专题7.2 平面直角坐标系中点的面积问题专项训练（30道）（解析版）

专题72 平面直角坐标系中的面积问题专项训练（30 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共30 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中 的面积问题所有类型！ 一．选择题（共10 小题） 1．（2022 春•龙泉驿区期末）如图，在平面直角坐标系中，将折线EB 向右平移得到折线 FD，则折线EB 在平移过程中扫过的面积是（ ） ．15 B．20 ．24 D．25 【分析】折线EB 在平移过程中扫过的面积＝S▱FE+S▱BDFE，再根据平行四边形的面积公式 求解即可． 【解答】解：折线EB 在平移过程中扫过的面积＝S▱FE+S▱BDFE ＝5×3+5×2 ＝15+10 ＝25， 故选：D． 2．（2022 春•商南县期末）已知点的坐标为（0，0），点B 的坐标为（4，0），点在y 轴 上，△B 的面积是10，则点的坐标可能是（ ） ．（0，10） B．（5，0） ．（0，﹣5） D．（0，4） 【分析】首先求得B 的长，根据三角形的面积公式，即可求得的纵坐标，进而得到的坐 标． 【解答】解：设点坐标是（0，y）根据题意得，1 2B×＝10 即1 2 ×4×|y|＝10， 解得y＝±5． 所以点坐标是：（0，5）或（0，﹣5）． 故选：． 3．（2022•市中区二模）平面直角坐标系中，P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫 做P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」＝|x|+|y|．若点B 在第一象限且满足「B」 1 ＝4，则满足条件的所有B 点与坐标轴围成的图形的面积为（ ） ．2 B．4 ．6 D．8 【分析】由勾股值的定义可得方程x+y＝4（x＞0，y＞0），变形得y＝﹣x+4，求出此函 数与坐标轴的交点坐标即可求面积． 【解答】解：设点P 坐标为（x，y），由点B 在第一象限且满足「B」＝4， ∴x+y＝4（x＞0，y＞0）． 即y＝﹣x+4， ∵y＝﹣x+4 与x 轴交点为（4，0），与y 轴交点为（0，4）， ∴满足条件的所有B 点与坐标轴围成的图形的面积为1 2 ×4×4=¿8． 故选：D． 4．（2022 春•江夏区校级月考）如图所示，直角坐标系中四边形的面积是（ ） ．155 B．205 ．26 D．31 【分析】图中四边形可以视为由两个直角三角形和一个梯形构成，分别计算其面积并求 和即可． 【解答】解：图中四边形可以视为由两个直角三角形和一个梯形构成，则其面积为： 1 2 ×2×3+1 2 （3+4）×3+1 2 ×1×4＝3+21 2 +¿2＝155． 故选：． 5．（2022 春•汇川区期末）如图，点、B 的坐标分别为（﹣5，6）、（3，2），则三角形 B 的面积为（ ） ．12 B．14 ．16 D．18 【分析】作⊥x 轴、BD⊥x 轴，根据、B 坐标得出、BD 及D 的长，根据S△B＝S 梯形BD﹣S△ ﹣S△BD可得答． 1 【解答】解：如图，作⊥x 轴于点，作BD⊥x 轴于点D， ∵（﹣5，6）、B（3，2）， ∴＝6、＝5，BD＝2、D＝3， 则D＝+D＝8， ∴S△B＝S 梯形BD﹣S△﹣S△BD ¿ 1 2 ×（2+6）×8−1 2 ×5×6−1 2 ×2×3 ＝32 15 3 ﹣ ﹣ ＝14， 故选：B． 6．（2022 春•沙河市期中）在格图中有一个面积为10 的△B，△B 的三个顶点均在格的格点 上，墨墨在格图中建立了适当的直角坐标系，并知道点的坐标为（2，3），点B 的坐标 为（﹣3，﹣2），后来墨墨不小心在该图洒上了墨水，如图所示，点的坐标看不清了， 但他记得线段与y 轴平行，则点的坐标为（ ） ．