专题27.4 相似三角形的性质【十大题型】（解析版）

专题274 相似三角形的性质【十大题型】 【人版】 【题型1 利用相似三角形的性质求角度】........................................................................................................................2 【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】................................................................................................................4 【题型3 利用相似三角形的性质求面积】........................................................................................................................6 【题型4 利用相似三角形的性质求周长】........................................................................................................................8 【题型5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】..............................................................................................10 【题型6 利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】..................................................................................14 【题型7 尺规作图作相似三角形】..................................................................................................................................19 【题型8 在格中画与已知三角形相似的三角形】..........................................................................................................23 【题型9 新定义中的相似三角形】..................................................................................................................................29 【题型10 相似与函数综合探究】.....................................................................................................................................37 【知识点1 相似三角形的性质】 ①相似三角形的对应角相等． 如图， ，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图， ，则有 （ 为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线 成比例，都等于相似比． 如图， ∽ ， 和 是 中 边上的中线、高线和角平分线， 、 和 是 中 边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图， ∽ ，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图， ∽ ，则有 1 【题型1 利用相似三角形的性质求角度】 【例1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）已知△B~△DEF，若∠=50°，∠E=70°，则 ∠F 的度数为（ ） ．30° B．60° ．70° D．80° 【答】B 【分析】根据相似三角形的对应角相等求出∠＝∠D＝50°，然后根据三角形内角和定理求解 即可． 【详解】解：∵△B~△DEF， ∴∠＝∠D＝50°， ∴∠F＝180°－∠D－∠E＝180°－50°－70°＝60°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应角相等，对应边成比例． 【变式1-1】（2022·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△B∽△D，∠B ＝31°，∠D＝117°，则∠BD 的度数是（ ） ．32° B．48° ．64° D．86° 【答】 【分析】根据相似三角形的性质得到∠D=∠B=31°，∠B=∠D=117°，∠B=∠D，根据三角形 内角和定理计算即可． 【详解】解：∵△B∽△D，∠B=31°，∠D=117°， ∴∠D=∠B=31°，∠B=∠D=117°，∠B=∠D， ∴∠BD=∠B+∠D=2(180°-31°-117°)=64°， 故选：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 【变式1-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在正方形格上有两个相似三角形△ABC 和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（ ） 1 ．135° B．90° ．60° D．45° 【答】D 【分析】根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和等于180°，即可得出． 【详解】解：∵△B∽△EDF， ∴∠B＝∠DEF， 又∵∠DEF＝90°+45°＝135°， ∴∠B＝135°， ∴∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC=180°−135°=45°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形中的对应关系． 【变式1-3】（2022·云南楚雄·九年级期末）如图，点A、B、C、D四点共线，ΔPBC是等 边三角形，当ΔPAB∼ΔDPC时，∠APD的度数为（ ） ．120° B．100° ．110° D．