专题35 最值模型之费马点模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题35 最值模型之费马点模型 费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考 试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】皮耶·德·费马，17 世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位 不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之 外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三 个顶点距离之和最小的点。 .................................................................................................................................................1 模型1 费马点模型........................................................................................................................................... 1 模型2 加权费马点模型................................................................................................................................. 12 ...............................................................................................................................................20 模型1 费马点模型 结论：如图1，点M 为△B 内任意一点，连接M、BM、M，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时， M+MB+M 的值最小。 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△B 的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最 大角的顶点。（这种情况一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120°） 证明：如图2，以B 为一边向外作等边三角形△BE，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到B，连接E． △ ∵BE 为等边三角形，∴B＝BE，∠BE＝60°．而∠MB＝60°，∴∠BM＝∠EB． 在△MB 与△EB 中，∵ ，∴△MB △ ≌EB（SS）． 连接M．由△MB △ ≌EB 知，M＝E．∵∠MB＝60°，BM＝B，∴△BM 为等边三角形． ∴BM＝M．∴M+BM+M＝E+M+M．∴当E、、M、四点共线时，M+BM+M 的值最小． 此时，∠BM＝180°﹣∠MB＝120°；∠MB＝∠EB＝180°﹣∠BM＝120°； ∠M＝360°﹣∠BM﹣∠MB＝120°． 费马点的作法：如图3，分别以△B 的B、为一边向外作等边△BE 和等边△F，连接E、BF，设交点为M，则 点M 即为△B 的费马点。 【最值原理】两点之间，线段最短。 例1．（23-24 九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在 中， ，点 为 内部一点，则点 到 三个顶点之和的最小值是 ． 例2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在矩形 中， 是 的中点， 是 边上 一动点，将 沿着 翻折，使得点 落在点 处，矩形内有一动点 连接 则 的最小值为 ． 例3．（23-24 九年级下·河南周口·阶段练习）【问题背景】在已知 所在平面内求一点P，使它到三 角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在 1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图 2，把 绕点逆时针旋转 得到 （点P，的对应点分别为点 ， ），连接 ，则 ， ． ∵______，∴ 为等边三角形，∴ ，∴ ， ∴当B，P， ， 四点在同一直线上时， 的值最小，即点P 是 的“费马点”． 任务：（1 ）横线处填写的条件是______ ；（2 ）当点P 是 的“ 费马点” 时， ______； （3）如图3，△B 中， ， ，E，F 为B 上的点，且 ，判断 之间 的数量关系并说明理由； 【实际应用】图4 所示是一个三角形公，其中顶点，B，为公的出入口， ， ，＝ 4km，工人师傅准备在公内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则 的最小值 是______． 例4．（2023 春·重庆·九年级专题练习）背景资料：在已知 所在平面上求一点P，使它到三角形的三 个顶点的距离之和最小这个问题是法国数学家费马1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的 点被人们称为“费马点”．如图1，当 三个内角均小于120°时，费马点P 在 内部，当 时，则 取得最小值． (1)如图2，等边 内有一点P，若点P 到顶点、B、的距离分别为3，4，5，求 的度数，为了解 决本题，我们可以将 绕顶点旋转到 处，此时 这样就可以利用旋转变换，将三 条线段 、 、 转化到一个三角形中，从而求出 _______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三 角形并连接等边三角形的顶点与 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下 问题．