专题55 一次函数背景下的图形存在性问题（解析版）

考点一：一次函数中等腰三角形存在性问题 【例1】．如果一次函数y＝﹣ x+6 的图象与x 轴、y 轴分别交于、B 两点，M 点在x 轴上， 并且使得以点、B、M 为定点的三角形是等腰三角形，则M 点的坐标为 （﹣ 8 ， 0 ）或 （﹣ 2 ， 0 ）或（ 18 ， 0 ）或（﹣ ， 0 ） ． 解：一次函数y＝﹣ x+6 中令x＝0，解得y＝6；令y＝0，解得x＝8， ∴（8，0），B（0，6），即＝8，B＝6， 在直角三角形B 中，根据勾股定理得：B＝10， 分四种情况考虑， 当BM＝B 时， 由B⊥M，根据三线合一得到为M 的中点，此时M1（﹣8，0）； 当B＝M 时，由B＝10，得到M＝﹣2 或18，此时M2（﹣2，0），M3（18，0）； 当M＝MB 时，∵（8，0），B（0，6）， ∴B 的中点的坐标为（4，3）， 设直线B 的垂直平分线的解析式为y＝ x+b， 代入（4，3）得3＝ +b，解得b＝﹣ ， ∴直线B 的垂直平分线的解析式为y＝ x﹣ ， 令y＝0，解得x＝ ， 此时M4（ ，0）． 综上，这样的M 点有4 个，分别为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（ ，0）． 例题精讲 故答为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（ ，0）． 变式训练 【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线M 的函数解析式为y＝﹣x+3，点在线段M 上且满足＝2M，B 点是x 轴上一点，当△B 是以为腰的等腰三角形时，则B 点的坐标为 （ 2 ， 0 ）或（ ， 0 ）或（ ， 0 ） ． 解：∵在y＝﹣x+3 中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝3， ∴（3，0），M（0，3）， ∴M＝＝3， ∵＝2M， ∴（1，2）， ∴＝ ＝ ， 当＝B 时，则B＝ ， ∴点B 的坐标为（﹣ ，0）或（ ，0）； ②当＝B 时，设点B 的坐标为（m，0），则 ＝ ， 整理得，（1﹣m）2＝1， 解得m＝2 或m＝0（舍去）， ∴点B 的坐标为（2，0）． 综上所述：点B 的坐标为（2，0）或（ ，0）或（ ，0）． 【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12 与x 轴交于点，与y 轴交于点 B，与直线y＝x 交于点． （1）求点的坐标． （2）若P 是x 轴上的一个动点，直接写出当△P 是等腰三角形时P 的坐标． 解：（1）联立两直线解析式成方程组，得 ， 解得： ， ∴点的坐标为（4，4）； （2）设点P（m，0），而点（4，4），点（0，0）； P2＝（m 4 ﹣）2+16，P2＝m2，2＝42+42＝32； 当P＝P 时，（m 4 ﹣）2+16＝m2，解得：m＝4； 当P＝时，同理可得：m＝0（舍去）或8； 当P＝时，同理可得：m＝±4 ； 故点P 的坐标为（4，0）或（8，0）或（4 ，0）或（﹣4 ，0）． 考点二：一次函数中直角三角形存在性问题 【例2】．已知点、B 的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x 轴上找一点，使△B 为直 角三角形． 解：当△B 为直角三角形时，设点坐标为（x，0），分三种情况： ①如果为直角顶点，则B2+2＝B2， 即（2 5 ﹣）2+（2 1 ﹣）2+（2﹣x）2+22＝（5﹣x）2+1， 解得：x＝ ， ②如果B 为直角顶点，那么B2+B2＝2， 即（2 5 ﹣）2+（2 1 ﹣）2+（5﹣x）2+1＝（2﹣x）2+22， 解得x＝ ， ③如果为直角顶点，那么B2＝2+B2， 即（2 5 ﹣）2+（2 1 ﹣）2＝（2﹣x）2+22+（5﹣x）2+1， 解得x＝3 或4， 综上可知，使△PB 为直角三角形的点坐标为（ ，0）或（ ，0）或（3，0）或（4， 0）． 