专题28.1 锐角的三角函数【十大题型】（解析版）

专题281 锐角的三角函数【十大题型】 【人版】 【题型1 锐角的三角函数概念辨析】.....................................................................................................................2 【题型2 直接根据定义求锐角的三角函数值】.....................................................................................................5 【题型3 构造直角三角形求锐角的三角函数值】..................................................................................................9 【题型4 根据锐角的三角函数值求边长】........................................................................................................... 14 【题型5 根据特殊角的三角函数值求角的度数】...............................................................................................20 【题型6 求特殊角的三角函数值】.......................................................................................................................24 【题型7 同角的三角函数值的证明或求值】.......................................................................................................27 【题型8 互余两角的三角函数关系的计算】.......................................................................................................30 【题型9 利用增减性判断三角函数的取值范围】...............................................................................................33 【题型10 三角函数在等腰直角三角形中的应用】..............................................................................................35 【知识点1 锐角三角函数】 在 中， ，则 的三角函数为 【知识点2 特殊角的三角函数值】 三角函数 30° 45° 60°  sin 2 1 2 2 2 3  cos 2 3 2 2 2 1  tan 3 3 1 3 【题型1 锐角的三角函数概念辨析】 【例1】（2022·广东·佛山市南海区金石实验中学九年级期中）在△B 中，∠＝90°，BC AB =3 5 ，则（ ） 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 斜边 的对边 A A   sin c a A  sin 1 sin 0   A (∠为锐角) B A cos sin  B A sin cos  1 cos sin 2 2   A A 余弦 斜边 的邻边 A A   cos c b A  cos 1 cos 0   A (∠为锐角) 正切 的邻边 的对边 A tan    A A b a A  tan 0 tan  A (∠为锐角) 1 ．s＝3 5 B．sB＝3 5 ．t＝4 3 D．tB＝4 3 【答】D 【分析】设B=5，B=3，则=4，然后根据三角函数的定义逐项排查即可． 【详解】解：设B=5，B=3，则=4， 则s＝AC AB ＝4 a 5a = 4 5 ，故错误； sB＝BC AB ＝4 a 5a = 4 5 ，故B 错误； t＝BC AC = 3a 4 a= 3 4 ，故错误； tB＝AC BC = 4 k 3k ＝4 3 ，故D 正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成 为解答本题的关键． 【变式1-1】（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt△B 中，D 是斜边B 上的高，∠ ≠45°，则下列比值中不等于cos B的是（ ） ．