（2，1） B．（1，2） ．（2，﹣1） D．（﹣1，2） 【分析】根据三角形的面积公式求出，再根据格结构确定出点的坐标即可． 【解答】解：∵（2，3），B（﹣3，﹣2），线段与y 轴平行， ∴点B 到的距离为2+3＝5， ∴S△B¿ 1 2•5＝10， 解得＝4， ∴点的纵坐标为3 4 ﹣＝﹣1， 1 ∴点的坐标为（2，﹣1）． 故选：． 7．（2022 春•嘉祥县期末）若△B 三个顶点的坐标分别为（﹣3，﹣1），B（2，﹣1）， （1，3），则△B 的面积为（ ） ．75 B．10 ．15 D．20 【分析】构造平面直角坐标系，标出点、B、在坐标系中的位置，过点向B 作垂线，垂 足为D，根据S△B¿ 1 2B×D，即可得到答． 【解答】解：过点向B 作垂线，垂足为D，如下图所示： 则B＝2﹣（﹣3）＝5， D＝3+1＝4， S△B¿ 1 2B×D¿ 1 2 ×5×4＝10， 故选：B． 8．（2022 秋•历下区期中）如图，由8 个边长为1 的小正方形组成的图形，被线段B 平分 为面积相等的两部分，已知点的坐标是（1，0），则点B 的坐标为（ ） ．( 11 3 ，3) B．( 10 3 ，3) ．( 15 4 ，3) D．( 18 5 ，3) 【分析】如图，设B＝x，根据题意列方程即可得到结论． 1 【解答】解：如图，设B＝x， 由题意得，1 2 ×3×（2+x）¿ 1 2 ×8， 解得：x¿ 2 3， 3+2 3 =11 3 ， ∴点B 的坐标为（11 3 ，3）， 故选：． 9．（2022 春•重庆期末）已知点P 的坐标为（，b）（＞0），点Q 的坐标为（，2），且| | ﹣+❑ √b−8=¿0，将线段PQ 向右平移个单位长度，其扫过的面积为24，那么+b+的值 为（ ） ．12 B．14 ．16 D．20 【分析】利用非负数的性质求出b 的值，推出＝，推出PQ＝6，根据PQ 向右平移个单 位长度，其扫过的面积为24，推出＝4 即可解决问题． 【解答】解：∵| | ﹣+❑ √b−8=¿0， 又∵| |≥0 ﹣ ，❑ √b−8≥0， ∴﹣＝0，b 8 ﹣＝0， ∴＝，b＝8， ∴P（，8），Q（，2）， ∴PQ＝6， ∵线段PQ 向右平移个单位长度，其扫过的面积为24， ∴＝4， ∴＝＝4， + ∴b+＝4+8+4＝16， 故选：． 10．（2022 春•嘉祥县期末）我们定义：过点（0，）且平行于x 轴的直线为y＝，若（﹣ 1 2，0），B（1，2），点P 为直线y＝4 上一动点，且△PB 的面积为6 平方单位，则点P 的坐标为（ ） ．（﹣2，4） B．（0，4）或（10，4） ．（﹣2，4）或（10，4） D．（9，4） 【分析】设直线B 交直线y＝4 于．求出点坐标，设P（m，4），构建方程即可解决问 题； 【解答】解：∵（﹣2，0），B（1，2），设直线B 交直线y＝4 于． ∴直线B 的解析式为y¿ 2 3x+4 3 ， ∵直线P 的解析式为y＝4， ∴（4，4），设P（m，4）， 由题意：1 2•|4﹣m|•4−1 2 •|4﹣m|•2＝6， 解得m＝﹣2 或10， ∴P（﹣2，4）或（10，4） 故选：． 二．填空题（共6 小题） 11．（2022 春•金乡县期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点，B，的“矩面积”，给 出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”：任意两点纵坐标 差的最大值，则“矩面积”S＝．