第32讲 锐角三角函数及其应用（讲义）（解析版）

第32 讲 锐角三角函数及其应用 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 锐角三角函数 题型01 理解正弦、余弦、正切的概念 题型02 求角的正弦值 题型03 求角的余弦值 题型04 求角的正切值 题型05 已知正弦值求边长 题型06 已知余弦值求边长 题型07 已知正切值求边长 题型08 含特殊角的三角函数值的混合运算 题型09 求特殊角的三角函数值 题型10 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型11 用计算器求锐角三角函数值 题型12 已知角度比较三角函数值大小 题型13 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型14 利用同角三角函数关系求解 题型15 求证同角三角函数关系式 题型16 互余两角三角函数关系 考点二 解直角三角形 题型01 构造直角三角形解直角三角形 题型02 格中解直角三角形 题型03 在坐标系中解直角三角形 题型04 解直角三角形的相关计算 题型05 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 考点三 解直角三角形的应用 题型01 仰角、俯角问题 类型一 利用水平距离测量物体高度 类型二 测量底部可以到达的物体高度 类型三 测量底部不可到达的物体的高度 题型02 方位角问题 题型03 坡度坡比问题 题型04 坡度坡比与仰角俯角问题综合 考点要求 新课标要求 命题预测 锐角三角函数  利用相似的直角三角形，探索并认识锐角 三角函数(s，s，t)  知道 30°，45°，60°角的三角函数值  会使用计算器由已知锐角求它的三角函数 值，由已知三角函数值求它的对应锐角 锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考 点,其考察内容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定 义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用 等出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、格 图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型预 计2024 年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在 牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅 助线构造直角三角形，是得分的关键 解直角三角形  能用锐角三角函数解直角三角形，能用相 关知识解决一些简单的实际问题 解直角三角形 的应用 考点一 锐角三角函数 1 锐角三角函数的概念：锐角的正弦、余弦、正切都叫做∠的锐角三角函数．（其中：0＜∠＜90°） 2 正弦、余弦、正切的概念 定义 表达式 图形 正弦 sin A=∠A 的对边 斜边 sin A=a c a c b C B A 余弦 cos A=∠A 的邻边 斜边 cos A=b c 正切 tan A= ∠A 的对边 ∠A 的邻边 tan A=a b 3 锐角三角函数的关系： 在Rt△B 中，若∠为直角，则∠与∠B 互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系：tan A= sin A cos A ，sin 2 A+cos 2 A=1 2) 互余两角的三角函数关系：s = s B, s B = s , tan A • tan B=1 4 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° ❑ √2 2 ❑ √3 2 cos α ❑ √3 2 ❑ √2 2 1 2 tan α ❑ √3 3 1 ❑ √3 【补充】表中是特殊角的三角函数值反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角 5 锐角三角函数的性质 性质 前提：0°＜∠＜90° s 随∠的增大而增大 s 随∠的增大而减小 t 随∠的增大而增大 1 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省 略角的符号“∠”,如 t 、s 、s 若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示它的正弦、 余弦及正切时,不能省略角的符号“∠”,如s∠B，s∠2，t∠1 2 t 乘方时,一般写成tan n A,它与(tan A ) n含义相同(正弦、余弦相同) 3 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的 而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是两 条线段长的比因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三 角形的边长无关 根据定义求 角 数值时 定根据题 图形来 解 严格按照 角 数的定义求解 有时需要通 题型01 理解正弦、余弦、正切的概念 【例1】（2022·湖北·统考模拟预测）如图，在Rt △ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比 值中等于sin A的是（ ）． ．