专题02 数轴上的三种动点问题（教师版）

专题02 数轴上的三种动点问题 数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过 程复杂，情况多变。那么，本专题对其中常考的三种题型(求时间、求距离或者对应点、定 值问题)做出详细分析与梳理。 【知识点梳理】 1 数轴上两点间的距离 数轴上、B 两点表示的数为分别为、b，则与B 间的距离B=|－b|； 2 数轴上点移动规律 数轴上点向右移动则数变大(增加)，向左移动数变小(减小)； 当数表示的点向右移动b 个单位长度后到达点表示的数为+b；向左移动b 个单位长度后 到达点表示的数为－b 类型一、求值(速度、时间、距离) 例1．如图在数轴上点表示数，B 点表示数b，，b 满足 ＋ ＝0； (1)点表示的数为 ；点B 表示的数为 ； (2)若点与点之间的距离表示为，点B 与点之间的距离表示为B，请在数轴上找一点，使＝ 2B，则点表示的数 ； (3)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1 个单位／秒的速度向左运动；同时另一小球 乙从点B 处以2 个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后 (忽略球的大小，可看作一 点) 以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t(秒)，请分别表示出甲，乙两小球 到原点的距离 (用t 表示)． 【答】(1)-2；6；(2) 或14 (3)甲球与原点的距离为：t+2；当 时，乙球到原点的距离为 ；当 时，乙球 到原点的距离为 【解析】(1)解：∵|+2|+|b−6|=0，∴+2=0，b−6=0，解得，=−2，b=6， ∴点表示的数为−2，点B 表示的数为6．故答为：−2；6． (2)设数轴上点表示的数为， ∵=2B，∴|−|=2|−b|，即|+2|=2|−6|， ∵=2B>B，∴点不可能在B 的延长线上，则点可能在线段B 上和线段B 的延长线上， ①当点在线段B 上时，则有−2⩽⩽6， 得+2=2(6−)，解得：= ； ②当点在线段B 的延长线上时，则有>6，得+2=2(−6)，解得=14， 故当=2B 时，= 或=14；故答为： 或14． (3)∵甲球运动的路程为：1⋅t=t，=2，∴甲球与原点的距离为：t+2； 乙球到原点的距离分两种情况： 当0<t⩽3 时，乙球从点B 处开始向左运动，直到原点， ∵B=6，乙球运动的路程为：2⋅t=2t，乙到原点的距离：6−2t(0⩽t⩽3)； ②当t>3 时，乙球从原点处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2t−6(t>3)． 例2．如图，数轴上两个动点，B 起始位置所表示的数分别为 ，4，，B 两点各自以一定 的速度在数轴上运动，已知点的运动速度为2 个单位/秒． (1)若，B 两点同时出发相向而行，正好在原点处相遇，请直接写出B 点的运动速度． (2)若，B 两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距8 个 单位长度？ (3)若，B 两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，点从原点 出发作同方向的运动，如果在运动过程中，始终有 ，求点的运动速度． 【答】(1)1 个单位/秒；(2)4 秒和20 秒；(3) 个单位/秒 【解析】(1)解：B 点的运动速度为： =1 个单位/秒． (2)∵+B=8+4=12＞8，且点运动速度大于B 点的速度， ∴分两种情况， ①当点B 在点的右侧时，运动时间为 =4 秒． ②当点在点B 的右侧时，运动时间为 =20 秒， 综合①②得，4 秒和20 秒时，两点相距都是8 个单位长度； (3)设点的运动速度为x 个单位/秒，运动时间为t，根据题意得知 8+(2-x)×t=[4+(x-1)×t]×2，整理，得2-x=2x-2，解得x= ， 故点的运动速度为 个单位/秒． 【变式训练1】如图，将一条数轴在原点和点B 处各折一下，得到一条“折线数轴”．图 中点表示-10，点B 表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28 个长度单位．动点 P、Q 同时出发，点P 从点出发，以2 单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从 点运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q 从点出发，以1 单位/ 秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B 运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻 恢复原速．设运动的时间为t 秒．问： (1)动点P 从点运动至点需要多少时间？ (2)求P、Q 两点相遇时，t 的值和相遇点M 所对应的数． 【答】(1)动点P 从点运动至点需要19 秒； (2)P、Q 两点相遇时，t 的值为 秒，相遇点M 所对应的数是 ． 【解析】(1)解：由图可知：动点P 从点运动至分成三段，分别为、B、B， 段时间为 ＝5，B 段时间为 =10，B 段时间为 =4， ∴动点P 从点运动至点需要时间为5+10+4=19(秒)， 答：动点P 从点运动至点需要19 秒； (2)解：点Q 经过8 秒后从点B 运动到B 段， 而点P 经过5 秒后从点运动到B 段，经过3 秒后还在B 段，∴P、Q 两点在B 段相遇， 设点Q 经过8 秒后从点B 运动到B 段，再经进y 秒与点P 在B 段相遇， 依题意得：3+y+2y=10，解得：y= ，∴P、Q 两点相遇时经过的时间为8+ = (秒)， 此时相遇点M 在“折线数轴”上所对应的数是为3+ = ； 答：P、Q 两点相遇时，t 的值为 秒，相遇点M 所对应的数是 ． 【变式训练2】如图，已知 、 、 是数轴上三点，点 表示的数为4， ， ． (1)点 表示的数是______，点 表示的数是______． (2)动点 、 分别从 、 同时出发，点 以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运 动，点 以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点 的运动时间为( )秒． ①用含的代数式表示：点 表示的数为______，点 表示是数为______； ②当 时，点 、 之间的距离为______； ③当点 在 上运动时，用含的代数式表示点 、 之间的距离； ④当点 、 到点 的距离相等时，直接写出的值． 【答】(1) ，6；(2)① ， ；②7；③ ；④t 的值为 或10 【解析】(1)解：点在B 点左边，B 点表示4，B=8，∴点表示的数，4-8=-4； 点在B 点右边，B=2，∴点表示的数为：4+2=6； (2)解：①P 点向右运动，∴P 点表示的数为-4+2t； Q 点向左运动，∴Q 点表示的数为6-t； ②t=1 时，P 点-2，Q 点5，两点距离=5-(-2)=7； ③∵Q 点在右，P 点在左，∴两点距离=6-t-(-4+2t)=10-3t， ④当P，Q 相遇时，两点到点距离相等，此时2t+t=10，解得：t= ， 当P 点在点右边，Q 点在点左边时，-4+2t-6=6-(6-t)，解得：t=10， ∴t 的值为 或10； 【变式训练3】如图，点、B 为数轴上的点(点在数轴的正半轴)， ，为B 的中点，且 点表示的数为2． (1)点表示的数为______，点B 表示的数为______； (2)点M 为数轴上一动点，点是M 的中点，若 ，求点M 表示的数，并画出点M 的位 置； (3)点P 从点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q 从点B 出发，以 每秒1 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q 同时出发，设运动时间为 秒．在运动过程中，点P、Q 之间的距离为3 时，求运动时间t 的值． 【答】(1)6，﹣2；(2)8 或4；(3)1 秒或7 秒． 【解析】(1)解：∵ ，为B 的中点，∴＝B＝ B＝4 ∵点表示的数为2，点在点的右侧，点B 在点的左侧 ∴点表示的数为2＋4＝6，点B 表示的数为2－4＝﹣2，即点表示的数为6，点B 表示的数 为﹣2， 故答为：6，﹣2 (2)解：当点M 在点的右侧时，如图1 所示， ∵ 是M 的中点，M＝1，∴M＝2M＝2，∴点M 表示的数是6＋2＝8； 当点M 在点的左侧时，如图2 所示， ∵ 是M 的中点，M＝1，∴M＝2M＝2， ∴点M 表示的数是6－2＝4．故点M 表示的数是8 或4； (3)解：当点P 在点Q 的右侧，即点P 还没追上点Q 时，如图3， 由题意得t＋4－2t＝3，解得t＝1， 当点P 在点Q 的左侧，即点P 追上点Q 并超过点Q 时，如图4 所示， 由题意得2t－t－4＝3，解得t＝7， ∴点P、Q 之间的距离为3 时，运动时间t＝1 秒或7 秒． 类型二、定值问题 例1．已知：是单项式-xy2的系数，b 是最小的正整数，是多项式2m2－m32－m－2 的次数． 请回答下列问题： (1)请直接写出、b、的值．＝ ，b＝ ，＝ ． (2)数轴上，、b、三个数所对应的点分别为、B、，点、B、同时开始在数轴上运动，若点 以每秒1 个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点分别以每秒1 个单位长度和3 个单 位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点之间的距离表示为B，点与点B 之间 的距离表示为B，点与点之间的距离表示为． ①t 秒钟过后，的长度为 (用含t 的关系式表示)； ②请问：B-B 的值是否会随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求 出其值． 