变式训练 【变2-1】．如图，一次函数y＝kx+1 的图象过点（1，2），且与x 轴相交于点B．若点P 是x 轴上的一点，且满足△BP 是直角三角形，则点P 的坐标是 （ 1 ， 0 ）或（ 3 ， 0 ） ． 解：∵一次函数y＝kx+1 的图象过点（1，2）， 2 ∴＝k+1，解得k＝1， ∴一次函数的解析式为y＝x+1． ∴当∠PB＝90°时，P1（1，0）； 当∠BP＝90°时， ∵一次函数的解析式为y＝x+1， ∴设直线P 的解析式为y＝﹣x+b， ∵（1，2）， 2 ∴＝﹣1+b，解得b＝3， ∴直线P 的解析式为y＝﹣x+3， ∴当y＝0 时，x＝3， ∴P2（3，0）． 综上所述，点P 的坐标是（1，0）或（3，0）． 【变2-2】．如图，已知一次函数y＝x 2 ﹣的图象与y 轴交于点，一次函数y＝4x+b 的图象 与y 轴交于点B，且与x 轴以及一次函数y＝x 2 ﹣的图象分别交于点、D，点D 的坐标为 （﹣2，﹣4）． （1）关于x、y 的方程组 的解为 ． （2）求△BD 的面积； （3）在x 轴上是否存在点E，使得以点，D，E 为顶点的三角形是直角三角形？若存在， 求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵一次函数y＝x 2 ﹣的图象与一次函数y＝4x+b 的图象交于点D，且点D 的坐 标为（﹣2，﹣4）， ∴关于x、y 的方程组 的解是 ， ∴关于x、y 的方程组 的解是 ， 故答为： ； （2）把点D 的坐标代入一次函数y＝4x+b 中得：﹣8+b＝﹣4， 解得：b＝4， ∴B（0，4）， ∵（0，﹣2）， ∴B＝4﹣（﹣2）＝6， ∴S△BD＝ ＝6； （3）存在， 如图1，当点E 为直角顶点时，过点D 作DE⊥x 轴于E， ∵D（﹣2，﹣4）， ∴E（﹣2，0）； 当点为直角顶点时，x 轴上不存在点E； 当点D 为直角顶点时，过点D 作DE⊥D 交x 轴于点E，作DF⊥x 轴于F， 设E（t，0）， 当y＝0 时，4x+4＝0， ∴x＝﹣1， ∴（﹣1，0）， ∵F（﹣2，0）， ∴E＝﹣1﹣t，EF＝﹣2﹣t， ∵D（﹣2，﹣4）， ∴DF＝4，F＝﹣1﹣（﹣2）＝1， 在Rt△DEF 中， DE2＝EF2+DF2＝42+（﹣2﹣t）2＝t2+4t+20， 在Rt△DF 中， D2＝12+42＝17， 在Rt△DE 中，E2＝DE2+D2， ∴（﹣1﹣t）2＝t2+4t+20+17， 解得t＝﹣18， ∴E（﹣18，0）， 综上，点E 的坐标为：（﹣2，0）或（﹣18，0）． 考点三：一次函数中平行四边形存在性问题 【例3】．如图，已知一次函数y＝kx+b 的图象经过（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且 交x 轴于点，交y 轴于点D． （1）求该一次函数的表达式； （2）求△B 的面积； （3）平面内是否存在一点M，使以点M、、、B 为顶点的四边形是平行四边形，若存 在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由． 解：（1）将（1，3）、B（﹣2，﹣1），代入y＝kx+b 得： ，解得 ， ∴一次函数的表达式为y＝ x+ ； （2）在y＝ x+ 中，令x＝0 得y＝ ， ∴D＝ ， ∴S△D＝ D•|x|＝ × ×1＝ ， S△BD＝ D•|xB|＝ × ×2＝ ， ∴△B 的面积S△B＝S△BD+S△D＝ ； （3）存在，理由如下： 在y＝ x+ 中，令y＝0 得y＝﹣ ， ∴（﹣ ，0）， 设M（m，），而B（﹣2，﹣1），（0，0）， ①以B、M 为对角线，则B 的中点即是M 的中点，如图： ∴ ，解得 ， ∴M（﹣ ，﹣1）； ②以B、M 为对角线，则B 的中点即是M 的中点，如图： ∴ ，解得 ， ∴M（﹣ ，﹣1）； ③以BM、为对角线，则BM 的中点即是的中点，如图： ∴ ，解得 ， ∴M（ ，1）； 综上所述，M 的坐标为：（﹣ ，﹣1）或（﹣ ，﹣1）；或（ ，1）． 