AD AB B．BD AD ．BD BC D．DC BC 【答】D 【分析】由同角的余角相等求得∠=∠DB，根据正弦三角函数的定义判断即可； 【详解】解： ∠ ∵ BD+ =90° ∠ ，∠BD+∠DB=90°， = ∴∠∠DB， ．AD AB =s，不符合题意； B．BD AD =t，不符合题意； ．BD BC =s∠DB=s，不符合题意； D．DC BC =s∠DB=s，符合题意； 故选： D． 【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键． 【变式1-1】（2021·浙江杭州·统考一模）在△B 中，∠＝90°，BC AB =3 5，则（ ） ．s＝3 5 B．sB＝3 5 ．t＝4 3 D．tB＝4 3 【答】D 【分析】设B=5，B=3，则=4，然后根据三角函数的定义逐项排查即可． 【详解】解：设B=5，B=3，则=4， 则s＝AC AB ＝4 a 5a = 4 5 ，故错误； sB＝BC AB ＝4 a 5a = 4 5 ，故B 错误； t＝BC AC = 3a 4 a= 3 4 ，故错误； tB＝AC BC = 4 k 3k ＝4 3 ，故D 正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关 键． 【变式1-2】（2023·福建泉州·统考一模）在Rt △ABC中，∠C=90°，sin A=3 5，则cos A的值是 （ ） ．3 5 B．3 4 ．4 5 D．5 ❑ √34 34 【答】 【分析】根据三角函数的定义得到BC AB =3 5，设BC=3k，AB=5k，利用勾股定理得到AC=4 k，即可求 出cos A的值． 【详解】解：如图，Rt △ABC中，∠C=90°，sin A=3 5， ∴BC AB =3 5， 设BC=3k，AB=5k， 由勾股定理得：AC= ❑ √A B 2−BC 2=4 k， ∴cos A= AC AB = 4 k 5k = 4 5 ， 故选：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 【变式1-3】（2022·河北唐山·统考二模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的 是（ ） ．sin α的值越大，梯子越陡 B．cosα的值越大，梯子越陡 ．tan α的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠α的函数值无关 【答】 【分析】根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值和正切值随着角的增大而增大，余弦值随着角增大而减 小，逐一判断即可． 【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sin α的值越大，梯子越陡，故符合题意； cosα的值越小，梯子越陡，故B 不符合题意； tan α的值越大，梯子越陡，故不符合题意； 陡缓程度与∠α的函数值有关，故D 不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题的关键． 【变式1-4】（2021·浙江杭州·统考三模）在△B 中，∠＝90°，∠、∠B、∠的对边分别是、b、，下列结 论正确的是（ ） ．b＝•s B．b＝•t ．＝•s D．＝•sB 【答】D 【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角的对边与斜边的比叫做∠的正弦，记作s．（2）余 弦：锐角的邻边b 与斜边的比叫做∠的余弦，记作s．（3）正切：锐角的对边与邻边b 的比叫做∠的正切， 记作t．分别进行分析即可． 【详解】解：在直角△B 中，∠＝90°，则 s＝a c ，则a=c·sin A，故选项错误、选项错误； t＝a b，则b＝ a tan A ，故B 选项错误； sB＝a c ，则＝sB，故D 选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 【变式1-5】（2019·湖南邵阳·校联考一模）在Rt△B 中，∠＝90°，各边都扩大5 倍，则t 的值（ ） ．不变 B．扩大5 倍 ．缩小5 倍 D．不能确定 【答】 【分析】利用∠的大小没有变进行判断． 【详解】解： ∠＝ ∵ 90°，各边都扩大5 倍所得的三角形与原三角形相似， ∴∠的大小没有变， ∴t 的值不变． 故选：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△B 中，∠＝90°．把锐角的对边与斜边的比叫做∠的正弦， 记作s． 【变式1-6】（2021·辽宁抚顺·统考一模）如图，在△ABC中，∠＝90°，设∠，∠B，∠所对的边分别为， b，，则（ ） ．＝bsB B．b＝sB ．＝btB D．