(2)如图3， 三个内角均小于120°，在 外侧作等边三角形 ，连接 ，求证： 过 的费马点．(3)如图4，在 中， ， ， ，点P 为 的费马 点，连接 、 、 ，求 的值．(4)如图5，在正方形 中，点E 为内部任意一点， 连接 、 、 ，且边长 ；求 的最小值． 例5．（2024·江苏·校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形BD 的四个顶点上， 公里， 公里， 现在要设立两个车站E，F，则 的最小值为______公里． 模型2 加权费马点模型 结论：点P 为锐角△B 内任意一点，连接P、BP、P，求xP+yBP+zP 最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP 不变，xP+yBP+zP= y( x y AP+BP+ z y CP) ，如图，B、P、P2、2四点共线时，取得最小值。 例1．（2024·广东广州·一模）如图，在矩形 和矩形 中， ， ， , ．矩形 绕着点旋转，连接 ， ， ， ． (1)求证： ；(2)当 的长度最大时，①求 的长度；②在 内是否存在一点P，使得 的值最小?若存在，求 的最小值；若不存在，请说明理由． 例2．（2024·重庆·二模）已知 中 ，点 和点 是平面内两点，连接 ， 和 ， ． (1)如图1，若 ， ， ，求 的长度；(2)如图2，连接 和 ，点 为 中点，点 为 中点，连接 和 ，若 ，求证： ；(3)若 ， ，当 取得最小值，且 取得最大值时，直接写出 的面积． 例3．（23-24 九年级上·重庆·阶段练习）在等边 中，点D 是边 上一点，连接 ，将线段 绕 点顺时针旋转 得到线段 ，则 ， ，连接 交 于点F，交 于点． (1)如图1，当点D 为 中点时，且 ，求 的面积；(2)如图2，猜想线段 、 、 之间 的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若 ，在 内部有一个动点P，连接 、 、 ， 直接写出 的最小值． 1．（2023 春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M 是矩形 内一点，且 ， ，为边 上一点，连接 、 、 ，则 的最小值为______． 2．（2023·广东深圳·二模）如图， 是等边三角形，M 是正方形BD 对角线BD（不含B 点）上任意一 点， ， （点在B 的左侧），当M+BM+M 的最小值为 时，正方形的边长为_____ _． 3（24-25 九年级上·湖南长沙·阶段练习）法国数学家费马提出：在△B 内存在一点P，使它到三角形顶点的 距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时P+PB+P 的值为费马距离．经研究发现：在锐角△B 中，费 马点P 满足∠PB＝∠BP＝∠P＝120°，如图，点P 为锐角△B 的费马点，且P＝3，P＝4，∠B＝60°，则费马 距离为 ． 4．（2023·四川成都·二模）如图，矩形 中， ，点E 是 的中点，点F 是 边上一 动点．将 沿着 翻折，使得点B 落在点 处，若点P 是矩形内一动点，连接 ，则 的最小值为 ． 5．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在 中，P 为平面内的一点，连接 ，若 ，则 的最小值是（ ） ． B．36 ． D． 6．（23-24 九年级上·重庆渝中·自主招生）如图，E 是边长为8 的正方形 的边 上的动点， 于点F，G 在 上，且 ，P 是平面内一动点，是 上的动点，则 的最小值为 ． 7．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题 材料一：数形结合是一种重要的数学思想如 可看做是图一中 的长， 可看做是 的长． 材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在 中有一点 使得 的值最小． 著名法学家费马给出的证明方法如下： 将 绕 点向外旋转 得到 ，并连接 易得 是等边三角形、 ，则 ， 则 ，所以 的值最小为 ． 请结合以上两材料求出 的最小值 8．（2023 上·广东珠海·八年级校考期中）综合与实践： 【问题情境】学完等边三角形后，老师在课堂上提出了一个问题并证明了：如图1，等边 与等边 共一个顶点时，无论怎么摆放可通过 恒有 ．于是提出了如下问题． 【问题证明】（1）如图2，M 是等腰 内一点，是等边 内一点，且满足 ． 求证： 是等边三角形． 【迁移应用】（2）在（1）的基础上，知点M 是等腰 内一点，当点M 到三角形3 个顶点的距离 之和，即 最小时，我们把M 点称为等腰 的“紫荆点”．若M 是等腰 的紫 荆点，求 ． 完成以下推导过程：（①填理由；②填线段；③与④填关系式） 解：如图3，令 ， 分别是等腰 ，等边 内一点，且满足 ∴ ∵ 是等边三角形 ∴ ， 由 ① 可知：∴ 的最小值 的最小值= ② ∴如图4，当D、、M、在一条直线上时．M 是等腰 的紫荆点 ∴ ③ ； ④ ∴ 【拓展提升】（3）甲同学发现等腰 “紫荆点”的作法：如图5，已知 ，在B 的左侧作等边 ．连接 ，与 的角平分线 交于点M，点M 就是“紫荆点”，甲同学发现是否正确？请 说明理由． 9．（2024·陕西西安·二模）问题提出 (1)如图1，在等边 内部有一点P， ， ， ，则 ______． 问题解决(2)如图2，五边形BDE 是某公局部平面图， ， ， ， ， ， ．现需要在该五边形内部修建一条人工小溪，并建造一座观 赏桥梁PQ 和三条观光路P，Q，DQ，且 ， ．已知观赏桥梁修建费用每米2 元和观光路 修建费用每米元．是否存在点P，使得修建桥梁和观光路总费用最低？若存在，请用含有的代数式表示出 总费用最小值；若不存在，请说明理由． 10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在 中， ， ，P 为 内 一点，求 的最小值．为了求 的最小值，小明是这样做的：将 绕点顺时针 旋转60°得到 ，则 ，连接 ．