专题3.2 一元一次方程的解法【十大题型】（解析版）

专题32 一元一次方程的解法【十大题型】 【人版】 【题型1 一元一次方程的整数解问题】................................................................................................................. 1 【题型2 换元法解一元一次方程】.........................................................................................................................4 【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】..................................................................................6 【题型4 错解一元一次方程问题】.........................................................................................................................8 【题型5 解一元一次方程】...................................................................................................................................10 【题型6 探究一元一次方程解的情况】............................................................................................................... 14 【题型7 同解问题】............................................................................................................................................... 16 【题型8 一元一次方程的解与参数无关】........................................................................................................... 18 【题型9 一元一次方程的解法在新定义中的运用】............................................................................................20 【题型10 含绝对值的一元一次方程】..................................................................................................................24 【知识点1 一元一次方程的解法】 解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是 解一元一次方程的 一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=形式转化． 【知识点2 一元一次方程的解】 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【题型1 一元一次方程的整数解问题】 【例1】（2022·北京·首都师范大学附属中学七年级期中）若关于x的方程 (k−2019) x−2017=6−2019 (x+1)的解是整数，则整数k的取值个数是（ ） ．5 B．3 ．6 D．2 【答】 【分析】先求出此方程的解，再利用方程的解是整数，k 也是整数，即可判断k 的取值． 【详解】解：(k−2019) x−2017=6−2019 (x+1)， (k−2019)x−2017=6−2019 x−2019， (k−2019)x+2019 x=6−2019+2017， kx=4， 解得：x= 4 k ， 1 ∵方程的解是整数，k 也是整数， ∴k 可以为-4 或-2 或-1 或1 或2 或4，共有6 个数，故正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查的是方程的解，根据方程的解为整数和k 为整数，求出当k 为整数， 4 k 也是整数时，k 的值，是解决此题的关键． 【变式1-1】（2022·全国·课时练习）当整数k 为何值时，方程9 x−3=kx+15有正整数解． 求出这些解． 【答】k=8时，方程的正整数解为x=18；k=7时，方程的正整数解为x=9；k=6时，方 程的正整数解为x=6；k=3时，方程的正整数解为x=3；k=0时方程的正整数解为x=2； k=−9时，方程的正整数解为x=1． 【分析】先求出方程9 x−3=kx+15的解，再根据正整数的特性进行分析即可得． 【详解】9 x−3=kx+15， (9−k ) x=18， 因为方程9 x−3=kx+15有正整数解， 所以9−k ≠0，即k ≠9， 所以x= 18 9−k ， 要使方程9 x−3=kx+15有正整数解，则18 9−k 为正整数即可， 因此，k 的所有可能取值为8,7,6,3,0,−9， 当k=8时，方程的正整数解为x= 18 9−8=18； 当k=7时，方程的正整数解为x= 18 9−7 =9； 当k=6时，方程的正整数解为x= 18 9−6=6； 当k=3时，方程的正整数解为x= 18 9−3=3； 当k=0时方程的正整数解为x= 18 9−0=2； 当k=−9时，方程的正整数解为x= 18 9−(−9)=1． 【点睛】本题考查了求一元一次方程的特殊解，正确求出方程的解为x= 18 9−k 是解题关键． 【变式1-2】（2022·内蒙古通辽·七年级期末）若关于x 的方程mx=3−x的解为整数，则正 1 整数m 的值为______． 【答】2 【分析】先方程得x= 3 m+1，再由方程的解为整数，则有m+1=±3 或m+1=±1，求得m=2 或 m=-4 或m=0 或m=-2，根据题意，m 是正整数，即可求m 的值为2． 