125° 【答】 【分析】根据ΔPAB∼ΔDPC得出∠A=∠DPC，根据ΔPBC是等边三角形得出 ∠PBC=∠BPC=60°，根据外角的性质得出∠A+∠APB=∠PBC=60°，可推出 ∠APB+∠DPC=60°，从而即可得到答 【详解】∵ ΔPAB∼ΔDPC ∴ ∠A=∠DPC ∵ ΔPBC是等边三角形 ∴ ∠PBC=∠BPC=60° ∴ ∠A+∠APB=∠PBC=60° ∴ ∠APB+∠DPC=60° ∴∠APD=∠APB+∠PBC+∠DPC=120° 1 故选 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌 握性质定理是解题的关键 【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】 【例2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，E是 AD的中点，在CD上取一点F，使△CBF∽△ABE，则DF的长是（ ） ．8.2 B．6.4 ．5 D．1.8 【答】 【分析】E是AD的中点可求得AE，根据三角形相似的性质可得CF AE = BC BA ，可得CF的长 即可求解． 【详解】解：∵E是AD的中点，AD=6， ∴AE=1 2 AD=3， 又∵△CBF∽△ABE， ∴CF AE = BC BA ，即CF 3 = 6 10， 解得CF=1.8， ∴DF=DC−CF=10−1.8=8.2， 故选：． 【点睛】本题考查了三角形相似的性质，掌握三角形相似的性质对应边的比相等是解题的 关键． 【变式2-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△B∽△DEF，相似比为1 2 ∶，若B＝1， 则EF 的长是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】B 1 【分析】根据已知条件得到BC EF ＝1 2，即可得到EF＝2B＝2，问题得解． 【详解】解：∵△B∽△DEF，相似比为1 2 ∶， ∴BC EF ＝1 2， ∴EF＝2B＝2． 故选：B 【点睛】本题考查了相似的性质，熟知相似三角形的性质是解题关键． 【变式2-2】（2022·全国·九年级专题练习）已知△ABC ∽△≝¿，△ B 的三边长分别为❑ √2， ❑ √14，3，△ DEF 的其中的两边长分别为1 和❑ √7，则第三边长为______． 【答】3 ❑ √3 2 【分析】先求得相似比，再列式计算求得 【详解】设△ DEF 的第三边长为x， ∵△ABC ∽△≝¿且△ B 的三边长分别为❑ √2，❑ √14，3， △DEF 的其中的两边长分别为1 和❑ √7， ∴1 ❑ √2= ❑ √7 ❑ √14 = x 3 ， ∴x＝3 ❑ √3 2 ， ∴△DEF 的第三边长为3 ❑ √3 2 故答为：3 ❑ √3 2 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求出相似比是解题关键． 【变式2-3】（2022·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图所示，图中x=¿___． 【答】2❑ √2 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，由相似三角形的判定定理可判断出 Δ ABC ∽Δ≝¿，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵Δ ABC中，∠A=45°，∠B=30°， 1 ∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−45°−30°=105°， ∵∠E=∠B=30°，∠C=∠F， ∴Δ ABC ∽Δ≝¿， ∴ BC EF = AC DF ， 即2 4 = ❑ √2 x ， ∴x=2❑ √2． 故答为：2❑ √2． 【点睛】本题涉及到三角形内角和定理、相似三角形的判定及性质，比较简单． 【题型3 利用相似三角形的性质求面积】 【例3】（2022·陕西渭南·九年级阶段练习）若△ABC ∽△≝¿，△ABC与△≝¿的面积比 为25:36，则△ABC与△≝¿的对应边的比是（ ） ．5:6 B．6:5 ．25:36 D．36:25 【答】 【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出△B 与△DEF 的相似比即可． 【详解】解：∵△ABC ∽△≝¿且△ABC与△≝¿的面积比为25:36 ∴它们的相似比为5：6． 故选：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方 是解答本题的关键． 【变式3-1】（2022·河南新乡·九年级期末）△ABC与△A ' B 'C '的位似比是1:2，已知 △ABC的面积是3，则△A ' B 'C '的面积是（ ） ．3 B．6 ．9 D．12 【答】D 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两个三角形的相似比，根据题意 计算即可． 【详解】解：∵△B∽△′B′′，相似比为1：2， ∴△B 与△′B′′的面积比为1：4， ∵△B 的面积是3， ∴′ △B′′的面积是12， 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是 解题的关键． 1 【变式3-2】（2022·河北石家庄·九年级期末）把一个三角形的各边长扩大为原来的3 倍， 则它的面积扩大为原来的__________倍． 【答】9 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出即可． 【详解】解：∵把一个三角形的各边长扩大为原来的3 倍， ∴面积扩大为原来的9 倍， 故答为：9． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，能正确运用相似三角形的性质进行计算是 解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于 相似比． 【变式3-3】（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝ 3，B＝5，点D 是线段B 上一动点，连结D，以D 为边作△DE，使△DE∽△B，则△DE 的最 小面积等于______． 【答】96 25 【分析】根据勾股定理得到＝4，当D⊥B 时，△DE 的面积最小，根据三角形的面积 公式 得到D＝AB⋅AC BC =3×4 5 =12 5 ，根据相似三角形的性质得到E＝16 5 ，由此三角形的面积 公式即可得到结论． 