变式训练 【变3-1】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+3 与x 轴、y 轴相交于、B 两点， 点在线段上，将线段B 绕着点顺时针旋转90°得到D，此时点D 恰好落在直线B 上，过 点D 作DE⊥x 轴于点E． （1）求证：△B≌△ED； （2）如图2，将△BD 沿x 轴正方向平移得△B''D'，当B''经过点D 时，求△BD 平移的距离 及点D 的坐标； （3）若点P 在y 轴上，点Q 在直线B 上，是否存在以、D、P、Q 为顶点的四边形是平 行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由． （1）证明：∵∠B＝∠BD＝∠ED＝90°， ∴∠B+∠B＝90°，∠B+∠ED＝90°， ∴∠B＝∠ED． ∵将线段B 绕着点顺时针旋转90°得到D， ∴B＝D． 在△B 和△ED 中， ， ∴△B≌△ED（S）． （2）解：∵直线y＝﹣ x+3 与x 轴、y 轴相交于、B 两点， ∴点B 的坐标为（0，3），点的坐标为（6，0）． 设＝m， ∵△B≌△ED， ∴＝ED＝m，B＝E＝3， ∴点D 的坐标为（m+3，m）． ∵点D 在直线y＝﹣ x+3 上， ∴m＝﹣ （m+3）+3，解得：m＝1， ∴点D 的坐标为（4，1），点的坐标为（1，0）． ∵点B 的坐标为（0，3），点的坐标为（1，0）， ∴直线B 的解析式为y＝﹣3x+3． 设直线B′′的解析式为y＝﹣3x+b， 将D（4，1）代入y＝﹣3x+b，得：1＝﹣3×4+b，解得：b＝13， ∴直线B′′的解析式为y＝﹣3x+13， ∴点′的坐标为（ ，0）， ′ ∴＝ ﹣1＝ ， ∴△BD 平移的距离为 ． （3）解：设点P 的坐标为（0，m），点Q 的坐标为（，﹣ +3）． 分两种情况考虑，如图3 所示： ①若D 为边，当四边形DQP 为平行四边形时，∵（1，0），D（4，1），P（0，m）， Q（，﹣ +3）， ∴ ，解得： ， ∴点P1的坐标为（0， ）； 当四边形DPQ 为平行四边形时，∵（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（，﹣ +3）， ∴ ，解得： ， ∴点P2的坐标为（0， ）； ②若D 为对角线，∵（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（，﹣ +3）， ∴ ，解得： ， ∴点P 的坐标为（0， ）． 综上所述：存在，点P 的坐标为（0， ）或（0， ）． 考点四：一次函数中矩形存在性问题 【例4】．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△B 的两直角边、B 分别在x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，且、B 的长满足| 8|+ ﹣ （B 6 ﹣）2＝0，∠B 的平分线交x 轴于点过点作B 的垂线，垂足为点D，交y 轴于点E． （1）求线段B 的长； （2）求直线E 的解析式； （3）若M 是射线B 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以、B、M、P 为顶 点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵| 8|+ ﹣ （B 6 ﹣）2＝0， ∴＝8，B＝6， 在直角△B 中，B＝ ＝ ＝10； （2）∵B 平分∠B，D⊥B，⊥B， ∴＝D， 设＝x，则＝8﹣x，D＝x． ∵△D 和△B 中，∠D＝∠B，∠D＝∠B＝90°， ∴△D 相似于△B， ∴ ，即 ， 解得：x＝3． 