例如，三点坐标分别为（0，3），B（﹣3，4）， （1，﹣2），则“水平底”＝4，“铅垂高”＝6，“矩面积”S＝＝24．若D（2， 2），E（﹣2，﹣1），F（3，m）三点的“矩面积”为20，则m 的值为 3 或﹣ 2 ． 【分析】根据矩面积的定义表示出水平底”和铅垂高“，利用分类讨论对其铅垂高“进 行讨论，从而列出关于m 的方程，解出方程即可求解． 【解答】解：∵D（2，2），E（﹣2，﹣1），F（3，m） “ ∴水平底”＝3﹣（﹣2）＝5 1 “铅垂高“＝3 或|1+m|或|2﹣m| ①当＝3 时，三点的“矩面积”S＝5×3＝15≠20，不合题意； ②当＝|1+m|时，三点的“矩面积”S＝5×|1+m|＝20， 解得：m＝3 或m＝﹣5（舍去）； ③当＝|2﹣m|时，三点的“矩面积”S＝5×|2﹣m|＝20， 解得：m＝﹣2 或m＝6（舍去）； 综上：m＝3 或﹣2 故答为：3 或﹣2 12．（2022 春•平泉市期末）如图，两个形状、大小完全相同的直角三角形叠放在一起， 将直角三角形B 沿着x 轴正方向平移到直角三角形DEF 的位置．已知点（1，5），点B （1，1），DG＝1，平移距离为2． （1）点G 的坐标为 （ 3 ， 4 ） ； （2）阴影部分的面积S＝ 7 ． 【分析】（1）求出BE，GE 的长度即可得出答； （2）根据平移的性质得S△B＝S△DEF，从而S△B﹣S△EG＝S△DEF﹣S△EG，梯形BEG 的面积＝ 阴影部分的面积，求梯形的面积即可得到阴影部分的面积． 【解答】解：（1）∵（1，5），点B（1，1）， ∴B＝4， ∵平移距离为2， ∴BE＝2，DE＝B＝4， ∵DG＝1， ∴GE＝DE﹣DG＝4 1 ﹣＝3， ∴G（3，4）； 故答为：G（3，4）； （2）∵将直角三角形B 沿着x 轴正方向平移到直角三角形DEF 的位置， ∴S△B＝S△DEF， ∴S△B﹣S△EG＝S△DEF﹣S△EG， ∴梯形BEG 的面积＝阴影部分的面积， 1 ∴S¿ 1 2 ×（B+EG）×BE ¿ 1 2 ×（4+3）×2 ＝7． 故答为：7． 13．（2022 春•仙居县期末）如图，在平面直角坐标系中，点（1，1），点B（3，0）．现 将线段B 平移，使点，B 分别平移到点′，B'，其中点′（1，4），则四边形'B'B 的面积为 6 ． 【分析】把四边形′B′B 的面积转化为特殊四边形的面积求解即可． 【解答】解：如图，过点B′作B′E ′ ⊥于点E，延长′交B 于点F． 由题意得，B＝′B′，B ′ ∥B′， ∵点（1，1），点B（3，0），点′（1，4）， ′ ∴＝BB′＝3， ∵B′E ′ ⊥， ∴四边形B′EFB 是长方形， ′ ∴＝EF＝3， ∴四边形′B′B 的面积＝四边形B′EFB 的面积＝3×2＝6， 1 故答为：6． 14．（2022 春•海淀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，曲线f 向上平移1 个单位形 成曲线g 的过程中所扫过的面积是 3 ． 【分析】曲线f 向上平移1 个单位形成曲线g 的过程中所扫过的面积可以看成是底为1， 高为3 的平行四边形的面积． 【解答】解：曲线f 向上平移1 个单位形成曲线g 的过程中所扫过的面积＝1×3＝3， 故答为：3． 15．（2022 春•昌黎县期末）如图，在直角坐标系中，（﹣1，2），B（3，﹣2），则△B 的面积为 2 ． 【分析】直接利用，B 点坐标，再利用△B 所在直角三角形面积减去周围图形面积得出答． 【解答】解：△B 的面积为：1 2 ×4×4−1 2 ×1×2 2 ﹣−1 2 ×2×3＝2． 故答为：2． 16．