38 几何模型平行四边形的存在性问题

平行四边形存在性问题 一、方法突破 考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质： （1）对应边平行且相等； （2）对角线互相平分． 这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中： （1）对边平行且相等可转化为： ， 可以理解为点B 移动到点，点移动到点D，移动路径完全相同． yD-yC xD-xC yA-yB xA-xB A B C D （2）对角线互相平分转化为： ， 可以理解为的中点也是BD 的中点． D C B A 【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一： ， → ． 当和BD 为对角线时，结果可简记为： （各个点对应的横纵坐标相加） 以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有 一问：若坐标系中的4 个点、B、、D 满足“+=B+D”，则四边形BD 是否一定为平行四边 形？ 反例如下： A B C D M 之所以存在反例是因为“四边形BD 是平行四边形”与“、BD 中点是同一个点”并不是完 全等价的转化，故存在反例． 虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论： （1）四边形BD 是平行四边形：、BD 一定是对角线． （2）以、B、、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论． 【题型分类】 平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题． 1．三定一动 已知（1，2）B（5，3）（3，5），在坐标系内确定点D 使得以、B、、D 四个点为顶点的 四边形是平行四边形． A B C x y O 思路1：利用对角线互相平分，分类讨论： 设D 点坐标为（m，），又（1，2）B（5，3）（3，5），可得： （1）B 为对角线时， ，可得 ； （2）为对角线时， ，解得 ； （3）B 为对角线时， ，解得 ． D3 D2 D1 O y x C B A 当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可． 比如： ， ， ．（此处特指点的横纵坐标相加减） 2．两定两动 已知（1，1）、B（3，2），点在x 轴上，点D 在y 轴上，且以、B、、D 为顶点的四边形 是平行四边形，求、D 坐标． B A O y x 【分析】 设点坐标为（m，0），D 点坐标为（0，），又（1，1）、B（3，2）． （1）当B 为对角线时， ，解得 ，故（4，0）、D（0，3）； （2）当为对角线时， ，解得 ，故（2，0）、D（0，-1）； （3）当D 为对角线时， ，解得 ，故（-2，0）、D（0，1）． D C D C C D B A O y x B A O y x x y O A B 【动点综述】 “三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平 面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有 一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”． 从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4 个点坐标． 若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2． 找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能 有2 个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质： （1）对边平行且相等； （2）对角线互相平分． 但此两个性质统一成一个等式： ， 两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多 只能存在2 个未知量． 由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题． 二、典例精析 例一：如图，在平面直角坐标系xy 中，已知抛物线 与直线 都经 过 、 两点，该抛物线的顶点为． （1）求此抛物线和直线B 的解析式； （2）设直线B 与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB 上是否存在一点M，过M 作x 轴 的垂线交抛物线于点，使点M、、、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由； A B C E O x y 【分析】 （1）抛物线： ，直线B： ； （2）考虑E∥M，故若使点M、、、E 是平行四边形，则E=M 即可， ∵E（1，-2）、（1，-4）， ∴E=2， 设M 点坐标为（m，m-3）（m>1），则点坐标为 ， 则M= 由题意得： ， ，解得： ， （舍）， 对应P 点坐标为 ； ，解得： ， （舍）． 对应P 点坐标为（2，-1）． M N y x O E C B A M N y x O E C B A 综上，P 点坐标为 或（2，-1）． 例二：【两定两动：x 轴+抛物线】 如图，已知抛物线 经过点 ， ， ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点 在 轴上，点 在抛物线上，是否存在以点 ， ， ， 为顶点的四边形 是平行四边形？