专题9.1 不等式及不等式的基本性质【十大题型】（解析版）

专题91 不等式及不等式的基本性质【十大题型】 【人版】 【题型1 不等式的概念及意义】.............................................................................................................................1 【题型2 取值是否满足不等式】.............................................................................................................................3 【题型3 根据实际问题列出不等式】.....................................................................................................................4 【题型4 在数轴上表示不等式】.............................................................................................................................6 【题型5 利用不等式的性质判断正误】................................................................................................................. 8 【题型6 利用不等式性质比较大小】...................................................................................................................10 【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】.......................................................................................................14 【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】...................................................................................................17 【题型10 不等关系的简单应用】..........................................................................................................................19 【知识点1 认识不等式】 定义：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的式子，叫做不 等式。用符号这些用来连接的符号统称不等式 【题型1 不等式的概念及意义】 【例1】（2022 春•郏县期中）在数学表达式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3； ④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3 中，不等式有（ ） ．1 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【分析】主要依据不等式的定义──用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等 号表示不相等关系的式子是不等式来解答． 【详解】解：因为除③x＝3；④x2+xy+y2；之外，式子①﹣3＜0；②4x+3y＞0； ⑤x≠5；⑥x+2＞y+3 中都含不等号，都是不等式，共4 个． 故选：． 【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式． 解答此类题关键是要识别常见不等号：＞,＜,≤,≥,≠． 【变式1-1】（2022 春•苍溪县期末）下列式子是不等式的是（ ） ．x+4y＝3 B．x ．x+y D．x 3 ﹣＞0 【分析】根据不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：、x+4y＝3 是等式，不是不等式，故此选项不符合题意； B、x，没有不等号，不是不等式，故此选项不符合题意； 、x+y，没有不等号，不是不等式，故此选项不符合题意； D、x 3 ﹣＞0 是不等式，故此选项符合题意． 1 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的定义，注意：用不等号表示不等关系的式子，叫不等式， 不等号有：＞，＜，≤，≥，≠等． 【变式1-2】（2022 春•平泉市期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量 ≥3%”．则这种牛奶蛋白质的质量是（ ） ．3%以上 B．615g ．615g 及以上 D．不足615g 【分析】根据蛋白质含量大于或等于3%判断即可． 【详解】解：∵205×3%＝615（g），蛋白质含量≥3%， ∴这种牛奶蛋白质的质量是615g 及以上， 故选：． 【点睛】本题考查了不等式的定义，掌握≥表示大于或等于是解题的关键． 【变式1-3】（2022 春•曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45 座和30 座两种型号的 客车，若租用45 座客车x 辆，租用30 座客车y 辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实 际意义是 租用 x 辆 45 座的客车和 y 辆 30 座的客车总的载客量不少于 500 人 ． 【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号 表示不相等关系的式子是不等式来判断． 【详解】解：不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是租用x 辆45 座的客车和y 辆30 座的客车总的载客量不少于500 人． 故答为：租用x 辆45 座的客车和y 辆30 座的客车总的载客量不少于500 人． 【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式． 解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠． 【题型2 取值是否满足不等式】 【例2】（2022 春•卧龙区期中）下列数值﹣2、﹣15、﹣1、0、1、15、2 中能使1 2 ﹣x＞0 成立的个数有 4 个． 