专题36 最值模型之逆等线模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题36 最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各 类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试 题分析，方便掌握。 .................................................................................................................................................1 模型1 最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）..............................................................................1 模型2 最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）......................................................................................6 模型3 最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）......................................................................................9 模型4 最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）....................................................................11 模型5 最值模型-加权逆等线模型................................................................................................................14 ...............................................................................................................................................19 模型1 最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 逆等线：△B 中，D、E 分别是B、上的动点，且D=E，即逆向相等，则称D 和E 为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 条件：如图，在△B 中，∠B＝ ，B=m，=，点D、E 分别是B、上的动点，且D=E，求D+BE 的最小值。 证明思路：① D 在△D 中，以E 为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点作F//B，且F=。（构造一边一角，得全等）；③构造出△D △ ≌EF ( SS)；证出EF=D； ④D+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF 即为所求，此时，B、E、F 三点共线； ⑤求BF。构造直角三角形求出BG 和FG，再利用勾股定理求出BF 即可。 例1．（23-24 九年级上·广东广州·期中）在等边三角形 中，边 上的点 从顶点 出发，向顶点 运动，同时，边 上的点 从顶点 出发，向顶点 运动， 两点运动速度的大小相等，设 ， ，y 与x 的函数图象如图，图象过点 ，则图象最低点的纵坐标是（ ） ． B． ． D． 例2．（23-24 九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰△B 中，B==5，B=6，点 D、E 分别是 B、 上两动 点，且 D=E，连接D、BE，D+BE 最小值为 ． 例3．（23-24 九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在 中， ， ， ， ， 分别是边 ， 上的动点，且 ，则 的最小值为 ． 例4．（24-25 八年级上·四川成都·期中）如图，在 中， ， ， ，点E 与点D 分别在射线 与射线 上，且 ，则 的最小值为 ， 的最小值为 ． 模型2 最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 条件：已知三角形B 中，B=，B=b，D 为高，E=BF，求F+BE 的最小值。 证明思路：①E 在△BE 中，以BF 为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B 作BG//E，且BG=B=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BE △ ≌GFB ( SS)；证出EB=FG； ④F+BE=F+FG，根据两点之间，线段最短，连接G，则G 即为所求，此时，、F、G 三点共线； ⑤求G。在直角三角形求利用勾股定理求出G 即可。 例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，D 为等边△B 的高，E、F 分别为线段D、上的动点，且E＝F，当BF ＋E 取得最小值时，∠FB＝ ．1125° B．105° ．90° D．825° 例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形 中， ， ， 于D，M， 分别是线段 ， 上的动点， ，当 最小时， ． 例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰 中， ， 平分 ，点为 上一点，点 M 为 上一点，且 ，若当 的最小值为4 时， 的长度是 ． 模型3 最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 条件：已知在 中，∠B=90°，B=，点E、D 是线段B 上的动点，且满足D=BE， 求D+E 的最小值。 证明思路：①BE 在△BE 中，以D 为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点作F//B，且F=B=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BE △ ≌DF ( SS)；证出E=FD； ④D+E=D+FD，根据两点之间，线段最短，连接F，则F 即为所求，此时，F、D、三点共线； ⑤求F。在直角三角形求利用勾股定理求出F 即可，或利用全等证明F=B 也可。 例1．（23-24 八年级上·北京朝阳·期末）如图， 中， ， ，D，E 为 边上 的两个动点，且 ，连接 ， ，若 ，则 的最小值为 ． 例2．（23-24 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形 中，对角线 上有两动点E 和F，连 接 和 ，若 ， ， ，则 的最小值是 ． 模型4 最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。 