CD AC B．BD CB ．CD CB D．CB AB 【答】 【分析】根据已知可得∠B=∠D，然后利用锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】．∵D⊥B， ∴∠DB=∠DB=90°， ∴∠B+∠BD=90°， ∵∠B=90°， ∴∠D+∠BD=90°， 1 ∴∠B=∠D， 在Rt△D 中，s∠D=CD AC ， s ∴B=CD AC ， 故不符合题意； B．在Rt△DB 中，sB=BD CB ，故B 不符合题意； ．在Rt△DB 中，s∠BD=CD CB ， ≠45° ∵∠ ， ∴∠B≠45°， ∴∠B≠∠BD， s ∴B≠CD CB ， 故符合题意； D．在Rt△B 中，sB=CB AB ，故D 不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置 无关是解题的关键． 【变式1-2】（2022·全国·九年级课时练习）在△B 中，∠＝90°，∠、∠B、∠的对边分别是、 b、，下列结论正确的是（ ） ．b＝•s B．b＝•t ．＝•s D．＝•sB 【答】D 【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角的对边与斜边的比叫做∠的正弦，记 作s．（2）余弦：锐角的邻边b 与斜边的比叫做∠的余弦，记作s．（3）正切：锐角的对 边与邻边b 的比叫做∠的正切，记作t．分别进行分析即可． 【详解】解：在直角△B 中，∠＝90°，则 s＝a c ，则a=c·sin A，故选项错误、选项错误； t＝a b ，则b＝ a tan A ，故B 选项错误； sB＝a c ，则＝sB，故D 选项正确； 故选：D． 1 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 【变式1-3】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）图①、图②是两张形状、 大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1 ， 点、点B 和点在小正方 形的顶点上 请在图①、图②中各画一个图形， 满足以下要求： (1)在图①中以AB和BC为边画四边形ABCE， 点E在小正方形的顶点上， 且此四边形有 两组对边相等． (2)在图②中以AB为边画△ABD， 使tan∠ADB= 3 4 ． 【答】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】（1）根据该四边形有两组对边相等可知这个四边形是平行四边形，根据平行四边 形的对边互相平行即可作出； （2）根据正切值的定义即可作出△ABD． （1） 解：作图如下： 根据该四边形有两组对边相等可知这个四边形是平行四边形， 再由平行四边形的对边互相平行可知，D∥B， 由B 平移可以得到D， 1 ∵点B 向上平移三个单位，向右平移一个单位，得到点， ∴点向上平移三个单位，向右平移一个单位，即可得到点D． （2） △ABD如下图， BE=3，DE=4，∠BED=90°， tan∠ADB= BE DE = 3 4 ． 【点睛】本题考查在格中作图，需要熟练掌握平行四边形的对边平行且相等，正切值的定 义． 【题型2 直接根据定义求锐角的三角函数值】 【例2】（2022·山东·肥城市湖屯镇初级中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中， AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F 处，那么sin∠EFC的值为( )． ．1 3 B．4 5 ．2 3 D．3 5 【答】B 【分析】根据折叠的性质，得AF=AD=5，EF=DE，由勾股定理得BF=4，进而得 CF=1，设CE=x，则DE=EF=3−x，根据勾股定理，列出方程，求出x 的值，即可得 到答． 【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=5，AB=CD=3． ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF=AD=5，EF=DE， 1 ∵在Rt △ABF中，BF= ❑ √A F 2−A B 2=4， ∴CF=BC−BF=5−4=1， 设CE=x，则DE=EF=3−x， ∵在Rt △ECF中， C E 2+F C 2=E F 2， ∴x 2+1 2=(3−x ) 2，解得：x= 4 3 ， ∴EF=3−x=5 3， ∴sin∠EFC=CE EF = 4 5 ． 故选B． 【点睛】本题主要考查矩形中折叠的性质以及勾股定理和正弦三角函数的定义，掌握勾股 定理，列方程，是解题的关键． 