第32讲 锐角三角函数及其应用（练习）（解析版）

第32 讲 锐角三角函数及其应用 目 录 题型01 理解正弦、余弦、正切的概念 题型02 求角的正弦值 题型03 求角的余弦值 题型04 求角的正切值 题型05 已知正弦值求边长 题型06 已知余弦值求边长 题型07 已知正切值求边长 题型08 含特殊角的三角函数值的混合运算 题型09 求特殊角的三角函数值 题型10 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型11 用计算器求锐角三角函数值 题型12 根据特殊角的三角函数值求角的度数 题型13 已知角度比较三角函数值大小 题型14 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型15 利用同角三角函数关系求解 题型16 互余两角三角函数关系 题型17 构造直角三角形解直角三角形 题型18 格中解直角三角形 题型19 在坐标系中解直角三角形 题型20 解直角三角形的相关计算 题型21 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型22 仰角、俯角问题 题型23 方位角问题 题型24 坡度坡比问题 题型25 坡度坡比与仰角俯角问题综合 题型01 理解正弦、余弦、正切的概念 1．（2022·湖北·统考模拟预测）如图，在Rt △ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中 等于sin A的是（ ）． ．AD AB B．BD AD ．BD BC D．DC BC 【答】D 【分析】由同角的余角相等求得∠=∠DB，根据正弦三角函数的定义判断即可； 【详解】解：∵∠BD+ =90° ∠ ，∠BD+∠DB=90°， = ∴∠∠DB， ．AD AB =s，不符合题意； B．BD AD =t，不符合题意； ．BD BC =s∠DB=s，不符合题意； D．DC BC =s∠DB=s，符合题意； 故选： D． 【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键． 2．（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5 米，此时钢球距地面的高度是（单位： 米）（ ） ．5cos31° B．5sin31° ． 5 sin31° D．5 tan31° 【答】B 【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函 数求解． 【详解】∵铁球上滚的距离× sin31° ¿铁球距地面的高度， ∴铁球距地面的高度¿ 5sin31°． 故选：B． 【点睛】本题考查了一个角的正弦等于这个角的对边比斜边，熟知三角形的正弦函数是解题的关键． 3．（2023·湖北宜昌·统考二模）如图，在Rt△B 中，D 是斜边B 上的高，∠≠45°，则下列比值中不等于 cos B的是（ ） ．CD AC B．BD CB ．CD CB D．CB AB 【答】 【分析】根据已知可得∠B=∠D，然后利用锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】．∵D⊥B， ∴∠DB=∠DB=90°， ∴∠B+∠BD=90°， ∵∠B=90°， ∴∠D+∠BD=90°， ∴∠B=∠D， 在Rt△D 中，s∠D=CD AC ， s ∴B=CD AC ， 故不符合题意； B．在Rt△DB 中，sB=BD CB ，故B 不符合题意； ．在Rt△DB 中，s∠BD=CD CB ， ≠45° ∵∠ ， ∴∠B≠45°， ∴∠B≠∠BD， s ∴B≠CD CB ， 故符合题意； D．在Rt△B 中，sB=CB AB ，故D 不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关 键． 题型02 求角的正弦值 1．（2022·山东济宁·统考二模）如图，AB为⊙O的直径，点P 在AB的延长线上，PC , PD与⊙O相切， 切点分别为，D．若AB=6, PC=4，则sin∠CAD等于（ ） ．3 5 B．2 5 ．3 4 D．4 5 【答】D 【分析】连接，P，DP 是⊙的切线，根据定理可知∠P＝90°，∠P＝∠PD，利用三角形的一个外角等于与其 不相邻的两个内角的和可求∠D=∠P，在Rt△P 中求出sin∠COP即可． 【详解】解：连接， P，DP 是⊙的切线，则∠P＝90°，∠P＝∠PD， ∠ ∴ D=2∠P， = ∵ ∠ ∴ ＝∠， ∠ ∴ P＝2∠ ∠ ∴ P＝∠D ∵AB=6 =3 ∴ 在Rt△P 中，=3，P=4 ∴P=5． ∴sin∠CAD=sin∠COP=4 5 故选：D． 【点睛】本题利用了切线的性质，锐角三角函数，三角形的外角与内角的关系求解． 2．（2017·广东东莞·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)，那么sin α的值是 （ ） ．