专题7.3 平面直角坐标系中点的坐标规律专项训练（30道）（解析版）

专题73 平面直角坐标系中点的坐标规律专项训练（30 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共30 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中 的规律问题所有类型！ 一．选择题（共18 小题） 1．（2022 春•宽城县期末）如图，在平面直角坐标系xy 中，正方形BD 的顶点（1，﹣ 1），D（3，﹣1），规定把正方形BD“先沿y 轴翻折，再向下平移1 个单位”为一次变 换，这样连续经过2022 次变换后，点的坐标为（ ） ．（﹣3，﹣2023） B．（3，﹣2024） ．（3，﹣2025） D．（﹣3，﹣ 2026） 【分析】先根据已知条件求出点的坐标，然后根据规定把正方形BD“先沿y 轴翻折，再 向下平移1 个单位”为一次变换，求出点连续三次变换的的坐标，找出其变化的规律， 根据规律确定点经过2022 次变换后的坐标． 【解答】解：∵正方形BD 的顶点，D 的坐标分别为（1，﹣1），（3，﹣1）． ∴正方形的边长D＝2． ∴正方形BD 的顶点的坐标为（3，﹣3）． 由题意得，经过1 次变换点的坐标变为（﹣3，﹣4）． 经过2 次变换点的坐标为（3，﹣5）． 经过3 次变换点的坐标为（﹣3，﹣6）． 经过4 次变换点的坐标为（3，﹣7）． •••••••• 从以上可以看出，偶数次变换点的横坐标为3，奇数次变换点的横坐标为﹣3； 变换的次数比点的纵坐标的绝对值小3．且点纵坐标均为负数． ∴当点经过2022 次变换后，点的横坐标为3，点的纵坐标为﹣（2022+3）＝﹣2025． ∴经过2022 次变换后，点的坐标为（3，﹣2025）． 故选：． 1 2．（2022 春•西平县期末）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点， 如图，由里向外数第2 个正方形开始，分别是由第1 个正方形各顶点的横坐标和纵坐标 都乘2，3，…得到的，你观察图形，猜想由里向外第2021 个正方形四条边上的整点个 数共有（ ） ．2021 个 B．4042 个 ．6063 个 D．8084 个 【解题思路】根据第一个正方形可以得到整点个数为4，第二个正方形可知除顶点外每 条边上的整点个数为1，故第二个正方形四条边上的整点个数为：4×1+4，同理可知， 第三个正方形四条边上的整点个数为：4×2+4，从而可以得到第2021 个正方形四条边上 的整点个数． 【解答过程】解：根据题意可得，第一个正方形四条边上的整点个数为：4； 第二个正方形四条边上的整点个数为：4×1+4＝8； 第三个正方形四条边上的整点个数为：4×2+4＝12； 由此可得，由里向外第2021 个正方形四条边上的整点个数为：4×2020+4＝8084． 故选：D． 3．（2022 春•厦门期末）如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到（1，1），第2 次接着运动到点（2，0），第3 次接着运动到点（3， 2），按这样的运动规律，经过第2019 次运动后，动点P 的坐标是（ ） ．（2022，0） B．（2022，1） ．（2022，2） D．（2022，0） 【分析】分析点P 的运动规律，找到循环次数即可 【解答】解：分析图象可以发现，点P 的运动每4 次位置循环一次．每循环一次向右移 动四个单位． 2019 ∴ ＝4×504+3， 1 当第504 循环结束时，点P 位置在（2022，0），在此基础之上运动三次到（2022， 2）， 故选：． 4．（2022 春•上思县期中）如图，已知1（1，0），2（1，﹣1），3（﹣1，﹣1），4（﹣ 1，1），5（2，1），则点2020的坐标是（ ） ．（506，505） B．（﹣506，507） ．（﹣506，506） D．（﹣505，505） 【分析】由图形列出部分点的坐标，根据坐标发现规律“ 4（﹣，），4+1（，﹣1），4+2 （，﹣），4+3（﹣，﹣）”，根据该规律即可求出点2020的坐标． 【解答】解：通过观察，可以发现规律：1（1，0），2（1，﹣1），3（﹣1，﹣1），4 （﹣1，1），5（2，1），6（2，﹣2），7（﹣2，﹣2），8（﹣2，2），…， ∴4（﹣，），4+1（，﹣1），4+2（，﹣），4+3（﹣，﹣）． 2020 ∵ ＝4×505， ∴点2020的坐标为（﹣505，505）． 故选：D． 5．（2022 春•柳南区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上， 向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点1（0，1），2（1， 1），3（1，0），4（2，0），那么2020坐标为（ ） ．（2022，1） B．（2022，0） ．（1010，1） D．（1010，0） 【分析】结合图象可知：纵坐标每四个点循环一次，而2020＝505×4，故2020的纵坐标与 4的纵坐标相同，都等于0；由4（2，0），8（4，0），12（6，0）…可得到以下规律，4 （2，1）（为不为0 的自然数），当＝505 时，2020（1010，0）． 