【答】(1)-1，1，5；(2)①4t＋6；②不会变化，2 【解析】(1)解：由题意得， 单项式-xy2的系数＝-1，最小的正整数b＝1， 多项式2m2-m32-m-2 的次数＝5； 故答为：-1，1，5 (2)①t 秒后点对应的数为-t，点B 对应的数为b＋t，点对应的数为＋3t， 故＝|＋3t-＋t|＝|5＋4t＋1|＝6＋4t； 故答为：6＋4t ②∵B＝5＋3t-(1＋t)＝4＋2t， B＝1＋t-(-1-t)＝2＋2t； ∴B-B＝4＋2t-2-2t＝2， 故B-B 的值不会随时间t 的变化而改变．其值为2． 【变式训练1】如图，已知数轴上点表示的数为12，B 是数轴上一点．且 ．动点P 从点出发，以每秒5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒． (1)写出数轴上点B 表示的数___，点P 表示的数___(用含t 的代数式表示)； (2)动点Q 从点B 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q 同时 出发，问点P 运动多少秒时追上点Q； (3)若M 为P 的中点，为PB 的中点，点P 在运动的过程中，线段M 的长度是否发生变化？ 若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段M 的长． 【答】(1) 8 ﹣，12 5 ﹣t；(2)点P 运动10 秒时追上点Q； (3)线段M 的长度不发生变化，都等于10；理由见解析． 【解析】(1)解：∵点表示的数为12，B 在点左边，B=20， ∴点B 表示的数是12-20=-8， ∵动点P 从点出发，以每秒5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t(t＞0) 秒， ∴点P 表示的数是12-5t．故答为：-8，12-5t； (2)解：设点P 运动x 秒追上点Q，Q 表示的数是-8-3t， 根据题意得：12-5x=-8-3x，解得：x=10， ∴点P 运动10 秒时追上点Q； (3)解：线段M 的长度不发生变化，都等于10；理由如下： ∵点表示的数为12，点P 表示的数是12-5t，M 为P 的中点， ∴M 表示的数是 ， ∵点B 表示的数是-8，点P 表示的数是12-5t，为PB 的中点， ∴表示的数是 ， ∴M=(12- t)-(2- t)=10． 【变式训练2】如图，已知数轴上点表示的数为9，B 是数轴负方向上一点，且 ． 动点P 从点出发，以每秒5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为 秒． (1)数轴上点B 表示的数为_____，点P 表示的数为________；(用含t 的代数式表示) (2)动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q 同时 出发，问t 为何值时，点P 追上点Q？此时P 点表示的数是多少？ (3)若点M 是线段 的中点，点是线段 的中点．点P 在运动的过程中，线段 的长度 是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出 的长度； 【答】(1) ， ；(2)－16；(3)不发生变化， 【解析】(1)解：∵数轴上点表示的数为8，且B=14， ∴点B 表示的数为−6， 点P 表示的数为 ， 故答为： ， ． (2)解：设点P 运动t 秒时，在点处追上点Q，如图，则 ， 因为 ，所以 ．解得 ． 所以点P 运动5 秒时，在点处追上点Q． 当 时， ．此时P 点表示的数是 ． (3)解：不发生变化．理由是： 因为M 是线段 的中点，是线段 的中点，所以 ． 分两种情况：①当点P 在点、B 两点之间运动时，如图所示， 所以 ． ②当点P 运动到点B 的左侧时，如图所示， 所以 ． 综上所述，线段 的长度不发生变化，其值为 ． 【变式训练3】点、B 在数轴上对应的数分别为、b，且、b 满足 ． (1)如图1，求线段B 的长； (2)若点在数轴上对应的数为x，且x 是方程 的根，在数轴上是否存在点P 使 ，若存在，求出点P 对应的数，若不存在，说明理由； (3)如图2，点P 在B 点右侧，P 的中点为M，为PB 靠近于B 点的四等分点，当P 在B 的右 侧运动时，有两个结论：① 的值不变；② 的值不变，其中只有一个 结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值． 【答】(1)4；(2)存在，当点P 表示的数为-15 或35 时， ；理由见解析 (3)结论①正确， =2 【解析】(1)解：∵|+1|+(b-3)2=0，∴+1=0，b-3=0，∴=-1，b=3， ∴B=|-1-3|=4．答：B 的长为4； (2)解：存在，∵ ，∴x=-2，∴B= =5． 