（2022•漳州校级一模）已知：如图△B 的顶点坐标分别为（﹣4，﹣3），B（0，﹣ 3），（﹣2，1），如将B 点向右平移2 个单位后再向上平移4 个单位到达B1点，若设 △B 的面积为S1，△B1 的面积为S2，则S1，S2 的大小关系为s1 ＝ s2（填“＜”、 “＞”、“＝”）． 1 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可． 平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【解答】解：原来点的横坐标是0，纵坐标是﹣3，向右平移2 个单位后再向上平移4 个 单位到达B1点的横坐标是0+2＝2，纵坐标为﹣3+4＝1．那么原三角形的面积是：1 2 × 4×4＝8，新三角形的面积为：1 2 ×4×4＝8，∴两三角形的面积相等，即s1＝s2． 三．解答题（共14 小题） 17．（2022 春•上蔡县月考）如图，六边形BDE 在平面直角坐标系内． （1）写出点、B、、D、E、F 的坐标： （ 2 ， 3 ） 、B （﹣ 2 ， 3 ） 、 （﹣ 4 ， 0 ） 、D （ 3 ，﹣ 3 ） 、E （ ） 2 ，﹣ 3 ）； 、F （ 3 ， 0 ）； ； （2）六边形BDE 的面积为 345 ． 【分析】（1）根据图形直接写出坐标； （2）根据点点坐标利用割补法即可求出六边形BDE 的面积． 【解答】解：（1）（2，3）、B（﹣2，3）、（﹣4，0）、D（﹣3，﹣3）、E（2，﹣ 3）、F（3，0）； 故答为：（2，3）、（﹣2，3）、（﹣4，0）、（﹣3，﹣3）、（2，﹣3）、（3， 0）； （2）四边形BD 的面积为：6×7−1 2 ×2×3−1 2 ×1×3−1 2 ×1×3−1 2 ×1×3=¿345 故答为：345． 18．（2022 春•莆田期末）对于平面直角坐标系中的图形M 上的任意点P（x，y），给出 如下定义：将点P（x，y）平移到P′（x+e，y﹣e）称为将点P 进行“e 型平移”，点P′ 称为将点P 进行“e 型平移”的对应点；将图形M 上的所有点进行“e 型平移”称为将 图形M 进行“e 型平移”．例如，将点P（x，y）平移到P′（x+1，y 1 ﹣）称为将点P 进 行“1 型平移”． （1）已知点（﹣1，2），B（2，3），将线段B 进行“1 型平移”后得到对应线段′B′． 1 ①画出线段′B′，并直接写出′，B′的坐标； ②四边形BB′′的面积为 4 （平方单位）； （2）若点（2﹣，+1），B（+1，+2），将线段B 进行“2 型平移”后得到对应线 段′B′，当四边形BB′′的面积为8 平方单位，试确定的值． 【分析】（1）①根据定义平移即可； ②根据平移后的图形，写出坐标即可； （2）利用割补法求四边形的面积． 【解答】解：（1）①（﹣1，2）“1 型平移”后得到'（0，1）， B（2，3）“1 型平移”后得到B'（3，2）； ②S 四边形BB′′＝S△BB'+S△B''¿ 1 2 ×4×1+1 2 ×4×1＝4， 故答为：4； （2）（2﹣，+1）“2 型平移”后得到'（4﹣，﹣1）， B（+1，+2）“2 型平移”后得到B'（+3，）， 如图，在四边形外作矩形DEF， ∴（2﹣，+2），D（2﹣，﹣1），E（+3，﹣1），F（+3，+2）， ∴B＝2 1 ﹣，＝1，BF＝2，B'F＝2，D＝2，'D＝2，E＝2 1 ﹣，BE'＝1， ∴F＝2+1，D＝3， ∴S 四边形BB′′＝3（2+1）−1 2 ×（2 1 ﹣）×1×2−1 2 ×2×2×2＝4， ∵四边形BB′′的面积为8 平方单位， 4 ∴＝8， ∴＝2． 1 19．（2022 春•雨花区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点、B 的坐标分别为（， 0）和B（b，0），且，b 满足|+4|+❑ √8−b=¿0，点的坐标为（0，3）． （1）求，b 的值及S△B； （2）若点M 在x 轴上，且S△M¿ 1 3S△B，试求点M 的坐标． 