即＝3，则的坐标是（﹣3，0）． 设B 的解析式是y＝kx+b，根据题意得 解得： 则直线B 的解析式是y＝ x+6， 设D 的解析式是y＝﹣ x+m，则4+m＝0，则m＝﹣4． 则直线E 的解析式是y＝﹣ x 4 ﹣； （3）①当B 为矩形的边时，如图所示矩形M1P1B，易知B 的直线方程为y＝2x+6， 设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为（﹣8，0），B（0，6），则M1 2＝（m+8） 2+（2m+6）2，＝5m2+40m+100，BM1 2＝m2+（2m+6 6 ﹣）2＝5m2， B＝10， 根据B2+M1 2＝BM1 2得100+5m2+40m+100＝5m2，m＝﹣5， ∴M1（﹣5，﹣4）， 根据平移规律可以解得P1（3，2） ②当B 为矩形的对角线时，此时有B2＝M2 2+BM2 2，即100＝5m2+40m+100+5m2，m＝﹣ 4 或m＝0（舍去）， ∴M2（﹣4，﹣2）， 根据平移规律可以解得P2（﹣4，8） 综上可得，满足条件的P 点的坐标为P1（3，2）或P2（﹣4，8）． 变式训练 【变4-1】．如图，四边形B 是矩形，点、在坐标轴上，△DE 是△B 绕点顺时针旋转90°得 到的，点D 在x 轴上，直线BD 交y 轴于点F，交E 于点，线段B、的长是方程x2 4 ﹣x+3 ＝0 的两个根，且＞B． （1）求直线BD 的解析式； （2）求点到x 轴的距离； （3）点M 在坐标轴上，平面内是否存在点，使以点D、F、M、为顶点的四边形是矩形？ 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）x2 4 ﹣x+3＝0，解得：x＝3 或1， 故B＝1，＝3，即点（0，3）、点（﹣1，0）， 则点B（﹣1，3），点D（3，0），点E（3，1）， 将B、D 点的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b 得： ，解得： ， 故直线BD 的表达式为：y＝﹣ x+ …①； （2）同理可得：直线E 的表达式为：y＝ x…②， 联立①②并解得：y＝ ， 即点到x 轴的距离为： ； （3）直线BD 的表达式为：y＝﹣ x+ ，则点F（0， ）， ①当FD 是矩形的一条边时， 当点M 在x 轴上时， ∵MF⊥BD，则直线MF 的表达式为：y＝ x+ ， 当y＝0，x＝﹣ ，即点M（﹣ ，0）， 点F 向右平移3 个单位向下平移 单位得到D， 则点M 向右平移3 个单位向下平移 单位得到， 则点（ ，﹣ ）； 当点M 在y 轴上时， 同理可得：点（﹣3，﹣ ）； ②当FD 是矩形的对角线时， 此时点M 在原点，则点（3， ）； 综上，点的坐标为：（ ，﹣ ）或（﹣3，﹣ ）或（3， ）． 考点五：一次函数中菱形存在性问题 【例5】．如图1，直线y＝ x+6 与x，y 轴分别交于，B 两点，∠B 的角平分线与x 轴相交 于点． （1）求点的坐标； （2）在直线B 上有两点M，，△M 是等腰直角三角形，∠M＝90°，求点M 的坐标； （3）点P 在y 轴上，在平面上是否存在点Q，使以点、B、P、Q 为顶点的四边形为菱 形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）对于直线y＝ x+6，令x＝0，得到y＝6， ∴B（0，6）， 令y＝0，得到x＝﹣8， ∴（﹣8，0）． ∵（﹣8，0），B（0，6）， ∴＝8，B＝6， ∵∠B＝90°， ∴B＝ ＝10， 过点作⊥B 于，设＝t， ∵B 平分∠B，∠B＝90°， ∴＝＝t， ∵S△B＝S△B+S△B， ∴ •B＝ B•+ •B， 6×8 ∴ ＝10t+6t， ∴t＝3， ∴＝3， ∴（﹣3，0）； （2）设线B 的表达式为：y＝kx+b， ∵B（0，6），（﹣3，0）， ∴直线B 的表达式为：y＝2x+6， 