b＝tB 【答】B 【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题． 【详解】∵Rt △ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为、b、 ∴sin B=b c ，即b=c sin B，则选项不成立，B 选项成立 tan B=b a ，即b=a tan B，则、D 选项均不成立 故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键． 题型02 求角的正弦值 【例2】（2022·江西·模拟预测）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于 点C、D，若CD=12，PA=8，则sin∠ADB的值为（ ） ．4 5 B．3 5 ．3 4 D．4 3 【答】 【分析】连接，根据切线长的性质得出P=PB，P 平分∠PB，⊥P，再证△PD≌△BPD（SS），然后证明 ∠P=∠DP+∠D=∠DP+∠BDP=∠DB， 利用勾股定理求出P=❑ √O A 2+ A P 2=10，最后利用三角函数定义计 算即可． 【详解】解：连接 ∵PA、PB分别与⊙O相切于点、B， ∴P=PB，P 平分∠PB，⊥P， ∴∠PD=∠BPD， 在△PD 和△BPD 中， ¿， ∴△PD≌△BPD（SS） ∴∠DP=∠BDP， = ∵D=6， ∴∠D=∠DP=∠BDP， ∴∠P=∠DP+∠D=∠DP+∠BDP=∠DB， 在Rt△P 中，P=❑ √O A 2+ A P 2=10， s ∴∠DB= AP OP = 8 10= 4 5 ． 故选． 【点睛】本题考查圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握圆的切线性质， 三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键． 【变式2-1】（2020·江苏扬州·统考模拟预测）如图，由边长为1 的小正方形构成的格中，点，B，都在格 点上，以B 为直径的圆经过点、D，则sin∠ADC的值为（ ） ．2❑ √13 13 B．3 ❑ √13 13 ．2 3 D．3 2 【答】 【分析】首先根据圆周角定理可知，∠B＝∠ADC，在Rt B △ 中，根据锐角三角函数的定义求出∠B 的正 弦值． 【详解】∵∠ADC和∠B 所对的弧长都是´ AC， ∴根据圆周角定理知，∠B＝∠ADC， ∴在Rt B △ 中，B=❑ √A C 2+BC 2= ❑ √2 2+3 2=❑ √13 根据锐角三角函数的定义知，s B ∠＝AC AB = 2 ❑ √13=2❑ √13 13 ， ∴sin∠ADC=2❑ √13 13 ， 故选． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求 ∠ADC的正弦值转化成求∠B 的正弦值，本题是一道比较不错的习题． 【变式2-2】（2020·山东聊城·统考模拟预测）如图，在4×5的正方形格中，每个小正方形的边长都是1， △ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）． ．3 ❑ √5 5 B． ❑ √17 5 ．3 5 D．4 5 【答】D 【分析】过点作AD⊥BC于点D，在Rt △ACD中，利用勾股定理求得线段的长，再按照正弦函数的定义 计算即可． 【详解】解：如图，过点作AD⊥BC于点D，则∠ADC=90°， ∴AC= ❑ √A D 2+C D 2=5， ∴sin∠ACB= AD AC = 4 5 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 题型03 求角的余弦值 【例3】（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，在4×4格正方形中，每个小正方形的边长为 1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（ ） ． ❑ √5 5 B． ❑ √10 5 ．2❑ √5 5 D．4 5 【答】 【分析】过点作B 的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作B 的垂线交B 于一点D，如图所示， ∵每个小正方形的边长为1， ∴AC=❑ √5,BC=❑ √10, AB=5， 设AD=x，则BD=5−x， 在Rt △ACD中，DC 2=A C 2−A D 2, 在Rt △BCD中，DC 2=BC 2−B D 2, ∴10−(5−x) 2=5−x 2， 解得x=2， ∴cos∠BAC= AD AC = 2 ❑ √5=2❑ √5 5 ， 故选：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形． 【变式3-1】（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D 是⊙O的直径．若 CD=10，弦AC=6，则cos∠ABC的值为（ ） ．4 5 B．3 5 ．4 3 D．