【详解】解：mx=3-x， 移项，合并同类项，得（m+1）x=3， 解得x= 3 m+1， ∵方程的解为整数， ∴m+1=±3 或m+1=±1， ∴m=2 或m=-4 或m=0 或m=-2， ∵m+1≠0， ∴m≠-1， ∵m 是正整数， ∴m=2， 故答为：2． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，根据m 值的限定条 件对m 的值进行取舍是解题的关键． 【变式1-3】（2022·北京石景山·七年级期末）设 为整数，且关于 的一元一次方程 （1）当 时，求方程的解； （2）若该方程有整数解，求 的值 【答】（1） ；（2） 或 ， 或 ． 【分析】(1)将m=2 代入方程(m-5)x+m-3=0，求出x 即可； (2)首先将方程变形为x= ，由方程有整数解，可知m-5≠0，m-5= 1 或m-5= 2， 从而求出m 的值 【详解】解：(1)当 时，原方程为 ． 解得， ． (2)当 时，方程有解． ． 1 ∵方程有整数解，且 是整数． ∴ ， ． 解得， 或 ， 或 ． 故答为(1)x=- ；(2)m=3 或4 或6 或7 【点睛】本题考查了方程的特殊解，难度较大． 【题型2 换元法解一元一次方程】 【例2】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知关于x的一元一次方程 x 2019 +5=2019 x+m的解为x=2018，那么关于y的一元一次方程 5−y 2019−5=2019(5−y)−m的解为（ ） ．2013 B．−2013 ．2023 D．−2023 【答】 【分析】首先由方程 x 2019 +5=2019 x+m可得， x 2019−2019 x=m−5，由方程 5−y 2019−5=2019(5−y)−m可得，y−5 2019−2019( y−5)=m−5，设=y-5，可得 n 2019−2019n=m−5，再由方程 x 2019−2019 x=m−5的解为x=2018，可得方程 n 2019−2019n=m−5的解为=2018，据此即可解得． 【详解】解：由方程 x 2019 +5=2019 x+m，得 x 2019−2019 x=m−5， 由方程5−y 2019−5=2019(5−y)−m可得，5−y 2019−2019(5−y)=−m+5， 得y−5 2019−2019( y−5)=m−5， 设=y-5，则可得 n 2019−2019n=m−5， ∵方程 x 2019−2019 x=m−5的解为x=2018， ∴方程 n 2019−2019n=m−5的解为=2018， ∴y−5=2018， 解得y=2023， 故选：． 1 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和利用换元法解一元一次方程，正确掌握和利 用换元法的转化思想是解题的关键． 【变式2-1】（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学七年级阶段练习）如果关于x 的方程 1 2022x＋2021＝2x＋m 的解是x＝2023，则关于y 的方程 1 2022（y＋1）＋2021＝2 （y＋1）＋m 的解是y＝___． 【答】2022 【分析】根据题意得到y+1＝2023，即可求出y 的值． 【详解】解：∵关于x 的方程 1 2022x+2021＝2x+m 的解是x＝2023， ∴关于y 的方程 1 2022（y+1）+2021＝2（y+1）+m 中的y+1＝2023， 解得：y＝2022， 故答为：2022． 【点睛】此题考查了一元一次方程解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握 一元一次方程解的含义． 【变式2-2】（2022·江西景德镇·七年级期末）若x=−4是关于x的方程ax−b=1 (a≠0)的 解，则关于x的方程a (2 x−3)−b−1=0 (a≠0)的解为______． 【答】−1 2 【分析】将x=−4代入方程 ax−b=1 (a≠0)可得−4 a−b=1，进而代入 a (2 x−3)−b−1=0即可得到a (2 x−3)−b=−4 a−b，根据等式的性质即可求得答． 【详解】解：将x=−4代入方程ax−b=−4 a−b=1， a (2 x−3)−b−1=0，整理得a (2 x−3)−b=1， 则a (2 x−3)−b=−4 a−b， ∴2 x−3=−4，解得x=−1 2 ， 故答为−1 2 ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解及等式的性质，熟练掌握等式两边相同未知数前面 系数相等是解题的关键． 【变式2-3】（2022·山西临汾·七年级阶段练习）如果关于x 的一元一次方程ax+b=0的解 是x=−2，则关于y 的一元一次方程a ( y−1)+b=0的解是______． 【答】－1 【分析】根据题中两个方程的关系，可知y-1=-2，即可求出y 的值． 1 【详解】解：∵关于x 的一元一次方程x+b=0 的解是x=-2， -2+ ∴ b=0， ∴b=2， 把b=2 代入关于y 的一元一次方程（y-1）+b=0 得， （y-1）+2=0， ≠0 ∵ ， ∴（y-1）+2=0， 解得，y=-1． 故答为：-1． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，熟记使一元一次方程左右两边相等的未知 数的值叫做一元一次方程的解是解题的关键． 【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 【例3】（2022·全国·七年级单元测试）关于x 的方程4 x−2m=3 x−1的解是x=2 x−3m 的解的2 倍，则m 的值为（ ） ．1 2 B．1 4 ．−1 4 D．−1 2 【答】 【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到m 的 值． 【详解】解：方程4x-2m=3x-1， 解得：x=2m-1， 方程x=2x-3m， 解得：x=3m， 根据题意得：2m-1=6m， 解得：m=-1 4 ． 故选：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的 值． 【变式3-1】（2022·山东菏泽·七年级期末）若方程1 2 ( x+1)=1的解与关于x 的方程 1−k 2 =x+1的解互为倒数，则k 的值是_________． 