3 4 B．4 3 ．4 5 D．3 5 【答】D 【分析】过作B⊥x 轴于点B，在Rt△B 中，利用勾股定理求出，再根据正弦的定义即可求解 【详解】如图，过作B⊥x 轴于点B， ∵的坐标为(4,3) ∴B=4，B=3， 在Rt△B 中，OA= ❑ √OB 2+AB 2= ❑ √4 2+3 2=5 ∴sin α =AB OA = 3 5 故选：D． 【点睛】本题考查求正弦值，利用坐标求出直角三角形的边长是解题的关键． 3．（2023·浙江金华·校考一模）如图，在6×6正方形格中，△ABC的顶点A、B、C都在格线上，且都是 小正方形边的中点，则sin A=¿ ． 【答】4 5 /08 【分析】如图所示，过点作E⊥B 于E，先求出E，E 的长，从而利用勾股定理求出的长，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作E⊥B 于E， 由题意得CE=4，AE=3， ∴AC= ❑ √A E 2+C E 2=5， ∴sin A = CE AC = 4 5 ， 故答为：4 5 ． 【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理与格问题正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 题型03 求角的余弦值 1．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D 是⊙O的直径．若CD=10，弦 AC=6，则cos∠ABC的值为（ ） ．4 5 B．3 5 ．4 3 D．3 4 【答】 【分析】连接D，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得D 的长，然后即可求得∠D 的余弦 值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠B=∠D，从而可以得到s∠B 的值． 【详解】解：连接D，如右图所示， ∵D 是⊙的直径，D=10，弦=6， ∴∠D=90°， ∴D=❑ √C D 2−A C 2=8， ∴s∠D= AD CD = 8 10=4 5 ， ∵∠B=∠D， ∴s∠B 的值为4 5 ， 故选：． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出 s∠D 的值，利用数形结合的思想解答． 2．（2022·安徽合肥·统考二模）如图，在△B 中，B=，∠=36°，BD 平分∠B，交于点D，则s=（ ） ． ❑ √5−1 4 B． ❑ √5+1 4 ． ❑ √5−1 2 D．3−❑ √5 2 【答】B 【分析】过点D 作DE⊥B 于E，设B==，B=b．根据等边对等角，三角形内角和定理求出∠B 和∠，根据角 平分线的定义求出∠BD 和∠BD，根据三角形外角的性质求出∠BD，根据等角对等边确定D=BD=B，并用b 表示出D 的长度，进而表示出D 的长度，根据该等腰三角形的性质用来表示E 的长度，根据相似三角形的 判定定理和性质列出比例式，并用表示b，进而用表示D 的长度，最后根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：如下图所示，过点D 作DE⊥B 于E，设B==，B=b． ∵B=，∠=36°， ∴∠ABC=∠C=180°−∠A 2 =72°． ∵BD 平分∠B， ∴∠ABD=∠CBD=1 2 ∠ABC=36°． = ∴∠∠BD=∠BD，∠BD= + ∠∠BD=72°． ∴∠BD=∠，D=BD． ∴D=BD=B=b． ∴DC=AC−AD=a−b． ∵DE⊥B， ∴AE=1 2 AB=1 2 a． ∵∠B=∠BD， ∴△ABC ∽△BDC． ∴AB BD = BC DC ． ∴a b= b a−b． ∴用表示b 得b1= ❑ √5−1 2 a，b2=−1−❑ √5 2 a（舍）． ∴b= ❑ √5−1 2 a． ∴AD= ❑ √5−1 2 a． ∴cos A= AE AD = 1 2 a ❑ √5−1 2 a = ❑ √5+1 4 ． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，等角对等边，三角形外角的性质， 等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的判定定理和性质，余弦的定义，综合应用这些知识点是解题关 键． 3．（2022·河北·模拟预测）在△B 中，∠＝90°，若tB＝075，则s 的值为（ ） ．05 B．06 ．08 D． ❑ √3 2 【答】 【分析】根据tB 的值，把、B 边长设为3t、4t，勾股定理求出B 边，再利用三角函数的定义求解s． 【详解】在Rt△B 中，∠=90°， tB= AC AB =075=3 4 ， 设=3t，B=4t，则B=5t， 故，s= AC BC =4t 5t =08 故选． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的计算、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 题型04 求角的正切值 1．（2022·广东广州·广东实验中学校考二模）如图，由边长为1 的小正方形组成的格中，点，B，都在格 点上，以B 为直径的圆经过点和点D，则t∠D＝（ ） ．4 3 B． ❑ √3 2 ．1 D．3 2 【答】D 【分析】先利用圆周角定理得到∠B=90°，∠D=∠B，再利用正切的定义得到t∠B=3 2，从而得到t∠D 的值． 【详解】解：∵B 为直径， ∴∠B=90°， 在Rt△B 中，t∠B= AC BC =3 2， ∵∠D=∠B， t ∴∠D=3 2， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角 形． 2．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点，B 分别在x 轴负半轴和y 轴 正半轴上，点在B 上，OC :BC=1:2，连接，过点作OP∥AB交的延长线于P．若P (1,1)，则 tan∠OAP的值是（ ） ． ❑ √3 3 B． ❑ √2 2 ．1 3 D．3 【答】 【分析】由P (1,1)可知，P 与x 轴的夹角为45°，又因为OP∥AB，则△OAB为等腰直角形，设=x， B=2x，用勾股定理求其他线段进而求解． 【详解】∵P 点坐标为（1，1）， 则P 与x 轴正方向的夹角为45°， 又∵OP∥AB， 则∠B=45°，△OAB为等腰直角形， = ∴B， 设=x，则B=2=2x， 则B==3x， ∴tan∠OAP=OC OA = x 3 x =1 3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P 点坐标 推出特殊角是解题的关键． 3．（2023·山东枣庄·统考一模）如图，D 是平面镜，光线从点出发经D 上点反射后照射到B 点，若入射角 为α，反射角为β（反射角等于入射角），⊥D 于点，BD⊥D 于点D，且＝3，BD＝6，D＝12，则tα 的值 为 ． 【答】4 3 【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得∠A=α ,∠B=β，从而可得∠A=∠B，再 根据相似三角形的判定证出△AOC ∼△BOD，根据相似三角形的性质可得OC的长，然后根据正切的定 义即可得． 【详解】解：如图，由题意得：OP⊥CD， ∵AC ⊥CD， ∴AC ∥OP， ∴∠A=α， 同理可得：∠B=β， ∵α=β， ∴∠A=∠B， 在△AOC和△BOD中，¿， ∴△AOC ∼△BOD， ∴OC OD = AC BD ， ∵AC=3,BD=6,CD=12,OD=CD−OC， ∴ OC 12−OC =3 6， 解得OC=4， 经检验，OC=4是所列分式方程的解， 则tan α=tan A=OC AC = 4 3 ， 故答为：4 3 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键． 题型05 已知正弦值求边长 1．（2022·安徽合肥·统考二模）图，在Rt△B 中，∠B=90°，E 是斜边B 上的中线，过点E 作EF⊥B 交于点 F，若B=4，s∠EF=3 5，则△EF 的面积为（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【答】 【分析】连接BF，由已知CE=AE=BE得到∠A=∠FBA=∠ACE，再得出∠CEF与∠CBF的关系， 由三角函数关系求得F、BF 的值，通过BF=AF，用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接BF， ∵CE是斜边AB上的中线， ∵CE=AE=BE=1 2 AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴∠A=∠FBA=∠ACE， 又∵∠BCA=∠BEF=90°， 在△B 中，∠CBF=180°−∠ACB−∠A−∠ABF=90°−2∠A， 在△E 中，∠CEF=180°−∠AEF−∠A−∠ACE=90°−2∠A， ∴∠CEF=∠CBF， ∴sin∠CBF=sin∠CEF=3 5， ∵BC=4，设CF=3 x ,BF=5 x， 则BC 2+C F 2=B F 2，即4 2+(3 x) 2=(5 x) 2， 解得x=1（负值舍掉）， ∴CF=3,BF=5， ∴EF是AB的垂直平分线， ∴BF=AF=5， ∴S△AFB=1 2 AF ·BC=1 2 ×5×4=10， ∴S△AEF=1 2 S△ABF=5， 故选：． 【点睛】本题综合考查了垂直平分线的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数等相 关知识，熟练利用相关定理和性质进行计算是解决本题的关键． 