专题15.2 分式的运算【十大题型】（解析版）

专题152 分式的运算【十大题型】 【人版】 【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】................................................................................................................. 2 【题型2 分式的加减混合运算】.............................................................................................................................4 【题型3 整式与分式的相加减运算】.....................................................................................................................7 【题型4 分式加减的实际应用】...........................................................................................................................10 【题型5 比较分式的大小】...................................................................................................................................14 【题型6 分式的混合运算及化简求值】............................................................................................................... 16 【题型7 分式中的新定义问题】...........................................................................................................................19 【题型8 分式运算的规律探究】...........................................................................................................................24 【题型9 整数指数幂的运算】...............................................................................................................................29 【题型10 科学计数法表示小数】..........................................................................................................................30 【知识点1 分式的乘除法法则】 分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似： 1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即： a b × c d = ac bd 2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即：a b ÷ c d =a b × d c =ad bc 3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。（a b ） n =a n b n 4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号 中的，在算括号外的。 注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式 【知识点2 分式的加减法则】 1）同分母分式：分母不变，分子相加减a c ± b c =a±b c 2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减a b ± d c =ac bc ± bd bc =ac±bd bc 注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分;②运算顺序中，加减运算等级较低。若 混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。 1 【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】 【例1】（2022·全国·八年级课时练习）( a+b a−b) 2 ÷( a+b a−b) 2 × a+b a−b 的结果是（ ） ．a−b a+b B．a+b a−b ．( a+b a−b) 2 D．1 【答】B 【分析】先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解． 