1 【解答】解：由图象可知：纵坐标每四个点循环一次，而2020＝505×4， 故2020的纵坐标与4的纵坐标相同，都等于0； 由4（2，0），8（4，0），12（6，0）…， 可得到规律4（2，0）（为不为0 的自然数）， 当＝505 时，2020（1010，0）． 故选：D． 6．（2022 春•永川区期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中 方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3， 0），……，根据这个规律探索可得，第120 个点的坐标为（ ） ．（16，0） B．（15，14） ．（15，0） D．（14，13） 【分析】经过观察每个列的数的个数是有规律的分别有1，2，3，4…，个，而且奇数列 点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上，这样就不难找到第120 个点的位置， 进而可以写出它的坐标． 【解答】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，依此 类推，则第一列有一个数，第二列有2 个数，…，第列有个数．则列共有n(n+1) 2 个数， 并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上． 因为120＝1+2+3+…+14+15，则第120 个数一定在第15 列，由下到上是第1 个数．因而 第120 个点的坐标是（15，0）． 故选：． 7．（2022 春•黄梅县期中）如下图所示，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向 运动，第1 次从原点运动到点（1，1），第2 次运动到点（2，0），第3 次运动到点 （3，﹣1），…，按照这样的运动规律，点P 第2021 次运动到点（ ） 1 ．（2022，1） B．（2022，0） ．（2022，﹣1） D．（2022，0） 【分析】令P 点第次运动到的点为P 点（为自然数）．列出部分P 点的坐标，根据点的 坐标变化找出规律“P4（4，0），P4+1（4+1，1），P4+2（4+2，0），P4+3（4+3，﹣ 1）”，根据该规律即可得出结论． 【解答】解：令P 点第次运动到的点为P 点（为自然数）． 观察，发现规律：P0（0，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，﹣1），P4（4， 0），P5（5，1），…， ∴P4（4，0），P4+1（4+1，1），P4+2（4+2，0），P4+3（4+3，﹣1）． 2021 ∵ ＝4×505+1， ∴P 第2021 次运动到点（2022，1）． 故选：． 8．（2022 春•青川县期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中 “→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣ 1）…根据这个规律探索可得，第100 个点的坐标为（ ） ．（14，0） B．（14，﹣1） ．（14，1） D．（14，2） 【分析】从图中可以看出横坐标为1 的有一个点，横坐标为2 的有2 个点，横坐标为3 的有3 个点，…依此类推横坐标为的有个点．题目要求写出第100 个点的坐标，我们可 以通过加法计算算出第100 个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数 代入规律式． 【解答】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2 个点…第个有个点， 并且奇数列点数对称而偶数列点数y 轴上方比下方多一个， 1 所以奇数列的坐标为（，n−1 2 ）（，n−1 2 −¿1）…（，1−n 2 ）； 偶数列的坐标为（，n 2）（，n 2−¿1）…（，1−n 2 ）， 由加法推算可得到第100 个点位于第14 列自上而下第六行． 代入上式得（14，14 2 −¿5），即（14，2）． 故选：D． 9．（2022•苏州一模）如图，动点P 从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的 边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2015 次碰到矩形的边时，点P 的坐标 为（ ） ．（3，0） B．（7，4） ．（8，1） D．（1，4） 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6 次反弹为一个循环组依次循环， 用2015 除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【解答】解：如图， 经过6 次反弹后动点回到出发点（0，3）， 2015÷6 ∵ ＝335…5， ∴当点P 第2015 次碰到矩形的边时为第336 个循环组的第5 次反弹， 点P 的坐标为（1，4）． 