3 4 【答】 【分析】连接D，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得D 的长，然后即可求得∠D 的余 弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠B=∠D，从而可以得到s∠B 的值． 【详解】解：连接D，如右图所示， ∵D 是 的直径， ⊙ D=10，弦=6， ∴∠D=90°， ∴D=❑ √C D 2−A C 2=8， ∴s∠D= AD CD = 8 10=4 5 ， ∵∠B=∠D， ∴s∠B 的值为4 5 ， 故选：． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出 s∠D 的值，利用数形结合的思想解答． 【变式3-2】（2023·内蒙古乌兰察布·校考模拟预测）如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1 的正方形 格上，则cos∠BAC的值为 ． 【答】 ❑ √2 2 【分析】根据A C 2=1 2+3 2=10，BC 2=1 2+3 2=10，A B 2=2 2+4 2=20，得到A C 2+BC 2= A B 2，推出 △ABC是直角三角形，∠ACB=90°，推出cos∠BAC = AC AB = ❑ √10 ❑ √20 = ❑ √2×5 2❑ √5 = ❑ √2 2 ． 【详解】如图，∵A C 2=1 2+3 2=10，BC 2=1 2+3 2=10，A B 2=2 2+4 2=20， ∴A C 2+BC 2= A B 2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， ∴cos∠BAC = AC AB = ❑ √10 ❑ √20 = ❑ √2×5 2❑ √5 = ❑ √2 2 故答为： ❑ √2 2 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角函数等．解决问题的关键是熟练掌握勾股定 理解直角三角形，勾股定理的逆定理判断直角三角形，锐角三角函数定义． 【变式3-3】（2022·广东中山·统考一模）如图，B 为 的直径，点在直径 ⊙ B 上（点与，B 两点不重合）， ＝3，点D 在 上且满足＝ ⊙ D，连接D 并延长到E 点，使BE＝BD． (1)求证：BE 是 的切线； ⊙ (2)若BE＝6，试求s∠D 的值． 【答】(1)证明见解析 (2) ❑ √10 10 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠DB＝90°，从而可得∠BDE+∠D＝90°，根据等腰三角 形的性质以及对顶角相等可得∠EB＝∠D，然后根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠BDE，从而可得 ∠E+∠BE＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠EB＝90°，即可解答； （2）设 的半径为 ⊙ r，则＝D＝3+r，在Rt△BD 中，利用勾股定理可求出r＝5，从而求出B＝2，然后在 Rt△EB 中，根据勾股定理可求出E 的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵B 为 的直径， ⊙ ∴∠DB＝90°， ∴∠BDE+∠D＝90°， ∵＝D， ∴∠D＝∠D， ∵∠D＝∠EB， ∴∠EB＝∠D， ∵EB＝DB， ∴∠E＝∠BDE， ∴∠E+∠BE＝90°， ∴∠EB＝180°﹣ （∠E+∠EB）＝90°， ∵B 是 的半径， ⊙ ∴BE 是 的切线； ⊙ （2）解：设 的半径为 ⊙ r， ∵＝3， ∴＝D＝+＝3+r， ∵BE＝6， ∴BD＝BE＝6， 在Rt△BD 中，BD2+D2＝B2， 36+ ∴ （r+3）2＝（2r）2， ∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去）， ∴B＝B﹣ ＝5 3 ﹣＝2， 在Rt△EB 中，E＝❑ √EB 2+BC 2＝❑ √6 2+2 2＝2❑ √10， s ∴∠EB＝BC EC ＝ 2 2❑ √10＝ ❑ √10 10 ， s ∴∠D＝s∠EB＝ ❑ √10 10 ， s ∴∠D 的值为 ❑ √10 10 ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数 的定义是解题的关键． 题型04 求角的正切值 【例4】（2023·江苏扬州·统考二模）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理 念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点，F，B，D，，E 是正六边形的六个顶点，则t∠BE＝ ． 【答】 ❑ √3 3 【分析】由正六边形的性质得B＝B＝，BE 垂直平分，再由等边三角形的性质得∠B＝60°，则∠BE＝1 2 ∠B＝30°，即可得出结论． 【详解】连接B、， ∵点，F，B，D，，E 是正六边形的六个顶点， ∴B＝B＝，BE 垂直平分， ∴△ B 是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵BE⊥， ∴∠BE＝1 2∠B＝30°， t ∴∠BE＝t30°＝ ❑ √3 3 ， 故答为： ❑ √3 3 ． 【点睛