设点P 在数轴上对应的数是m，∵ ，∴|m+1|+|m-3|=5， 令m+1=0，m-3=0，∴m=-1 或m=3． ①当m≤-1 时，-m-1+3-m=5，m=-15； ②当-1＜m≤3 时，m+1+3-m=5，(舍去)； ③当m＞3 时，m+1+m-3=5，m=35．∴当点P 表示的数为-15 或35 时， ； (3)解：设P 点所表示的数为，∴P=+1，PB=-3． ∵P 的中点为M，∴PM= P= ． ∵为PB 的四等分点且靠近于B 点，∴B= PB= ，∴①PM-2B= -2× =2(不变)， ②PM+ B= + × = (随点P 的变化而变化)， ∴正确的结论为①，且PM-2B=2． 类型三、点之间的位置关系问题 例1．如图，已知在数轴上有，B 两点，点表示的数为8，点B 在点的左边，且 ． 若有一动点P 从数轴上点出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P 的运动时间为t 秒． (1)解决问题： ①当 时，写出数轴上点B，P 所表示的数； ②若点P，Q 分别从，B 两点同时出发，问点P 运动多少秒与点Q 相距3 个单位长度？ (2)探索问题：若M 为Q 的中点，为BP 的中点．当点P 在，B 两点之间运动时，探索线段 M 与线段PQ 的数量关系(写出过程)． 【答】(1)①点B 表示-4，点P 表示5；②18 秒或3 秒 (2)2M+PQ=12 或2M-PQ=12，过程见解析 【解析】(1)解：①∵点表示的数为8，B 在点左边，B=12，∴点B 表示的数是8-12=-4， ∵动点P 从点出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P 表示的数是8-3×1=5． ②设点P 运动x 秒时，与Q 相距3 个单位长度， 则P=3x，BQ=2x， ∵P+BQ=B-3，∴3x+2x=9，解得：x=18， ∵P+BQ=B+3，∴3x+2x=15，解得：x=3． ∴点P 运动18 秒或3 秒时与点Q 相距3 个单位长度． (2)2M+PQ=12 或2M-PQ=12；理由如下： P 在Q 右侧时有：M=MQ+P-PQ= Q+ BP-PQ= (Q+BP-PQ)- PQ= B- PQ= (12- PQ)， 即2M+PQ=12． 同理P 在Q 左侧时有：2M-PQ=12． 例2 如图，在数轴上点表示的数为，B 点表示的数为b，点表示的数为，b 是最大的负整数， 且，满足|+3|+( 9) ﹣ 2＝0．点P 从点B 出发以每秒3 个单位长度的速度向左运动，到达点后 立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止． (1)＝ ，b＝ ； (2)点P 从点B 离开后，在点P 第二次到达点B 的过程中，经过x 秒钟，P+PB+P＝13，求x 的值． (3)点P 从点B 出发的同时，数轴上的动点M，分别从点和点同时出发，相向而行，速度分 别为每秒4 个单位长度和每秒5 个单位长度，假设t 秒钟时，P、M、三点中恰好有一个点 是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t 的值． 【答】(1) 3 ﹣，﹣1；(2) 或1 或 或 ；(3)1， ， ，8． 【解析】(1)解：b 是最大的负整数，即b= 1 ﹣，|+3|+( 9) ﹣ 2＝0， ∴|+3|=0，( 9) ﹣ 2＝0，∴= 3 ﹣，=9，故答为：﹣3，﹣1； (2)解：B=2，B=10，=12，P+PB+P＝13，P+P=12，则PB=1， ∴此时P 点位置为﹣2 或0，根据P 的运动轨迹得： 由B 到时：x=1÷3= ，由到B 时：x=3÷3=1，由B 到时：x=5÷3= ， 由到B 时：x=23÷3= ；故x 的值为: 或1 或 或 ． (3)解：当P 点由B 到运动时P= 3 ﹣t－1(0≤t＜ )， 当P 点由到运动时P= 3 ﹣＋(3t－2)=3t－5( ≤t＜ )， 当P 点由到B 运动时P=9－(3t－14)= 3 ﹣t＋23( ≤t≤8)， 当M 点由到运动时M=4t－3，当点由到运动时= 5 ﹣t＋9， PM 相遇时3t＋4t=2，t= ，M 相遇时4t＋5t=12，t= ，P 相遇时3t＋5t=12＋2，t= ， 0≤t＜ ，P 在中间，则4t－3 5 ﹣t＋9=2( 3 ﹣t－1)解得t=﹣ 舍去； ＜t＜ ，M 在中间，则﹣5t＋9 3 ﹣t－1=2(4t－3)解得t= 舍去； ≤t＜ ，M 在中间，则﹣5t＋9＋3t－5=2(4t－3)解得t=1； ＜t＜ ，在中间，则4t－3＋3t－5=2( 5 ﹣t＋9)解得t= ； ＜t＜ ，P 在中间，则4t－3 5 ﹣t＋9=2(3t－5)解得t= ； ≤t≤8，P 在中间，则4t－3 5 ﹣t＋9=2( 3 ﹣t＋23)解得t=8；故t 的值为：1， ， ，8． 【变式训练1】如图，已知、B、是数轴上三点，点为原点，点表示的数为6，B＝4， B＝ 12． (1)写出数轴上点、B 表示的数； (2)动点P、Q 分别从、同时出发，沿数轴向右匀速运动．点P 的速度是每秒6 个单位长度， 点Q 的速度是每秒3 个单位长度，点M 为P 的中点，点