模型36 圆——四点共圆模型-原卷版

圆 模型（三十六）——四点共圆模型 四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一圆上，则称这四个点共圆 知识点一：四点共圆的性质 ◎结论1：如图 、B、、D 四点共圆 ①同侧共底的两个三角形顶角相等（同弧所对的圆周角相等） ∠B＝∠DB，B 为底；∠B＝∠BD，B 为底； ∠D＝∠BD，D 为底；∠BD＝∠D，D 为底； ②圆内接四边形的对角互补 ∠B＋∠D＝180º；∠BD＋∠BD＝180 ③圆内接四边形的外角等于内对角 ∠BE 为圆内接四边形的一个外角， 则∠BE＝∠ 知识点二：四点共圆的判定 ①若四个点到一个点的距离相等，则这四个点在同一圆上（四点共圆） 【证明】【共斜边直角三角形】： 取斜边中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半 ＝B＝＝D， ∴、B、、D 四点共圆 ②若四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆 若∠＋∠＝180º,则、B、、D 四点共圆 【证明】（反证法）以B、、D 三点作⊙，现证明在⊙上， 假设点不在圆上： ①假设点在⊙内，在上方⊙上取一点P， B,,D,P ∵ 四点共圆，∴∠P＋∠＝180°，∵∠＋∠＝180°，∴∠＝∠P 而图中∠＝∠P＋∠PB＋∠PD，即∠＞∠P 与∠＝∠P 矛盾 ∴假设不成立，点不在圆内 ②假设点在⊙外，在上方⊙上取一点P， B,,D,P ∵ 四点共圆，∴∠P＋∠＝180°，∵∠＋∠＝180°，∴∠＝∠P 而图中∠＝∠P＋∠PB＋∠PD，即∠＞∠P 与∠＝∠P 矛盾 ∴假设不成立，点不在圆外。 综上：只能在圆上，即，B，，D 四点共圆。 ③若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形四点共圆 若∠BD＝∠，则、B、、D 四点共圆 【本质：对角互补】 ④若两个点在一条线段的同旁，且和这条线段的两个端点连线所夹的角相等，那么 这两个点和这条线段的两个端点四点共圆 若∠B＝∠BD，则、B、、D 四点共圆 证明：以B 作圆，在弧B 上取点P， 则∠B＋∠P＝180°， ∠B ∵ ＝∠BD， ∠P ∴ ＋∠BD＝180°， DBP ∴ 四点共圆 BP ∵ 四点共圆， BP 确定唯一圆 BD ∴ 四点共圆 1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知B==D，∠D=20°，则∠BD 的度数是（ ） ．10° B．15° ．20° D．25° 2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在长方形 中， ， ，垂足为 ，延长 交 于 ，表示面积，则给出的下列命题：① ；② ；③ ；④ ．其中正确命题的代号是________． 3．（2020·黑龙江哈尔滨·九年级阶段练习）如图，等边△B 中，D 在B 上，E 在上，BD＝E，连BE、D 交于F，T 在EF 上，且DT＝E，F＝50，TE＝16，则FT＝_____． 1．（2022·全国·九年级课时练习）如图1，在正方形 中，点 在边 上，过点 作 ，且 ，连接 、 ，点 是 的中点，连接 ． （1）用等式表示线段 与 的数量关系：______； （2）将图1 中的 绕点 按逆时针旋转，使 的顶点 恰好在正方形 的对角线 上，点 仍是 的中点，连接 、 ． ①在图2 中，依据题意补全图形； ②用等式表示线段 与 的数量关系并证明． 2．（2022·福建·厦门市松柏中学九年级阶段练习）如图，等腰三角形△B 中，∠B=120°，B=3． （1）求B 的长． （2）如图，点D 在的延长线上，DE⊥B 于E，DF⊥B 于F，连EF．求EF 的最小值． 1．（2020·福建·中考真题）如图，四边形 内接于 ， ， 为 中点， ，则 等于（ ） ． B． ． D．