元一次方程，主要利用了长方形的周长公式． 【变式4-3】（2022 秋•越秀区校级月考）一件衣服打八折后，售价为88 元，设原价为x 元， 可列方程为 08 x ＝ 88 ． 【分析】根据打八折后售价等于88 元列式即可． 【详解】解：设原价为x 元， 根据题意得，08x＝88． 故答为：08x＝88． 【点睛】本题考查了方程的定义，理解打折的意义是解题的关键． 【知识点3 等式的性质】 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【题型5 利用等式的性质变形】 【例5】（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ） ．若a c =b c ，则＝b B．若＝b，则＝b ．若2＝b2，则＝b D．若−1 3 x＝6，则x＝﹣2 【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答． 1 【详解】解：、若a c =b c ，则＝b，故符合题意； B、若＝b（≠0），则＝b，故B 不符合题意； 、若2＝b2，则＝±b，故不符合题意； D、−1 3 x＝6，则x＝﹣18，故D 不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【变式5-1】（2022•杭州）设x，y，是有理数，正确的是（ ） ．若x＝y，则x+＝y﹣ B．若x＝y，则x＝y ．若x＝y，则x c = y c D．若x 2c = y 3c ，则2x＝3y 【分析】根据等式的性质，可得答． 【详解】解：、两边加不同的数，故不符合题意； B、两边都乘以，故B 符合题意； 、＝0 时，两边都除以无意义，故不符合题意； D、两边乘6，得到，3x＝2y，故D 不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键． 【变式5-2】（2022•安徽）设，b，为互不相等的实数，且b¿ 4 5 +1 5 ，则下列结论正确的是 （ ） ．＞b＞ B．＞b＞ ．﹣b＝4（b﹣） D．﹣＝5（﹣b） 【分析】根据等式的基本性质，对已知等式进行变形即可． 【详解】解：∵b¿ 4 5 +1 5 ， 5 ∴b＝4+， 在等式的两边同时减去5，得到5（b﹣）＝﹣， 在等式的两边同时乘﹣1，则5（﹣b）＝﹣． 故选：D． 【点睛】本题主要考查等式的基本性质，结合已知条件及选项，对等式进行合适的变形 是解题关键． 【变式5-3】（2022•镇海区校级二模）下列等式变形：（1）如果x＝y，那么x＝y；（2） 如果+b＝0，那么2＝b2；（3）如果||＝|b|，那么＝b；（4）如果4＝7b，那么a 7 = b 4 ，其 1 中正确的有（ ） ．（1）（4） B．（1）（2）（4） ．（1）（3） D．（2）（4） 【分析】根据等式的性质以及绝对值的性质即可判断． 【详解】解：（1）∵x＝y， 当≠0 时，x＝y， 故（1）选项不符合题意； （2）∵+b＝0， ∴＝﹣b， ∴2＝（﹣b）2， 即2＝b2， 故（2）选项符合题意； （3）∵||＝|b|， ∴＝±b， 故（3）选项不符合题意； （4）∵4＝7b， 两边同时除以28，可得a 7 = b 4 ， 故（4）选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的基本性质以及绝对值的性质，熟练掌握这些性质是解题的关 键． 【题型6 等式的性质的应用】 【例6】（2022•石家庄模拟）能运用等式的性质说明如图事实的是（ ） ．如果+＝b+，那么＝b（，b，均不为0） B．如果＝b，那么+＝b+（，b，均不为0） ．如果﹣＝b﹣，那么＝b（，b，均不为0） D．如果＝b，那么＝b（，b，均不为0） 【分析】根据等式的性质解答即可． 【详解】解：观察图形，是等式+＝b+的两边都减去（，b，均不为0），利用等式性质 1，得到＝b， 1 即如果+＝b+，那么＝b（，b，均不为0）． 故选：． 【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加