条件：已知在矩形BD 中，D=，B=b，点E、F 是边B、BD 上的动点，且满足BE=DF， 求F+E 的最小值。 证明思路：①BE 在△BE 中，以DF 为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点作∠FDG=∠BE=90°，且DG=B=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BE △ ≌GDF ( SS)；证出E=FG； ④F+E=F+FG，根据两点之间，线段最短，连接G，则G 即为所求，此时，、F、G 三点共线； ⑤求G。先利用相似求出D 和G（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条线 段的长度），再利用勾股定理求出G 即可。 例1．（2023·山东德州·校考一模）如图，在菱形 中， ， ， ， 分别是边 和对角线 上的动点，且 ，则 的最小值为______． 例2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，矩形 中， ， ，点 、 分别是边 和对角 线 上的例2．动点，且 ，则 的最小值是 ． 例3．（2024·福建南平·一模）如图，在菱形 中， ， ，点E，F 分别在 ， 上，且 ，连接 ， ，则 的最小值为 ． 模型5 最值模型-加权逆等线模型 条件：已知在 中，∠B= ，B=，=b，点E、D 是线段B、B 上的动点，且满足BE=k D， 求E+k D 的最小值。 证明思路：①D 在△D 中，以BE 为一边构造另一个三角形与之相似，这个也叫做一边一角造相似； ②即过点B 作∠EBF=∠D=90°，且BF=k =kb。（构造一边一角，得相似）； ③构造出△EBF △ ≌D ( SS)；证出EF=k D； ④E+k D=E+EF，根据两点之间，线段最短，连接F，则F 即为所求，此时，、F、E 三点共线； ⑤求F。先确定∠GBF=∠B= ，再利用三角函数求出BG 和FG，最后利用勾股定理求出F 即可。 例1．（24-25 九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在等边 中， ，E，F 分别是边 、 上的动点，且满足 ，则 的最小值为 ； 例2．（24-25 九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ， 、 分别为 、 上的动点，且 ，则 的最小值为 ． 例3．（2024·四川成都·校考一模）如图，平行四边形BD， ， ， ，点E、F 为对 角线BD 上的动点， ，连接E、F，则 的最小值为 ． 例4．（2024·吉林·模拟预测）如图，在菱形 中， ， ，点E，F 分别是 ， 上的点，若 ，则 的最小值是 ． 1．（23-24 九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形 中，对角线 上有两动点 和 ，连接 和 ，若 ， ，则 的最小值是（ ） ．4 B．10 ．6 D．20 2．（2024·河南商丘·八年级期中）如图，等边△B 中，D 为B 边上的高，点M、分别在D、上，且M＝， 连BM、B，当BM+B 最小时，∠MB 的度数为（ ） ．15° B．225° ．30° D．475° 3．（23-24 八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形 的边长为4，点 ， 分别是 ， 边上的 动点，且 ．（1）若 ，则 ；（2） 的最小值为 ． 4．（2024·四川绵阳·三模）在 中， ， ，点D，E 分别为 ， 上的动点， 且 ， ．当 的值最小时， 的长为 ． 5．（23-24 八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2 的菱形 中， ，E，F 分别是 ， 上的动点， ，连 ， ，则 的最小值为 ． 6．（23-24 八年级上·四川成都·期末）在 中， ， ， ， ， 分别为射线 与射线 上的两动点，且 ，连接 ， ，则 最小值为 ； 的最大值 为 ． 7．（2024·陕西西安·二模）如图，正方形 的边长为2，E、F 分别是对角线 和边 上的动点， 满足 ．当 时，线段 的长度为 ． 8．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形 中， ，E、F 分别是边 上的动点，且 ．当 的值最小时，则 ． 9．（2024·湖北武汉·二模）如图，M 为矩形BD 中D 边中点，E、F 分别为B、D 上的动点，且BE＝ 2DF，若B＝1，B＝2，则ME+2F 的最小值为 ． 10．（23-24 九年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形 中， ， ， ， 点 ， 分别在边 ， 上运动，且满足 ，连接 ， ，则 的最小值是 ． 11．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图：等边三角形B 中， ，E、F 分别是边 上的动点， 且 ，则 的最小值为 ． 12．（2024·山东济南·二模）如图，在正方形 中， 、 分别是 、 边上的动点，且 ，若 ，则 的最小值是 ． 13．（23-24 九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 中， ， ，以点 为直角顶点、 为直角边向下作直角 ，且 ，连接 ，则 的最大值是 ． 14．（23-24 九年级上·四川成都·期末）如图所示，在矩形 中， ， ，E，F 分别是 上的动点，且 ，连接 ，当E 为 中点时，则 ；在整个运动过程中， 的最小值为 ． 15．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形 中， ， ，点E 和点F 分别在边 和边 上运动，且满足 ，则 的最小值为（ ） ．4 B． ． D．6 16．（23-24 九年级上·四川成都·开学考试）如图，在矩形 中， ， ，P，分别为对 角线 边 上的两点，且 ， 的最小值为 ． 17．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面 积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 __________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、b、、d 之间存在某种数量关系． 小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4 中以矩形内 一点P 为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】（3）如图5，在图3 中“④”的基础上，小昕将 绕点 逆时针旋转，他发现旋转过程 中 存在最大值．若 ， ，当 最大时，求D 的长； （4）如图6，在 中， ，点D、E 分别在边和B 上，连接DE、E、BD．若 ， ，求 的最小值． 18．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴 交于点 ．点 为第一象限抛物线上的点，连接 ， ， ， ． (1)直接写出结果： ； ；点 的坐标为 ； ； (2)如图1，当 时，求点 的坐标； (3)如图2，点 在 轴负半轴上， ，点 为抛物线上一点， ．点 ， 分别为 的边 ， 上的动点，且 ，求 的最小值．