故选：D． 10．（2022 春•绥中县期末）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1 个单 位长度，P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0， 1 0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据 这个规律，点P2021的坐标为（ ） ．（﹣505，﹣505） B．（﹣505，506） ．（506，506） D．（505，﹣505） 【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4 的倍数的点在第四象限的角平分线上， 被4 除余1 的点在第三象限的角平分线上，被4 除余2 的点在第二象限的角平分线上， 被4 除余3 的点在第一象限的角平分线上，点P2021的在第三象限的角平分线上，且横纵 坐标的绝对值＝（2021 1 ﹣）÷4，再根据第三项象限内点的符号得出答即可． 【解答】解：∵2021÷4＝505•••1， ∴点P2021的在第三象限的角平分线上， ∵点P5（﹣1，﹣1）， ∴点P2021的在第三象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值＝（2021 1 ﹣）÷4， ∴点P2021（﹣505，﹣505）． 故选：． 11．（2022 春•海城市期中）如图，将边长为1 的正方形PB 沿x 轴正方向连续翻转8 次， 点P 依次落在点P、P2、P3、P4、…Px的位置，则点P9的横坐标是（ ） ．5 B．6 ．7 D．9 【分析】观察不难发现，经过四次翻转后点P 的位置为正方形的左上角，即恢复到开始 的位置，经过四次翻折前进的路程为正方形的周长，用8 除以4，根据商为2 确定出为 两个翻转循环的最后一个位置，进而得出P6与P7位置相同，然后求解即可． 1 【解答】解：由图可知，四次翻转后点P 在开始位置，即正方形的左上角， ∵正方形的边长为1， 由图易知：P6与P7位置相同， ∴P9的横坐标为：3+6＝9． 故选：D． 12．（2022 秋•石柱县校级月考）如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对 （m，）表示，如点的位置为（3，3），点B 的位置为（6，2）．点M 从（0，0）开始 移动，规律为：第1 次向右移动1 个单位到（1，0），第2 次向上移动2 个单位到（1， 2），第3 次向右移动3 个单位到（4，2），…，第次移动个单位（为奇数时向右，为偶 数时向上），那么点M 第27 次移动到的位置为（ ） ．（182，169） B．（169，182） ．（196，182） D．（196，210） 【分析】数对表示位置的方法是：第一个表示列，第二个表示行，当向右移动时，列的 数字发生变化，行的数字不变，向上移动时，行的数字发生变化，列的数字不变，据此 即可得解． 【解答】解：根据题意可知：当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变，当向 上移动时，行的数字发生变化，列的数字不变， 所以点M 第27 次移动到的位置时，列的数字是1 27 ﹣﹣ 中所有奇数的和，行的数字是1 27 ﹣﹣ 中所有偶数的和， 即1+3+5+7+9+…+27＝196， 2+4+6+8+…+26＝182， 所以，点M 第27 次移动到的位置为（196，182）， 故选：． 13．（2022•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P 第一次向上跳 动1 个单位至P1（1，1），紧接着第二次向左跳动2 个单位至点P2（﹣1，1），第3 次 向上跳动1 个单位，第4 次向右跳动3 个单位，第5 次又向上跳动1 个单位，第6 次向 左跳动4 个单位，…，依此规律跳动下去，点P 第100 次跳动至点P100 的坐标是（ ） 1 ．（﹣24，49） B．（﹣25，50） ．（26，50） D．（26，51） 【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是 相同的，所以第100 次跳动后，纵坐标为100÷2＝50；其中4 的倍数的跳动都在y 轴的 右侧，那么第100 次跳动得到的横坐标也在y 轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8 横坐标为3，依此类推可得到P100的横坐标． 【解答】解：经过观察可得：以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第 100 次跳动后，纵坐标为100÷2＝50； 其中4 的倍数的跳动都在y 轴的右侧，那么第100 次跳动得到的横坐标也在y 轴右侧． P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：P 的横坐标为÷4+1． 