【分析】解得不等式后根据x 的取值范围确定个数即可． 【详解】解：解1 2 ﹣x＞0， 解得：x＜1 2， 满足x＜1 2的有﹣2、﹣15、﹣1、0 共4 个， 故答为：4． 【点睛】本题考查了不等式的解集的知识，解答时也可以将x 的值代入看能否满足不等 式，满足可以，否则不可以． 1 【变式2-1】（2022 春•泸县期末）x＝3 是下列哪个不等式的解（ ） ．x+2＜4 B．1 3x＞3 ．2x 1 ﹣＜3 D．3x+2＞10 【分析】根据解不等式的方法，可得不等式的解集，根据不等式的解集，可得答． 【详解】解：、x＜2，故不是不等式的解； B、x＞9，故B 不是不等式的解； 、x＜2，故不是不等式的解； D、x＞8 3，故D 是不等式的解． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的解集，先解不等式，再选出答． 【变式2-2】（2022 春•雁塔区校级期中）下列x 的值中，是不等式x＞2 的解的是（ ） ．﹣2 B．0 ．2 D．3 【分析】根据不等式解集的定义即可得出结论． 【详解】解：∵不等式x＞2 的解集是所有大于2 的数， 3 ∴是不等式的解． 故选：D． 【点睛】本题考查的是不等式的解集，熟知使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解 是解答此题的关键． 【变式2-3】（2022 春•夏津县期中）请写出满足下列条件的一个不等式． （1）0 是这个不等式的一个解： x ＜ 1 ； （2）﹣2，﹣1，0，1 都是不等式的解： x ＜ 2 ； （3）0 不是这个不等式的解： x ＜ 0 ． 【分析】根据不等式的解集，即可解答． 【详解】解：（1）x＜1，（答不唯一） （2）x＜2，（答不唯一） （3）x＜0，（答不唯一） 故答为：（1）x＜1，（2）x＜2，（3）x＜0． 【点睛】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集． 【题型3 根据实际问题列出不等式】 【例3】（2022 春•川汇区期末）小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超 重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300 公斤 时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40 公斤，50 公斤，若小丽进入电梯前，电 梯内已乘载的重量为x 公斤，则所有满足题意的x 可用下列不等式表示的是（ ） 1 ．210＜x≤260 B．210＜x≤300 ．210＜x≤250 D．250＜x≤260 【分析】由题意可得，小丽的重量为40 公斤，且进入电梯后，警示音没有响起，小华 的重量为50 公斤．且进入电梯后，警示音响起，分别列出不等式即可求解． 【详解】解：由题意可知： 当电梯乘载的重量超过300 公斤时警示音响起，小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量 为x 公斤， 由图可知： 小丽的重量为40 公斤，且进入电梯后，警示音没有响起， 所以此时电梯乘载的重量x+40≤300，解得x≤260， 因为小华的重量为50 公斤．且进入电梯后，警示音响起， 所以此时电梯乘载的重量x+40+50＞300，解得x＞210， 因此210＜x≤260． 故选：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据题意找到不等关 系． 【变式3-1】（2022•南京模拟）据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是 25℃，最高气温是32℃，则今天气温t（℃）的取值范围是（ ） ．t＜32 B．t＞25 ．t＝25 D．25≤t≤32 【分析】根据今天的最低气温是25℃可得：t≥25，根据最高气温是32℃可得：t≤32， 再找出t 的公共解集即可． 【详解】解：根据今天的最低气温是25℃可得：t≥25， 根据最高气温是32℃可得：t≤32， 则气温范围是：25≤t≤32， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题列不等式，关键是抓住关键词“不足”，“不少 于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于 自己解决此类题目． 【变式3-2】（2022 春•玉田县期末）用不等式表示“是负数”应表示为 ＜ 0 ． 【分析】根据题意可得，负数小于0，由此列出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得＜0． 故答为：＜0． 【点睛】本题考查列不等式，所考查的知识点是：负数小于0． 【变式3-3】（2022 秋•婺城区校级期末）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次 1 服用药品的剂量设为x，则x 的取值范围是 75≤ x ≤40 ． 【分析】若每天服用3 次，则所需剂量为10 40 ﹣ mg 之间，若每天服用4 次，则所需剂 量为75 30 ﹣ mg 之间，所以，一次服用这种药的剂量为75 40 ﹣ mg 之间． 【详解】解：若每天服用3 次，则所需剂量为10 40 ﹣ mg 之间， 若每天服用4 次，则所需剂量为75 30 ﹣ mg 之间， 所以，一次服用这种药的剂量为75 40 ﹣ mg 之间， 所以75≤x≤40． 故答为：75≤x≤40． 【点睛】本题考查了不等式的意义、有理数的除法运算．解题的关键是理解题意的能力， 首先明白每天要服用的药量，然后根据分几次服用，可求出最小药量和最大药量． 【题型4 在数轴上表示不等式】 【例4】（2022•嘉善县模拟）数轴上所表示的关于x 的不等式组的解集为 ﹣ 1≤ x ＜ 2 ． 【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就 是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，＞向右＜向左．两个不 等式的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：由图示可看出，从﹣1 出发向右画出的折线且表示﹣1 的点是实心圆，表 示x≥ 1 ﹣； 从2 出发向左画出的折线且表示2 的点是空心圆，表示x＜2，不等式组的解集是指它们 的公共部分． 所以这个不等式组的解集是：﹣1≤x＜2． 故答为：﹣1≤x＜2． 【点睛】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解 集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜， ≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条 数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集 时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 【变式4-1】（2022 春•永丰县期中）不等式x≥的解集在数轴上表示如图所示，则＝ 2 ． 