设点M（m，2m+6）、（，2+6）， 过点M 作MF⊥x 轴于点F，过点作E⊥x 轴于点E， ∵△M 为等腰直角三角形，故M＝， ∵∠E+∠MF＝90°，∠MF+∠MF＝90°， ∴∠E＝∠MF， ∵∠FM＝∠E＝90°，M＝， ∴△FM≌△E（S）， ∴E＝F，MF＝E， 即﹣2 6 ﹣＝m+8，2m+6＝8+， 解得：m＝﹣2，＝﹣6， 故点M 的坐标为（﹣2，2）、点（﹣6，﹣6）； 由于M，的位置可能互换，故点的坐标为（﹣2，2）、点M（﹣6，﹣6）； 综上所述，点M 的坐标为（﹣2，2）或（﹣6，﹣6）； （3）设点P（0，p）， ∴BP2＝（p 6 ﹣）2，P2＝82+p2， ①当B 是边时，如图， ∵点、B、P、Q 为顶点的四边形为菱形， ∴BP＝B＝10，BP′＝B＝10，B＝P″， ∵B（0，6）， ∴P（0，16），P′（0，﹣4），P″（0，﹣6）， ∵（﹣8，0）， ∴Q（﹣8，10），Q′（﹣8，﹣10），Q″（8，0）； ②当B 是对角线时，如图， ∵点、B、P、Q 为顶点的四边形为菱形， ∴P＝BP， ∴BP2＝P2， ∴（p 6 ﹣）2＝82+p2，解得p＝﹣ ， ∴P（0，﹣ ）， ∵（﹣8，0），B（0，6）， ∴Q（﹣8， ）； 综上所述，点Q 的坐标为（﹣8，10）或（﹣8，﹣10）或（8，0）或（﹣8， ）． 变式训练 【变5-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4 与x 轴、y 轴分别交于点D、，直 线B 与y 轴交于点B（0，﹣2），与直线D 交于点（m，2）． （1）求直线B 的解析式； （2）点E 是射线D 上一动点，过点E 作EF∥y 轴，交直线B 于点F，若以、、E、F 为 顶点的四边形是平行四边形，请求出点E 的坐标； （3）设P 是射线D 上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、、P、Q 为顶点的四边形 是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵点（m，2）在直线y＝x+4 上 ∴m+4＝2 解得m＝﹣2 ∴点的坐标为（﹣2，2） 设直线B 的解析式为y＝kx+b ∴ 解得 ∴直线B 的解析式为y＝﹣2x 2 ﹣； （2）如图1，由题意 设点E 的坐标为（，+4），则 ∵EF∥y 轴，点F 在直线y＝﹣2x 2 ﹣上 ∴点F 的坐标为（，﹣2 2 ﹣） ∴EF＝|+4﹣（﹣2 2 ﹣）|＝|3+6|， ∵以点、、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，且EF∥ ∴EF＝ ∵直线y＝x+4 与y 轴交于点 ∴点的坐标为（0，4） ∴＝4，即|3+6|＝4 解得：＝﹣ 或＝﹣ ∴点E 的坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ， ）； （3）如图2，当B 为对角线时，点P，Q 都是B 的垂直平分线，且点P 和点Q 关于B 对 称， ∵B（0，﹣2），（0，4）， ∴点P 的纵坐标为1， 将y＝1 代入y＝x+4 中，得x+4＝1， ∴x＝﹣3， ∴P''（﹣3，1）， ∴Q''（3，1） 当P 是对角线时，P 是BQ 的垂直平分线，设Q（m，）， ∴BQ 的中点坐标为（ ， ）， 代入直线y＝x+4 中，得 +4＝ ①， ∵Q＝B， ∴m2+（﹣4）2＝36②， 联立①②得， （舍）或 ， ∴Q'（﹣6，4），当PB 是对角线时，P＝B＝6， 设P（，+4）， ∴2+（+4 4 ﹣）2＝36， ∴＝3 （舍）或＝﹣3 ， ∴P（﹣3 ，﹣3 +4）， 设Q（d，e） ∴ （﹣3 +0）＝ （0+d）， （﹣3 +4 2 ﹣）＝ （e+4）， ∴d＝﹣3 ，e＝﹣3 2 ﹣， ∴Q（﹣3 ，﹣3 2 ﹣）， 即：点Q 的坐标为（3，1），（﹣6，4