故点P100 的横坐标为：100÷4+1＝26，纵坐标为：100÷2＝50，点P 第100 次跳动至点 P100 的坐标是（26，50）． 故选：． 二．填空题（共10 小题） 14．（2022•烟台模拟）我们把1，1，2，3，5，8，13，…这组数称为斐波那契数列，为了 进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧^ P1 P2，^ P2 P3，^ P3 P4，…得到斐波那契螺 旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0， 1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P8的坐标为 （ 15 ， 4 ） ． 1 【分析】观察图象，推出P8的位置，即可解决问题． 【解答】解：观察发现：P1（0，1）先向左平移1 个单位，再向下平移1 个单位得到P2 （﹣1，0）； P2（﹣1，0）先向右平移1 个单位，再向下平移1 个单位得到P3（0，﹣1）； P3（0，﹣1）先向右平移2 个单位，再向上平移2 个单位得到P4（2，1）； P4（2，1）先向左平移3 个单位，再向上平移3 个单位得到P5（﹣1，4）； P5（﹣1，4）先向左平移5 个单位，再向下平移5 个单位得到P6（﹣6，﹣1）； P6（﹣6，﹣1）先向右平移8 个单位，再向下平移8 个单位得到P7（2，﹣9）； P7（2，﹣9）先向右平移13 个单位，再向上平移13 个单位得到P8（15，4）． 故答为：（15，4）． 15．（2022 春•长汀县期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（y﹣ 1，﹣x 1 ﹣）叫做点P 的友好点，已知点1的友好点为点2，点2的友好点为点3，点3的友 好点为点4，……以此类推，当点1的坐标为（2，1）时，点2022的坐标为 （ 0 ，﹣ 3 ） ． 【分析】根据友好点的定义及点1的坐标为（2，1），顺次写出几个友好点的坐标，可 发现循环规律，据此可解． 【解答】解：观察，发现规律：1（2，1），2（0，﹣3），3（﹣4，﹣1），4（﹣2， 3），5（2，1），…， ∴4+1（2，1），4+2（0，﹣3），4+3（﹣4，﹣1），4+4（﹣2，3）（为自然数）． 2022 ∵ ＝505×4+2， ∴点2022的坐标为（0，﹣3）． 故答为：（0，﹣3）． 16．（2022 春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点P 从原点出发，速度为每秒1 个 单位长度，且点P 只能向上或向右运动，请回答下列问题： （1）将表格填写完整： 点P 出发时间 可得到整数点的坐标 可得到整数点的个数 1 秒 （0，1）（1，0） 2 2 秒 （1，1）（2，0）（0，2） 3 3 秒 （ 0 ， 3 ）（ 1 ， 2 ）（ 2 ， 1 ） （ 3 ， 0 ） 4 （2）当点P 从点出发10 秒，可得到的整数点的个数是 11 ． （3）当点P 从点出发 35 秒时，可得到整数点（28，7）． 【分析】（1）根据点P 的运动规律确定此题结果； 1 （2）根据题意归纳出当点P 从点出发秒，可得到的整数点的个数是+1 可确定此题的结 果； （3）由题意可得当点P 从点出发秒，可得到的整数点都在直线y＝﹣x+上，将整数点 （28，7）代入计算即可． 【解答】解：（1）由题意可得，当点P 从点出发秒，可得到的整数点为（0，3）（1， 2）（2，1）（3，0）， 故答为：（0，3）（1，2）（2，1）（3，0）； （2）根据题意归纳出当点P 从点出发秒，可得到的整数点的个数是+1， 当＝10 时， +1＝10+1＝11， ∴当点P 从点出发10 秒，可得到的整数点的个数是11， 故答为：11； （3）由题意可得当点P 从点出发秒，可得到的整数点都在直线y＝﹣x+上， 则得﹣28+＝7， 解得＝35， ∴当点P 从点出发35 秒时，可得到整数点（28，7）， 故答为：35． 17．（2022•东城区二模）在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原 点出发，第1 步向右走1 个单位，第2 步向右走2 个单位，第3 步向上走1 个单位，第4 步向右走1 个单位，…，依此类推，第步的走法是：当能被3 整除时，则向上走1 个单 位；当被3 除，余数为1 时，则向右走1 个单位；当被3 除，余数为2 时，则向右走2 个单位，当走完第8 步时，棋子所处位置的坐标是 （ 9 ， 2 ） ；当走完第2016 步时， 棋子所处位置的坐标是 （ 2022 ， 672 ） ． 【分析】设走完第步时，棋子所处的位置为点P（为自然数），根据走棋子的规律找出 部分点P 的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P3+1（3+1，），P3+2（3+3，），P3+3 （3+3，+1）”，依此规