【变式2-1】（2022·河南南阳·九年级期末）如图，在菱形BD 中，DE⊥B，cos A=3 5，BE ＝2，则t∠DBE 的值是（ ） ．1 2 B．2 ． ❑ √5 2 D． ❑ √5 5 【答】B 【分析】在直角三角形DE 中，cos A=3 5=AE AD =AB−BE AD ，求得D，E．再求得DE，即 可得到t DBE ∠ ． 【详解】设菱形BD 边长为t． BE ∵ ＝2， E ∴＝t−2． ∴cos A=3 5=AE AD =AB−BE AD ， ∴3 5=t−2 t ， t ∴＝5． E ∴＝5−2＝3． 1 DE ∴ ＝❑ √AD 2−AE 2＝❑ √5 2−3 2＝4． t DBE ∴∠ ＝DE BE = 4 2 ＝2． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握边角之间的关系． 【变式2-2】（2022·广东·惠州一中二模）如图，在等腰三角形B 中，AB=AC=6,BC=8， 点D 为B 的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（ ） ． ❑ √5 2 B． ❑ √5 3 ．2 3 D．3 4 【答】B 【分析】如图所示，连接AD，由D为BC中点得出BD=DC=4，AD⊥BC，从而根据 勾股定理得出AD=2❑ √5，然后由∠B+∠BDE=90°，∠B+∠BAD=90°得出 ∠BDE=∠BAD，最后根据三角函数定义即可得出答． 【详解】如图所示，连接AD， ∵AB=AC=6，BC=8，D为BC中点， ∴AD⊥BC，BD=DC=4， ∴AD= ❑ √A B 2−B D 2= ❑ √6 2−4 2=2❑ √5， ∵∠B+∠BDE=90°，∠B+∠BAD=90°， ∴∠BDE=∠BAD， ∴cos∠BDE=cos∠BAD= AD AB =2❑ √5 6 = ❑ √5 3 ． 故选：B． 1 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及三角函数的定义，解题的关键是通过 等量代换得出∠BDE=∠BAD，进而得出答． 【变式2-3】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在长方形BD 中，AB=5，AD=3，点 E 在B 上，点F 在B 上．若AE=2，CF=1，则sin (∠1+∠2)=¿（ ） ．1 2 B． ❑ √2 2 ． ❑ √3 2 D． ❑ √3 3 【答】B 【分析】连接EF，求证△DEF 是等腰直角三角形，得∠EDF=45°，所以∠1+∠2=45 ∘， 即可求解． 【详解】解：连接EF， ∵四边形BD 是长方形， = ∴∠∠B= = ∠∠D=90°，B=D=3，D=B=5， 在Rt△DE 中，D=3，E=2， ∴D E 2=A D 2+ A E 2=3 2+2 2=13， ∵B=5， ∴BE=B-E=3， ∵F=1， ∴BF=B-F=2， 在在Rt△EBF 中， ∴E F 2=B E 2+B F 2=3 2+2 2=13， ∴EF=DE 在Rt△DF 中， ∴D F 2=DC 2+C F 2=5 2+1 2=26， 26=13+13 ∵ ，即：D F 2=D E 2+E F 2， 1 ∴∠DEF=90°， ∴∠EDF=∠DFE=45°， ∴∠1+∠2=∠ADC−∠EDF=45 ∘， ∴sin (∠1+∠2)=sin 45 ∘= ❑ √2 2 ． 故选B． 【点睛】本题考查长方形的性质、勾股定理及其逆定理、正弦函数，根据勾股定理的逆定 理证明出△DEF 是等腰直角三角形是解题的关键． 【题型3 构造直角三角形求锐角的三角函数值】 【例3】（2022·浙江·九年级专题练习）如图，，B，，D 均为格图中的格点，线段B 与D 相交于点P，则∠PD 的正切值为（ ） ．3 B．2 ．2❑ √2 D．3 ❑ √2 【答】 【分析】过作M B ∥，过D 作D⊥M 于，从而可得∠PD＝∠D，然后利用勾股定理求出、D 的 值，最后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】：连接M，D， 由题意得：M∥B， ∴∠PD＝∠D， 由题意得： 2＝12+12＝2， D2＝32+32＝18， ∴CN=❑ √2, DN=❑ √18=3 ❑ √2， 1 t ∴∠D＝DN CN ＝3 ❑ √2 ❑ √2 ＝3， ∴∠PD 的正切值为：3， 故选：． 【点睛】本题考查锐角三角函数与勾股定理的综合应用，熟练掌握平行线的性质、勾股定 理的应用、正切函数的概念是解题关键 ． 【变式3-1】（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，在Rt △ABC中，斜边AB=3， BC=1，点D 在B 上，且BD AD =1 3，则tan∠BCD的值是（ ） ．