此时小明发现 ，且 ，则 为等边 三角形，于是 ．试着根据小明的思路，求出 的最小值． （2）如图②，某牧场有一块矩形空地 ，其中 米， 米，点E 在 边上且 米，F 为 边上任意一点，点关于 的对称点为 ．牧场主欲在四边形 的四条边上装上 栅栏饲养土鸡，并将B 点、点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形 内一点P 处打一口井，并修 建地下管道 ， ， ．请问：是否存在一点P，使 的值最小？如果存在，请求出 的最小值及此时 的长；如果不存在，请说明理由． 11．（23-24 八年级下·陕西·阶段练习）课本再现： （1）把两个全等的矩形 和矩形 拼成如图1 的图，则 的度数为________； 图1 图2 图3 迁移应用：（2）如图2，在正方形 中，E 是 边上一点（不与点、D 重合），连接 ，将 绕 点E 顺时针旋转 至 ，作射线 交 的延长线于点G，求证： ； 拓展延伸：（3）如图3，在菱形 中， ，E 是 边上一点（不与点、D 重合），连接 ， 将 绕点E 顺时针旋转 至 ，作射线 交 的延长线于点G． ①线段 与 的数量关系是________②连接 ，点P 为 内一点，连接 ．若 ，则 的最小值为________． 12．（23-24 九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在 中， ， ， 于点D．点G 是射线D 上一点，过G 作 分别交B、于点E、F： (1)如图①所示，若点E，F 分别在线段B，上，当点G 与点D 重合时，求证： ； (2)如图②所示，当点G 在线段D 外，且点E 与点B 重合时，猜想E，F 与G 之间存在的数量关系并说明理 由；(3)当点G 在线段D 上时，请直接写出 的最小值． 参考公式： 13．（2023 河南四模）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王 的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643 年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的 私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一 条直线上的三个点，B，，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P 的位置．托里拆利成功地解决了费 马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点，B，距离之和最小的点称为 B 的费马-托里拆 利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决： （1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 BP 绕点B 顺时针 旋转60°得到 BDE，连接PD，可得 BPD 为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=P，因 P+PB+P=P+PD+DE，由 可知，P+PB+P 的最小值与线段 的长度相等； （2）如图2，在直角三角形B 内部有一动点P，∠B=90°，∠B=30°，连接P，PB，P，若B=2，求P+PB+P 的最小值；（3）如图3，菱形BD 的边长为4，∠B=60°，平面内有一动点E，在点E 运动过程中，始终有 ∠BE=90°，连接E、DE，在 DE 内部是否存在一点P，使得P+PD+PE 最小，若存在，请直接写出 P+PD+PE 的最小值；若不存在，请说明理由． 14（23-24 九年级上·湖北襄阳·自主招生）（1）如图在 内部有一点 ， 是正三角形，连接 、 、 ，将线段 绕 顺时针反向旋转 至 ，①求证： ；②调整P 点的位置， 使 最小，求此时 和 的大小（2）如图在直角三角形 中， ， ，在其内部任取一点 ，求 的最小值 15．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643 年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同 一条直线上的三个点，B，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家 托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营” 问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择 填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④ 处填写该三角形的某个顶点） 当 的三个内角均小于 时，如图1，将 绕，点顺时针旋转 得到 ，连接 ， 由 ，可知 为 ① 三角形，故 ，又 ，故 ， 由 ② 可知，当B，P， ，在同一条直线上时， 取最小值，如图2，最小值为 ，此时的 P 点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若 ， 则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在 中，三个内角均小于 ，且 ，已知点P 为 的 “费马点”，求 的值； (3)如图5，设村庄，B，的连线构成一个三角形，且已知 ．现欲建一 中转站P 沿直线向，B，三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄，B，的铺设成本分别为元/ ，元/ ， 元/ ，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含的式子 表示） 16．（2024·广东·一模）如图， 和 均为等腰直角三角形， ．现将 绕点旋转． （1）如图1，若 三点共线， ，求点B 到直线 的距离；（2）如图2，连接 ，点F 为线段 的中点，连接 ，求证： ；（3）如图3，若点G 在线段 上，且 ， 在 内部有一点，请直接写出 的最小值．