【详解】解：( a+b a−b) 2 ÷( a+b a−b) 2 × a+b a−b ¿ (a+b) 2 (a−b) 2 × (a−b) 2 (a+b) 2 × a+b a−b ¿ a+b a−b 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 【变式1-1】（2022·全国·八年级课时练习）（1）−n 2 2m ⋅4 m 2 5n 3 =¿________； （2）( a 2 −b ) 5 ⋅( b 2 −a ) 6 ⋅( 1 ab ) 7 =¿________； （3）(−3ab 3c 2) 2÷(−3b 2c a ) 3 =¿________； （4）(−y 2 x ) 2 ⋅(−3 x 2 y ) 3 ÷(−3 x 2ay ) 2 =¿________； （5）( c 3 a 2b ) 2 ÷( c 4 a 3b ) 2 ÷( a c ) 4 =¿________． 【答】 −2m 5n −1 a 3 −a 5c 3 −3 y a 2 8 x c 2 a 2 【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘法即可； （3）先算乘方，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除法即可； （5）先算乘方，再算除法即可； 【详解】解：（1）−n 2 2m ⋅4 m 2 5n 3 =−2m 5n （2）( a 2 −b ) 5 ⋅( b 2 −a ) 6 ⋅( 1 ab ) 7 =−a 10 b 5 ⋅b 12 a 6 ⋅ 1 a 7b 7 =−1 a 3； 1 （3）原式=9a 2b 6c 4÷(−27b 6c 3 a 3 )=9a 2b 6c 4·(− a 3 27b 6c 3 )=−a 5c 3 ； （4）原式= y 2 4 x 2 ⋅(−27 x 3 8 y 3 )÷9 x 2 4 a 2 y 2 = y 2 4 x 2 ⋅(−27 x 3 8 y 3 )⋅4 a 2 y 2 9 x 2 =−3 y a 2 8 x ； （5）( c 3 a 2b ) 2 ÷( c 4 a 3b ) 2 ÷( a c ) 4 = c 6 a 4b 2 ÷ c 8 a 6b 2 ÷ a 4 c 4 = c 6 a 4b 2 · a 6b 2 c 8 · c 4 a 4 = c 2 a 2； 故答为：−2m 5n ，−1 a 3 ，−a 5c 3 ，−3 y a 2 8 x ，c 2 a 2 【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）[ −a 7b 2 3(a+b)]⋅(a 2−b 2) 4 a 2 ÷[ a 2(b−a) 2 ] 3 【答】8(a+b) 3b 2(a−b) 3a ❑ 【分析】先计算乘方，再把除法转化成乘法，再把分子、分母分解因式，然后约分得结果． 【详解】[ −a 7b 2 3(a+b)]⋅(a 2−b 2) 4 a 2 ÷[ a 2(b−a) 2 ] 3 ， = −a 7b 2 3(a+b) • (a+b) 4(a−b) 4 a 2 • 8 a 6(b−a) 3， =8(a+b) 3b 2(a−b) 3a ❑ 【点睛】本题考查了分式的乘除法，把分子分母因式分解是解决本题的关键． 【变式1-3】（2022·湖南长沙·七年级阶段练习）已知，b，，d，x，y，z，是互不相等的非 零实数，且 a 2b 2 a 2 y 2+b 2 x 2= b 2c 2 b 2 z 2+c 2 y 2= c 2d 2 c 2w 2+d 2 z 2= abcd xyzw ，则a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 + d 2 w 2的值为_ _____ ． 【答】2 【分析】设 a 2b 2 a 2 y 2+b 2 x 2= b 2c 2 b 2 z 2+c 2 y 2= c 2d 2 c 2w 2+d 2 z 2= abcd xyzw =1 k ，即有： a 2 y 2 a 2b 2 + b 2 x 2 a 2b 2=b 2 z 2 b 2c 2 + c 2 y 2 b 2c 2 =c 2w 2 c 2d 2 + d 2 z 2 c 2d 2= xyzw abcd =k，化简： y 2 b 2 + x 2 a 2= z 2 c 2 + y 2 b 2 = w 2 d 2 + z 2 c 2= xyzw abcd =k，则有：x 2 a 2= z 2 c 2，y 2 b 2 = w 2 d 2 ，xyzw abcd =k，设 x 2 a 2= z 2 c 2=m，y 2 b 2 = w 2 d 2 =n，即a 2 x 2=c 2 z 2= 1 m，b 2 y 2= d 2 w 2=1 n，m+n= z 2 c 2 + w 2 d 2 =k， 1 k= xyzw abcd =mn，则问题即可得解． 【详解】结合，b，，d，x，y，z，是互不相等的非零实数进行下述运算， 设 a 2b 2 a 2 y 2+b 2 x 2= b 2c 2 b 2 z 2+c 2 y 2= c 2d 2 c 2w 2+d 2 z 2= abcd xyzw =1 k ， 则有：a 2 y 2+b 2 x 2 a 2b 2 =b 2 z 2+c 2 y 2 b 2c 2 =c 2w 2+d 2 z 2 c 2d 2 = xyzw abcd =k， 即有：a 2 y 2 a 2b 2 + b 2 x 2 a 2b 2=b 2 z 2 b 2c 2 + c 2 y 2 b 2c 2 =c 2w 2 c 2d 2 + d 2 z 2 c 2d 2= xyzw abcd =k， 化简：y 2 b 2 + x 2 a 2= z 2 c 2 + y 2 b 2 = w 2 d 2 + z 2 c 2= xyzw abcd =k， 则有：x 2 a 2= z 2 c 2，y 2 b 2 = w 2 d 2 ，xyzw abcd =k， 设x 2 a 2= z 2 c 2=m，y 2 b 2 = w 2 d 2 =n， 即a 2 x 2=c 2 z 2= 1 m，b 2 y 2= d 2 w 2=1 n，m+n= z 2 c 2 + w 2 d 2 =k， 则有：m 2= x 2 a 2 ⋅z 2 c 2，n 2= y 2 b 2 ⋅w 2 d 2 ， 即有：k= xyzw abcd =mn， 则有：a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 + d 2 w 2= 2 m + 2 n=2 (m+n) mn =2k k =2， 故答为：2． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和性质是解题的关 键． 【题型2 分式的加减混合运算】 【例2】（2022·浙江杭州·九年级专题练习）对于任意的x 值都有2 x+7 x 2+x−2 = M x+2 + N x−1， 则M，值为（ ） ．M＝1，＝3 B．M＝﹣1，＝3 ．M＝2，＝4 D．M＝1，＝4 【答】B 【分析】先计算M x+2 + N x−1= (M +N ) x+(−M +2 N ) x 2+x−2 ,根据已知可得关于M、的二元一次 方程组¿ ，解之可得． 1 【详解】解：M x+2 + N x−1 = M ( x−1)+N (x+2) (x+2)( x−1) = (M +N ) x+(−M +2 N ) x 2+x−2 ∴2 x+7 x 2+x−2 = (M +N ) x+(−M +2 N ) x 2+x−2 ∴¿， 解得：¿， 故选B． 【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已 知等式得出关于M、的方程组． 【变式2-1】（2022·上海市久隆模范中学七年级期中）计算： 2 y 2+3 y+2 y+1 −y 2−y−5 y+2 −3 y 2−4 y−5 y−2 + 2 y 2−8 y+5 y−3 【答】 −8 y+4 y 4−2 y 3−7 y 2+8 y+12 【分析】先对每一个分式进行拆分化简，然后再进行分式的加减计算即可 【详解】解：2 y 2+3 y+2 y+1 = (2 y 2+2 y)+( y+1)+1 y+1 =2 y+1+ 1 y+1 ， y 2−y−5 y+2 = ( y 2+2 y )−(3 y+6)+1 y+2 = y−3+ 1 y+2 ， 3 y 2−4 y−5 y−2 = (3 y 2−6 y)+(2 y−4 )−1 y−2 =3 y+2− 1 y−2 ， 2 y 2−8 y+5 y−3 = (2 y 2−6 y )−(2 y−6)−1 y−3 =2 y−2− 1 y−3 ， ∴原式=2 y+1+ 1 y+1−( y−3+ 1 y+2)−(3 y+2− 1 y−2)+(2 y−2− 1 y−3) =2 y+1+ 1 y+1−y+3−1 y+2−3 y−2+ 1 y−2 +2 y−2− 1 y−3 = 1 y+1−1 y+2 + 1 y−2− 1 y−3 =( 1 y+1− 1 y−3)+( 1 y−2−1 y+2) 1 = −4 ( y+1) ( y−3) + 4 ( y−2) ( y+2) = −8 y+4 ( y+1) ( y−3) ( y−2) ( y+2) = −8 y+4 y 4−2 y 3−7 y 2+8 y+12 【点睛】本题考查分式的加减计算，熟练掌握各运算法则是解题的关键 【变式2-2】（2022·全国·中考模拟）计算下列各式： （1） 1 a−b + 1 a+b + 2a a 2+b 2 + 4 a 3 a 4+b 4 ； （2） x 2+ yz x 2+( y−z)x−yz + y 2−zx y 2+( z+x) y+zx + z 2+xy z 2−( x−y)z−xy ； （3） x 3−1 x 3+2 x 2+2 x+1 + x 3+1 x 3−2 x 2+2 x−1 −2( x 2+1) x 2−1 （4） ( y−x)( z−x) ( x−2 y+z)( x+ y−2 z)+ ( z−y)( x−y) ( x+ y−2 z)( y+z−2 x)+ ( x−z)( y−z) ( y+z−2 x)( x−2 y+z) ． 【答】（1）8a 7 a 8−b 8（2）0（3）0（4）1 【详解】试题分析：（1）先根据异分母的分式的加减法，先把前两个分式通分，再求和， 依次计算下去即可； （2）先把分子添项，构成能分组分解因式的式子，把分母利用整式的乘法展开，然后把分 母分子分解因式，利用同分母的分式相加减的逆运算约分化简即可； （3）根据立方差和立方和公式进行分子分母的因式分解，然后再约分化简即可； （4）设x y= ﹣ ，y z=b ﹣ ，z x= ﹣ ，利用换元法进行约分化简即可 试题解析：（1） = + + = + = ； （2） 1 = + + = + + ﹣ ﹣ ﹣ =0； （3） = + ﹣ = + ﹣ =0； （4）设x y= ﹣ ，y z=b ﹣ ，z x= ﹣ ，则 =﹣ ﹣ ﹣ =﹣ = =1． 【变式2-3】（2022·河南省淮滨县第一中学八年级期末）已知实数x，y，z 满足1 x+ y + 1 y+z + 1 z+x ＝7 6，且 z x+ y + x y+z + y z+x ＝11，则x+y+z 的值为（ ） ．12 B．14 ．72 7 D．9 【答】 【分析】把 z x+ y + x y+z + y z+x =11两边加上3，变形可得 x+ y+z x+ y + x+ y+z y+z + x+ y+z z+x =14，两边除以(x+ y+z )得到1 x+ y + 1 y+z + 1 z+x = 14 x+ y+z ， 则 14 x+ y+z =7 6 ，从而得到x+ y+z的值． 【详解】解：∵ z x+ y + x y+z + y z+x =11， 1 ∴1+ z x+ y +1+ x y+z +1+ y z+x =14， 即x+ y+z x+ y + x+ y+z y+z + x+ y+z z+x =14， ∴ 1 x+ y + 1 y+z + 1 z+x = 14 x+ y+z ， 而1 x+ y + 1 y+z + 1 z+x =7 6， ∴ 14 x+ y+z =7 6 ， ∴x+ y+z=12． 故选：． 【点睛】本题考查了分式的加减法，解