1 3 B．1 ．2❑ √2 3 D．3 ❑ √3 2 【答】 【分析】过点D 作DE⊥B 于点E，构造含∠BD 的Rt△DE，分别算出DE、E 的长，利用正 切的定义计算即可． 【详解】如图，过点D 作DE⊥B 于点E， ∵∠B=∠DEB=90°， ∴∥DE = ∴∠∠EDB ∴△B∽△DEB（） ∵BD AD =1 3， ∴BD AB = 1 4 又∵B=3，B=1 ∴BE= 1 4 ，CE= 3 4 ，BD= 3 4 ∵Rt△BDE 1 ∴DE= ❑ √B D 2−B E 2= ❑ √2 2 ∵B=1 ∴CE=BC−BE= 3 4 ∴tan∠BCD= DE CE =2❑ √2 3 故选． 【点睛】本题考查了正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，正切值 定义的成立条件是在直角三角形中，这点是容易被忽略的易错点． 【变式3-2】（2022·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，将△B 沿着E 翻折，使点落在 点D 处，D 与B 交于点F，恰好有E＝F，若DF＝4❑ √2，F＝12，则t∠EF＝___． 【答】❑ √7 【分析】如图，作⊥B 于．设F=E=x．由F=E，⊥EF，推出F=E，设F=E=y，根据勾股定 理可得x 2−y 2=( x+4 ❑ √2) 2−(12−y) 2,证明△EFD∽△E，可得4 ❑ √2 12−2 y =2 y x ,解方程组， 进而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，作⊥B 于．设F=E=x， ∵F=E，⊥EF， ∴F=E，设F=E=y， 1 则有x 2−y 2=( x+4 ❑ √2) 2−(12−y) 2, 整理得❑ √2 x+3 y=14①， ∵∠FE=∠EF，∠FE=∠D+∠FED，∠EF= + ∠∠E，∠=∠D， ∴∠FED=∠E， ∴△EFD∽△E， ∴DF AE = EF EC ， ∴4 ❑ √2 12−2 y =2 y x ,整理得❑ √2 x=6 y−y 2②， 由①②可得x=4❑ √2，y=2， ∴CH= ❑ √x 2−y 2=2❑ √7， ∴tan∠CEF=CH EH =2❑ √7 2 =❑ √7， 故答为❑ √7． 【点睛】本题考查翻折变换、求正切、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函 数等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题 【变式3-3】（2022·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在△B 中，∠B＝90°，点D 在B 的延长线上，连接D，若B＝2BD，t∠BD＝1 2 ，则AC BC 的值为 _____． 【答】3 2 【分析】过点D 作DM⊥M，交B 的延长线于点M，可得∠DM＝90°，在Rt△DM 中，利用 锐角三角函数的定义可设DM＝，则M＝2，然后证明8 字模型相似三角形△B∽△DMB，从 而利用相似三角形的性质可得AB BD ＝AC DM ＝CB BM ＝2，进而可得＝2，B＝4 3 ，最后进行计 算即可解答． 【详解】解：过点D 作DM⊥M，交B 的延长线于点M， 1 ∴∠DM＝90°， 在Rt△DM 中，t∠BD＝1 2 ， t ∴∠DM＝DM CM ＝1 2 ， 设DM＝，则M＝2， ∵∠B＝∠DM＝90°，∠B＝∠DBM， ∴△B∽△DMB， ∴AB BD ＝AC DM ＝CB BM ＝2， ∴＝2DM＝2， ∴CB=2 3 CM =4 3 a， ∴AC BC ＝ 2a 4 a 3 ＝3 2 ， 故答为：3 2 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结 合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【题型4 根据锐角的三角函数值求边长】 【例4】（2022·全国·九年级课时练习）如图，等腰Rt△B 中，∠=90°，B=，BD 为△B 的角 平分线，若CD=2，则AB的长为（ ） ．3 B．2❑ √2+2 ．4 D．❑ √2+2 1 【答】D 【分析】过点D 作DE⊥B 于点E，设B==x，则D=x-2，根据等腰Rt△B 中， ∠A=90° , AB=AC，得到∠=45°，根据BD 为△B 的角平分线，∠=90°，DE⊥B，推出 DE=D=x-2，运用∠的正弦即可求得． 【详解】解：过点D 作DE⊥B 于点E，则∠DEB=∠DE=90°， 设B==x，则D=x-2， ∵等腰Rt△B 中，，∠=90°，B=，， = ∴∠（180°-∠）=45°， ∵BD 为△B 的角平分线， ∴DE=D