【分析】（1）由|+4|+❑ √8−b=¿0 结合绝对值、算术平方根的非负性即可得出、b 的值， 再结合三角形的面积公式即可求出S△B的值； （2）设出点M 的坐标，找出线段M 的长度，根据三角形的面积公式结合S△M¿ 1 3S△B， 即可得出点M 的坐标． 1 【解答】解：（1）由|+4|+❑ √8−b=¿0，可知，+4＝0，8﹣b＝0， ∴＝﹣4，b＝8， ∴点（﹣4，0），点B（8，0）， 又∵点（0，3）， ∴B＝| 4 8| ﹣﹣＝12，＝3， ∴S△B¿ 1 2B•¿ 1 2 ×12×3＝18． （2）设点M 的坐标为（x，0），则M＝|x﹣（﹣4）|＝|x+4|， 又∵S△M¿ 1 3S△B， ∴1 2M•¿ 1 3 ×18， ∴1 2|x+4|×3＝6， | ∴x+4|＝4， 即x+4＝±4， 解得：x＝0 或﹣8， 故点M 的坐标为（0，0）或（﹣8，0）． 20．（2022 春•长白县期中）如图，在平面直角坐标系中，点（﹣3b，0）为x 轴负半轴上 一点，点B（0，4b）为y 轴正半轴上一点，其中b 满足方程3（b+1）＝6． （1）求点，B 的坐标； （2）点为y 轴负半轴上一点，且△B 的面积为12，求点的坐标； 【分析】（1）解一元一次方程，可得结论． （2）利用三角形的面积公式求出的长，可得结论． 【解答】解：（1）解方程3（b+1）＝6，得到b＝1， ∴（﹣3，0），B（0，4）． 1 （2）∵（﹣3，0），B（0，4）， ∴＝3，B＝4， ∵S△B¿ 1 2•B•＝12， ∴B＝8， ∵点在y 轴的负半轴上， ∴＝4，（0，﹣4）． 21．（2022 春•新市区期末）如图，已知（﹣2，3）、B（4，3）、（﹣1，﹣3） （1）求点到x 轴的距离； （2）求△B 的面积； （3）点P 在y 轴上，当△BP 的面积为6 时，请直接写出点P 的坐标． 【分析】（1）点的纵坐标的绝对值就是点到x 轴的距离解答； （2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解； （3）设点P 的坐标为（0，y），根据△BP 的面积为6，（﹣2，3）、B（4，3），所以 1 2 ×6×∨x−3∨¿6，即|x 3| ﹣＝2，所以x＝5 或x＝1，即可解答． 【解答】解：（1）∵（﹣1，﹣3）， | 3| ∴﹣＝3， ∴点到x 轴的距离为3； （2）∵（﹣2，3）、B（4，3）、（﹣1，﹣3） ∴B＝4﹣（﹣2）＝6，点到边B 的距离为：3﹣（﹣3）＝6， ∴△B 的面积为：6×6÷2＝18． （3）设点P 的坐标为（0，y）， ∵△BP 的面积为6，（﹣2，3）、B（4，3）， ∴1 2 ×6×|y 3| ﹣＝6， 1 | ∴y 3| ﹣＝2， ∴y＝1 或y＝5， ∴P 点的坐标为（0，1）或（0，5）． 22．（2022 春•思明区校级期中）在平面直角坐标系中，点，B 在y 轴正半轴上，且点在B 的下方，将线段B 进行平移得到线段D，点的对应点为点D，点B 的对应点为点， （1）若点（0，1），B（0，3），D（3，2），求点的坐标； （2）点E 是第二象限上的一个动点，过点E 作EF 垂直x 轴于F，连接DF，DE，E． 若点（0，1 2m），B（0，b），（+b+1，1 2m+3），D（m，﹣2m+3），三角形DEF 的 面积为S△DEF¿−3 8 +33 8 ，点D 到直线EF 的距离为3，试问是否存在m，使得S△BE¿ 1 3 S△E？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出B 的长，利