专题34 最值模型之阿氏圆模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题34 最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化 归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆 问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 .................................................................................................................................................1 模型1 阿氏圆模型........................................................................................................................................... 1 ...............................................................................................................................................12 模型1 阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点、B，动点P 满足 P/PB=k（k 为常数，且k≠1）），那 么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆， 简称为阿氏圆。 A B P O 如图 1 所示，⊙的半径为 r，点 、B 都在⊙ 外，P 为⊙上一动点，已知r=k·B（即 ）， 连接P、 PB，则当“P+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段B 上截取使=k·r（即 ），∵ ，∴ ， ∠ ∵ P=∠BP，∴△P∽△BP，∴ ，即k·PB=P。 故本题求“P+k·PB”的最小值可以转化为 “P+P”的最小值。 其中与与为定点，P 为动点，故当、P、三点共线时，“P+P”值最小，如图3 所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在 于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一 内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（2024·安徽合肥·二模）在 中， ，点D 是平面上一点，且 ， 连接 ，则下列说法正确的是（ ） ． 长度的最大值是9 B． 的最小值是 ． D． 面积的最大值是40 例2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方BD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动 点，则 的最大值为_______． A B C D P 例3（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4 的正方形，内切圆记为⊙，P 是⊙上一动点，则 P＋ PB 的最小值为________． 例4．（2024·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M、点，⊙半径为 3，点（0，1），点B（2，0），点P 在弧M 上移动，连接P，PB，则3P+PB 的最小值为 ___． 例5．（2024·山东·模拟预测）如图，在 中， ， ， ， 在以 为圆 心3 为半径的圆上，则 的最小值为 ． 例6．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中， ， ， ， 、 分别是边 、 上的两个动点，且 ， 是 的中点，连接 ， ，则 的最小值为 ． 例7．（2024·福建·校考一模）如图，在边长为6 的正方形 中，M 为 上一点，且 ，为边 上一动点．连接 ，将 沿 翻折得到 ，点P 与点B 对应，连接 ，则 的最小值为 ． 例8．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PB 中，已知P=2，B=4，Q 为B 上一点且 Q=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形BD 的边长为4，⊙的半径为2，点P 是⊙上 的一个动点，求2P+PB 的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形BD 的边长为4，∠=60°，⊙的半径 为2，点P 是⊙上的一个动点，求2P−PB 的最大值． 例9．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ．抛物线的对称轴 与经过点 的直线 交于点 ，与 轴交于点 ． (1)求直线 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三 角形?若存在，求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点 为圆心，画半径为2 的圆，点 为 上一个动点，请求出 的最小值． 1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形 中，已知 ， ，E 为 边上一动点，将 沿 翻折到 的位置，点与点F 重合，连接 ，则 的最小值为（ ） ． B． ．4 D． 2．（2024 年广东深圳中考模拟试题）如图，矩形 中 ， ，点 是矩形 内部一个 动点，且 ，连接 ，则 三分之二 的最小值为（ ） ． B． ． D． 