2．（2020·山东潍坊·统考二模）如图，以直角坐标系的原点为圆心，以1 为半径作圆．若点P 是该圆上第 一象限内的一点，且P 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为（ ） ．(cosα ,1) B．(1,sin α ) ．(sin α ,cosα ) D．(cosα ,sin α ) 【答】D 【分析】作P⊥x 轴于点．那么是α 的邻边，是点P 的横坐标，为sα；P 是α 的对边，是点P 的纵坐标，为 sα． 【详解】解：如图，作P⊥x 轴于点， 则∠P=α，则sα= PA PO ， ∴P=Psα， sα= ∵ AO PO ， =Psα ∴ ． ∵P=1， ∴P=sα，=sα． ∴P 点的坐标为(sα,sα)， 故选D 【点睛】解决本题的关键是得到点P 的横纵坐标与相应的函数和半径之间的关系． 3．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，在△B 中，B=，以边为直径作⊙交B 于点D，过点D 作DE⊥AB 交B 于点E，交的延长线于点F． (1)求证：DE 是⊙的切线； (2)若EB=1，且sin∠CFD=3 5，求DF 的长． 【答】(1)见解析 (2)10 3 【分析】（1）连接D，直接利用切线判定定理证明即可； （2）根据s∠FD=OD OF ，则设D=3x，F=5x，可得EB=6 5 x=1，解出x，用勾股定理即可． 【详解】（1）(1)连接D， ∵B=， ∴∠B=∠D， ∵D=， ∴∠D=∠D， ∴∠B=∠D， ∴D//B， ∵DE⊥B， ∴D⊥EF， ∴EF 是⊙的切线； （2）∵ sin∠CFD=3 5， 设D=3x，F=5x， 则B==6x，F=8x， ∴AE=AF sin∠AFE=24 5 x， ∴EB=AB−AE=6 5 x， ∴6 5 x=1， ∴x=5 6 ， ∴OD=5 2，OF=25 6 ， ∴DF= ❑ √O F 2−O D 2=10 3 ． 【点睛】本题是圆的综合问题，涉及到切线的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识点，本题第二问关 键在于能够用表示D 的字母表示出EB． 题型06 已知余弦值求边长 1．（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）如图，在△ABC中，∠C=90° ,cos A= ❑ √3 2 , AC=4 ❑ √3，则 AB长为（ ） ．4 B．8 ．8 ❑ √3 D．12 【答】B 【分析】根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵ ∠C=90° ,cos A= ❑ √3 2 , AC=4 ❑ √3， ∴AB= AC cos A = 4 ❑ √3 ❑ √3 2 =8， 故选B． 【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键． 2．（2022·北京西城·统考二模）如图，菱形BD 的对角线，BD 交于点，点E，F 分别在D，B 的延长线上， 且BE⊥ED，F=E． (1)求证：四边形EBFD 是矩形； (2)若AB=5，cos∠OBC= 4 5 ，求BF 的长． 【答】(1)见解析 (2)BF 的长为32 5 ． 【分析】（1）利用“SS”证明△BE≌△DF，得到BE=DF，∠E=∠F=90°，即可证明四边形EBFD 是矩形； （2）在Rt△B 中，利用余弦函数求得B 的长，在Rt△BDF 中，再利用余弦函数即可求得BF 的长． 【详解】（1）证明：∵四边形BD 是菱形， ∴B=D，B∥D，D∥B， ∴∠EB=∠D，∠FD=∠D， ∴∠EB=∠FD， ∵E= F， ∴△BE≌△DF(SS)， ∴BE=DF，∠F=∠E=90°， ∴BE∥DF， ∴四边形EBFD 是平行四边形， ∵∠E=90°， ∴四边形EBFD 是矩形； （2）解：∵四边形BD 是菱形，B=5， ∴B=D，⊥BD，B=B=5， 在Rt△B 中，cos∠OBC= 4 5 ，B=5， ∴OB BC = 4 5 ， ∴B=4，则BD=2B=8， 在Rt△BDF 中，cos∠OBC= 4 5 ，BD=8， ∴BF BD = 4 5 ， ∴BF=4 5 ×8=32 5 ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识； 熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 3．（2022·陕西·校联考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点在⊙O上且不与点，B 重合，CD是⊙O 的切线，过点B 作BD⊥CD于点D，交⊙O于点E． (1)证明：点是´ AE的中点； (2)若BD=4，cos∠ABD=1 3，求⊙O的半径． 【答】(1)见解析；