【详解】解：∵在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝3，B＝5， ∴＝4， ∵△DE∽△B， ∴AD AB = AE AC ，即AD 3 = AE 4 ∴AE= 4 3 AD， ∴S△ADE= 1 2 AD⋅AE= 2 3 A D 2， ∴当D⊥B 时，△DE 的面积最小， ∴此时有S△ABC=1 2 AB⋅AC=1 2 BC ⋅AD 1 ∴D＝AB⋅AC BC =3×4 5 =12 5 ， ∴△DE 的最小面积¿ 2 3 ×( 12 5 ) 2 =96 25 ； 故答为96 25． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，正 确的理解题意是解题的关键． 【题型4 利用相似三角形的性质求周长】 【例4】（2022·湖南株洲·九年级期末）有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个 与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长是（ ） ．42 5 B．84 5 ．21 D．28 【答】D 【分析】根据题意求出三角形的周长，根据相似三角形的周长比等于相似比列式计算即可． 【详解】解：设另一个直角三角形的周长为x， ∵三角形的边长分别为3，4，5， ∴周长为：3＋4＋5＝12， ∵两个三角形相似， ∴12 x =3 7， 解得：x＝28，故D 正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解 题的关键． 【变式4-1】（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）如图是一个边长为1 的正方形组成 的络，△B 与△1B11都是格点三角形（顶点在格交点处），并且△B∽△1B11，则△B 与△1B11的周 长之比是（ ） ．1：2 B．1：4 ．2：3 D．4：9 1 【答】 【分析】根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵△B∽△1B11，AB=2, A1B1=3， ∴△B 与△1B11的周长之比AB A1B1 =2 3． 故选． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【变式4-2】（2022·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）已知△ABC ∽△≝¿，其中 AB=12，BC=6，CA=9，DE=3，那么△≝¿的周长是______． 【答】27 4 【分析】根据两个三角形相似，相似三角形的周长比等于相似比，即可解出△≝¿的周长． 【详解】∵△ABC ∽△≝¿ ∴相似三角形的周长比等于相似比 ∴ C △ABC C △≝¿= AB DE =12 3 ¿ ∴ 12+6+9 C △≝¿=12 3 ¿ ∴C △≝¿=27 4 ¿ 故答为：27 4 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：相似三角形的周长比等于相 似比． 【变式4-3】（2022·辽宁鞍山·二模）已知△ABC ∽△A ' B 'C '，且AB=2 A ' B '．若 △ABC的周长是18cm，那么△A ' B 'C '的周长是________m． 【答】9 【分析】利用相似三角形的周长的比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵△ABC ∽△A ' B 'C '， ∴△ABC的周长：△A ' B 'C '的周长＝AB: A ' B '＝2：1， ∵△ABC的周长是18m， ∴△A ' B 'C '的周长是9m． 故答为：9． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，用到的知识点为：相似三角形周长的比等于相 1 似比． 【题型5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】 【例5】（2022·北京市第一五六中学九年级期中）如图，已知AE平分∠BAC，AB AD = AE AC ． (1)求证：∠E=∠； (2)若B=9，D=5，D=3，求BE 的长． 【答】(1)见解析 (2)BE=27 5 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAC，结合已知条件得出 △BAE∽△DAC，根据相似三角形的性质即可得证； （2）根据△BAE∽△DAC列出比例式，代入数据计算即可求解． （1） 证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠DAC， 又AB AD = AE AC ， ∴△BAE∽△DAC， ∴∠E=∠C； （2） ∵△BAE∽△DAC， ∴AB AD = BE DC ， ∵AB=9，AD=5，DC=3， ∴9 5= BE 3 , 解得BE=27 5 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关 1 键． 【变式5-1】（2022·上海·测试·编辑研五八年级期末）如图，在△ABC中，点D、点E分别 在AC、AB上，点P是BD上的一点，联结EP并延长交AC于点F，且 ∠A=∠EPB=∠ECB． (1)求证：BE⋅BA=BP⋅BD； (2)若∠ACB=90°，求证：CP⊥BD． 【答】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明△PBE和△ABD相似，即可证明． （2）先证明△ABC∽△CBE，再证明△PBC∽△CBD，得到∠BPC=∠BCD=90°， 即可证明． （1） 证明：∵∠A=∠EPB，∠PBE=∠ABD， ∴△PBE∽△ABD， ∴BE BD = BP BA ∴BE⋅BA=BP⋅BD． （2） 证明：∵∠A=∠ECB，∠ABC=∠CBE， ∴△ABC∽△CBE， ∴BC BE = BA BC ， ∴BE⋅BA=BC 2， 又∵BE⋅BA=BP⋅BD， ∴BC 2=BP⋅BD， ∴BC BD = BP BC ， ∵∠PBC=∠CBD， 1 ∴△PBC∽△CBD， ∵∠ACB=90°， ∴∠BPC=∠BCD=90°， ∴CP⊥BD． 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的对应边成比 例列出相应的比例式，再经过适当的变形使所得的比例式符合“两边成比例且夹角相等” 的形式． 【变式5-2】（2022·山东·东平县江河国际实验学校二模）如图，点D，E 分别在△B 的边 B，上，连接D，DE． （1）若∠= BD ∠ ，B=5，求BD·B 的值； （2）若点E 是的中点，D=❑ √2E， 求证：∠1=∠． 【答】（1）25；（2）见解析 【分析】（1）由∠= BD ∠ 、∠BD= B ∠可得出△BD B ∽△，根据相似三角形的性质可得出 AB BC = BD AB ，进而即可得到结论； （2）由点E 是的中点、D= ❑ √2 AE，可得出 AD AC = AE AD ，结合∠DE= D ∠ 可证出△DE D ∽△， 再根据相似三角形的