3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形 中，已知 ， ，E 为 边上一动点，将 沿 翻折到 的位置，点与点F 重合，连接 ，则 的最小值为（ ） ． B． ．4 D． 4．（2024·山东泰安·二模）如图，在 中， ， ， ，以 为圆心，为 半径作 ， 为 上一动点，连接 、 ，则 的最小值为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形 中， ，点P 为边 的中点，点E 在 边 上，连接 ，点F 为 上的动点，则 的最小值为 ． 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形 边长为8， 为 中点， 为 上的动点， 为 上的点，且 ，连接 ，则 的最小值是（ ） ． B． ． D． 7．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2 的正方形 中，E、F 分别为 上的动点， ，连接 交于点P，则 的最小值为 ． 8（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上（不与顶点重 合），且满足 ，连接 ， 交于点 ． ， 分别是边 ， 的中点，连结接 ， ． 若正方形的边长为，则 的最小值为 ． 9．（2024·广西·一模）图所示，在半径为 6 的扇形 B 中， ∠B＝60° ，点 D ，E 分别在半径 B， 上，且 BD＝E＝2，点F 是弧B 上的动点，连接DF，EF，则DF＋ EF 的最小值为 ． 10．（23-24 九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图正方形 的边长是4， 的半径是2，点E 是 上 一动点，连接 ， ．则 的最小值= ． 11．（2024 九年级·广东·专题练习）如图，在 中， ， 的半径为2，D 是 上一动点，点E 在 上， ，连接 ，则 的最小值 12．（2024·四川·校考一模）如图， 为 的直径， ，点与点D 在 的同侧，且 ， ， ， ，点P 是 上的一动点，则 的最小值为 ． 13．（23-24 九年级上·江苏盐城·期末）已知：等腰 中， ， ， 是 上 一点，以 为圆心的半圆与 、 均相切， 为半圆上一动点，连 、 ，如图，则 的最 小值是 ． 14．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2 的正方形 中，E、F 分别为 上的动点， ，连接 交于点P，则 的最小值为 ． 15．（2024·江苏·校考二模）如图，在△B 中，∠B=90°，B=12，=9，以点为圆心，6 为半径的圆上有一个动 点D 连接D、BD、D，则2D+3BD 的最小值是 16．（23-24 九年级上·江苏南京·期末）如图，在 中， ， ， ，D、E 分别 是边 、 上的两个动点，且 ，P 是 的中点，连接 ， ，则 的最小值为 ． 17．（2024·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在 中， ， ， ，⊙的半径为2，P 为圆上一动点，连接P、BP，求 的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接P，在B 上取一点D，使 ，则 ．又 ，所以 ∽ ．所以 ． 所以 ，所以 ． 请你完成余下的思考，并直接写出答： 的最小值为________； （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求 的最小值； （3）拓展延伸：如图②，已知在扇形D 中， ， ， ， ，P 是 上一点， 求 的最小值． 18．（2023 春·江苏宿迁·九年级校考开学考试） 【问题呈现】如图1，∠B=90°， =4，B=5，点P 在半径为2 的⊙上，求 的最小值． 【问题解决】小明是这样做的：如图2，在上取一点使得=1，这样可得 ，又因为∠P=∠P，所 以可得△P ∽△P，所以 ，得 所以 ． 又因为 ，所以 最小值为 ． 【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将 转化成P，再利用“两点之间线段”最短”求出P+ BP 的最小值． 【尝试应用】如图4，∠B=60°， =10，B=9，点P 是半径为6 的⊙上一动点，求 最小值． 【能力提升】如图5，∠B=120°， B= B=8，点D 为平面内一点且BD= 3D，连接D，则△BD 面积的最大值 为 ． 19．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点 到 的三个顶点的距离分别为 、 、 ，若有 ，则称点 为 关于点 的勾股点． (1)如图2，在 的格中，每个小正方形的边长均为1，点，B、、D、E 均在小正方形的格点上，则点 是 关于点______的勾股点；若点 在格点上，且点 是 关于点 的勾股点，请在方格纸中画 出 ；(2)如图3，菱形 中， 与 交于点 ，点 是平面内一点，且点 是 关于点 的勾股点．①求证： ；②若 ， ，则 的最大值为______（直接写出结果）； ③若 ， ，且 是以 为底的等腰三角形，求 的长． (3)如图4，矩形 中， ， ， 是矩形 内一点，且点 是 关于点 的勾股点， 那么 的最小值为______（直接写出结果）． 20．（23-24 九年级上·重庆·阶段练习）如图，在 中， ， 交 于点 ， 为 线段 上一动点，连接 ．(1)如图1，连接 ，若 是 的角平分线且 时，求 的度数．(2)如图2，将线段 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到线段 ，连接 交线段 于点 ，连接 ，若点 为线段 的中点，求证： ．(3)如图3，在（2）的基础上， 若 ，将 绕点 顺时针旋转 角度 ，旋转后 对应 ，点 对应的点为 ，连接 ， ， ．旋转过程中，当线段 与线段 存在交点 且 时，记 ；当 取得最小值时，记为 ．请直接 写出 的值．