【答】-3 【分析】求出第一个方程的解，利用倒数定义求出第二个方程的解，代入第二个方程计算 1 即可求出k 的值． 【详解】解：1 2 ( x+1)=1， 解得：x=1， 1 的倒数为1， 把x=1 代入1−k 2 =x+1， 得：1−k 2 =1+1， 解得：k=−3， 故答为：-3． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的 值． 【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的方程3 x+6=0与关于y的方程 5 y+2m=18的解互为相反数，则m=¿____． 【答】4 【分析】先解出x 的值，再根据相反数的定义得到y 的值，最后代入方程求出m 的值． 【详解】解：解方程3 x+6=0，解得x=−2， ∵这两个方程的解互为相反数， ∴y=2是方程5 y+2m=18的解， 将y=2代入原方程，得到10+2m=18，解得m=4． 故答是：4． 【点睛】本题考查一元一次方程的解和相反数的定义，掌握方程的解和解一元一次方程是 解答本题的关键． 【变式3-3】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知方程2−3( x+1)=0的解 与关于x的方程k+x 2 −2=2 x的解互为倒数，求k的值． 【答】k=−5 【分析】先求出第一个方程的解是x=−1 3 ，把x=-3 代入第二个方程得出 k−3 2 −2=2×(−3)，求出k 的值即可． 【详解】解方程2−3( x+1)=0得：x=−1 3 ， ∵方程2−3( x+1)=0的解与关于x的方程k+x 2 −2=2 x的解互为倒数， 1 ∴关于x的方程k+x 2 −2=2 x的解是x=−3， 把x=−3代入方程k+x 2 −2=2 x得：k−3 2 −2=2×(−3)， 解得 k=−5 ． 【点睛】本题考查了倒数的定义，解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，能得出 关于k 的一元一次方程是解此题的关键． 【题型4 错解一元一次方程问题】 【例4】（2022·全国·七年级专题练习）在解关于x 的方程x+2 3 = x+a 5 −2时，小颖在去分 母的过程中，右边的“−2”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为x=4，则方程正确的 解是（ ） ．x=−10 B．x=16 ．x=20 3 D．x=4 【答】 【分析】先根据小颖解方程的过程求出的值，然后正确求出原方程的解即可． 【详解】解：由题意得5 (x+2)=3 (x+a)−2的解为x=4， ∴5× (4+2)=3 (4+a)−2， 解得a=20 3 ， ∴x+2 3 = x+ 20 3 5 −2， 去分母得：5 (x+2)=3(x+ 20 3 )−30， 去括号得：5 x+10=3 x+20−30， 移项得：5 x−3 x=20−30−10， 合并得：2 x=−20， 解得：x=−10， 故选． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 【变式4-1】（2022·河南·上蔡县第一初级中学七年级阶段练习）将方程x+1 2 −2 x−3 6 =1 去分母，得到3x+3-2x-3=6，错在（ ） ．最简公分母找错 B．去分母时，漏掉乘不含分母的项 ．去分母时，分子部分没有加括号 D．去分母时，各项所乘的数不同 1 【答】 【分析】去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，分子如果是多项式，需要将这 个多项式作为整体加括号． 【详解】解：方程x+1 2 −2 x−3 6 =1去分母得：3 (x+1)−(2 x−3)=6， 去括号得：3 x+3−2 x+3=6， 故选：． 【点睛】本题考查解带分母的方程，先找出分母的最小公倍数，然后去分母求解需要特别 注意：分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括号 【变式4-2】（2022·江苏·兴化市周庄初级中学七年级期中）小王在解关于x 的方程2﹣ ＝3 2x ﹣ 时，误将﹣2x 看作+2x，得方程的解x＝1． （1）求的值； （2）求此方程正确的解． 【答】（1） （2） 【分析】（1）1）把x=1 代入错误方程中计算即可求出的值； （2）把的值代入原方程，求出解即可． 【详解】（1）把x＝1 代入2﹣ ＝3+2x 得：2+ ＝3+2， 解得：＝ ； （2）把＝ 代入原方程得：2﹣ ＝ ﹣2x， 去分母得：6﹣（2x 4 ﹣）＝2 6 ﹣x， 去括号得：6 2 ﹣x+4＝2 6 ﹣x， 移项得：﹣2x+6x＝﹣10+2， 合并同类项得：4x＝﹣8， 解得：x＝﹣2． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数 系数化为1，求出解． 【变式4-3】（2022·四川·威远县凤翔中学七年级期中）小李在解方程3a−x=13（x 为未 知数）时，误将−x看作+x，解得方程的解x=−2，则＝________，原方程的解为_______ _． 1 【答】 5 x=2 【分析】根据−x看作+x，解得方程的解x=−2，得3a+(−2)=13，解出a的值，再计算 方程． 【详解】∵−x看作+x，解得方程的解x=−2 ∴3a+(−2)=13 解得a=5 ∴原方程为：3×5−x=13 解得x=2． 故答为：5；x=2． 【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是理解方程的解的定义，以及解一元一次方 程． 【题型5 解一元一次方程】 【例5】（2022·全国·七年级课时练习）方程 的解是x=( ) ． B．- ． D．- 【答】D 【详解】方程两边同乘以24 可得-8[ ]-2=-1，去括号，可得-8（ ）-2=-1，即-4-4x+ -2=-1，4x=-5+ ，解得x=- 故选D 【变式5-1】（2022·山东威海·期末）解方程： (1)4−2( x+4)=2( x−1)； (2)1 3 ( x+7)=2 5−1 2 ( x−5)； (3)0.3 x−0.4 0.2 +2=0.5 x−0.2 0.3 ． 【答】(1)x=−0.5 (2)x=17 25 (3)x=4 【分析】（1）按照去括号，移项，合并，系数化为1 的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并，系数化为1 的步骤解方程即可； 1