1 【分析】根据数轴上表示的解集确定出的值即可． 【详解】解：根据数轴上的解集得：＝2， 故答为：2 【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出 来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一 段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几 个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空 心圆点表示． 【变式4-2】（2022 秋•衢州期中）在数轴上表示下列不等式 （1）x＜﹣1 （2）﹣2＜x≤3． 【分析】（1）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示． （2）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示． 【详解】解：（1）将x＜﹣1 表示在数轴上如下： （2）将不等式组﹣2＜x≤3 表示在数轴上如下： 【点睛】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的 方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左 画折线，“≤”实心圆点向左画折线． 【变式4-3】（2022•防城港模拟）在数轴上表示﹣2≤x＜1 正确的是（ ） ． B． ． 1 D． 【分析】根据﹣2 是实心点，方向向右，1 是空心点，方向向左画出图形即可得到答． 【详解】解：﹣2 是实心点，方向向右，1 是空心点，方向向左，如图所示： 故选：D． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，掌握 “两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点 是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向， 定方向的原则是：“小于向左，大于向右”是解题的关键． 【知识点2 不等式的基本性质】 性质1：若＜b，b＜，则＜这个性质叫做不等式的传递性 性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。 若＞b，则±＞b± 性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 若＞b，＞0，则＞b，a c ＞b c ; 若＞b，＜0，则＜b，a c ＜b c 【题型5 利用不等式的性质判断正误】 【例5】（2022 春•雁塔区校级期中）如果有理数＜b，那么下列各式中，不一定成立的是 （ ） ．3﹣＞3﹣b B．2＜b ．2＜2b D．−a 3 ＞−b 3 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵＜b， ∴﹣＞﹣b， 3 ∴﹣＞3﹣b， ∴选项不符合题意； ∵＜b， ∴2＜b（＞0），2＞b（＜0），或2＝b（＝0）， ∴选项B 符合题意； 1 ∵＜b， 2 ∴＜2b， ∴选项不符合题意； ∵＜b， ∴−a 3 ＞−b 3 ， ∴选项D 不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个 正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号 的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式 子，不等号的方向不变． 【变式5-1】（2022•禅城区校级三模）下列结论中，正确的是（ ） ．若＞b，≠0，则＞b B．若b＜0，则＞0，b＜0 ．若＞0，b＜0，则b＜0 D．若a b ＞1，则＞b 【分析】根据不等式的基本性质判断，D 选项；根据有理数的乘法法则判断B，选项． 【详解】解：选项，当＜0 时不成立，故该选项不符合题意； B 选项，也可能是＜0，b＞0，故该选项不符合题意； 选项，若＞0，b＜0，则b＜0，故该选项符合题意； D 选项，当b＜0 时不成立，故该选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变是解题的关键． 【变式5-2】（2022 春•大埔县期末）下列结论正确的有 ①④ （填序号）． ①如果＞b，＜d，那么﹣＞b﹣d；②如果＞b，那么a b ＞1；③如果＞b，那么1 a ＜1 b ； ④如果a c 2 ＜b c 2，那么＜b． 【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方 向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或 除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答． 【详解】解：①∵＜d， ∴﹣＞﹣d， ∵＞b， 1 ∴﹣＞b﹣d， 故①正确． ②当b＜0 时，a b ＜1， 故②错． ③若＝2，b＝﹣1，满足＞b，但1 a ＞1 b ， 故③错． ∵a c 2 ＜b c 2， ∴2＞0， ∴＜b， 故④正确． 故答为：①④． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质．注意：在不等式两边同乘以（或除以）同 一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果 是负数，不等号的方向必须改变． 【变式5-3】（2022 春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打 “×”）． （1）若 b 3 ﹣＜0，则b＜3； √ （2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4； × （3）若＞b，则 2＞b2； × （4）若2＞b2，则＞b； √ （5）若＞b，则 （2+1）＞b（2+1）． √ （6）若＞b＞0，则1 a ＜1 b． √ ． 【分析】利用不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：（1）若由b 3 ﹣＜0，移项即可得到b＜3，故正确； （2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5 不等号方向改变，故错误； （3）若＞b，当＝0 时则 2＞b2错误，故错误； （4）由2＞b2得2＞0，故正确； （5）若＞b，根据2+1，则 （2+1）＞b（2+1）正确． （6）若＞b＞0，如＝2，b＝1，则1 a ＜1 b 正确．