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由． C A B O y x C A B O y x 【分析】 （1）抛物线： ； （2）列方程组求：设P 、Q ，又B（-1，0）、（0，-3）， 若B 为对角线，由题意得： ，解得： 或 （舍）， 故对应的P（2，-3）； 若BP 为对角线，由题意得： ，解得： 或 （舍）， 故对应的P（2，-3）； 若BQ 为对角线，由题意得： ，解得： 或 ， 故对应的P 、 ． P Q P Q C A B O y x Q P P Q P Q x y O B A C C A B O y x 综上所述，P 点坐标为（2，-3）、 、 ． 例三：【两定两动：对称轴+抛物线】 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，连接 ． （1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； （2）若点 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标； 若不存在，请说明理由． y x O C B A y x O C B A 【分析】 （1）抛物线： ，对称轴：直线x=1； （2）设M 点坐标为 ，点坐标为 ， 又B（3，0）、（0，2） 若B 为对角线，由题意得： ，解得： ， 故M 点坐标为（2，2）； 若B 为对角线，由题意得： ，解得： ， 故M 点坐标为 ； 若BM 为对角线，由题意得： ，解得： ， 故M 点坐标为 ． 综上所述，M 点坐标为（2，2）、 、 ． 例四：【两定两动：斜线+抛物线】 如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 ， 两点且与 轴的负半轴交于点 ． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知 ， 分别是直线 和抛物线上的动点，当 ， ， ， 为顶点的四边形 是平行四边形时，直接写出所有符合条件的 点的坐标． y x O C B A y x O C B A 【分析】 （1）抛物线： ； （2）设E 点坐标为 ，F 点坐标为 ， 又B（0，2）、（0，0）， ①若B 为对角线，由题意得： ， 解得： 或 ， 故E 点坐标为 或 ； ②若E 为对角线，由题意得： ， 解得： 或 ， 故E 点坐标为 或 ； ③若F 为对角线，由题意得： ，解得： ， 故E 点坐标为（2，1）． F2 E2 E5 F5 A B C O x y F4 E4 A B C O x y F3 E3 A B C O x y F1 E1 A B C O x y A B C O x y 例五：【两定两动：抛物线+抛物线】 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ，与抛物线 的一个交点为 ，且点 的横坐标为2，点 、 分别是抛物线 、 上的动点． （1）求抛物线 对应的函数表达式； （2）若以点 、 、 、 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 的坐标． 备用图 y x O C A A C O x y 【分析】 （1） 解析式： ； （2）虽然两个动点均在抛物线上，仍可用设点坐标的方法求解． 设P 点坐标为 ，Q 点坐标为 ， 又（0，-3）、（2，-3）， ①若为对角线，由题意得; ， 解得： 或 （舍），故P 点坐标为（-3，12）； ②若P 为对角线，由题意得： ， 解得： 或 ，故P 点坐标为（3，0）或 ； ③若Q 为对角线，由题意得： ， 解得： 或 （舍），故P 点坐标为（-1，0）． 综上所述，P 点坐标为（-3，12）、（3，0）、 、（-1，0）． 例六：【三定一动】如图，已知抛物线交 轴于 、 两点，交 轴于 点， 点坐标为 ， ， ，点 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2） 为坐标平面内一点，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，求 点坐 标． A B C D O x y A B C D O x y 【分析】 （1）抛物线： ； （2）设P 点坐标为（m，），又B（3，0）、（0，2）、D ①若B 为对角线，由题意得： ，解得： ， 故 的坐标为 ； ②若BD 为对角线，由题意得： ，解得： ， 故 坐标为 ； ③若BP 为对角线，由题意得： ，解得： ， 故 坐标为 ． P3 P2 P1 y x O D C B A 综上所述，P 点坐标为 、 、 ． 三、中考真题对决 1．（2021•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点． 与 轴交于点 ．且点 的坐标为 ，点 的坐为 ． （1）求该抛物线的解析式； （3）图（乙中，若点 是抛物线上一点，点 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若 不存在，请说明理由． 解：（1）将 的坐标 ，点 的坐 代入 得： ，解得 ， 抛物线的解析式为 ； （3）存在，理由如下： 抛物线 对称轴为直线 ， 设 ， ，而 ， ， ①以 、 为对角线，则 、 的中点重合，如图： ，解得 ， ， ②以 、 为对角线，则 、 的中点重合，如图： ，解得 ， ， ③以 、 为对角线，则 、 中点重合，如图： ，解得 ， ； 综上所述， 的坐标为： 或 或 ． 2．（2021•郴州）将抛物线 向左平移1 个单位，再向上平移4 个单位后，得 到抛物线 ．抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．已知 ，点 是抛物线 上的一个动点． （1）求抛物线 的表达式； （3）如图2，点 是抛物线 的对称轴上的一个动点，在抛物线 上，是否存在点 ， 使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，说明理由． 解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为 ， 抛物线 ， 将 代入，得： ， 解得： ， 抛物线 的表达式为 ； （3）①当 为平行四边形的边时，则有 ，且 ， 如图2，过点 作对称轴的垂线，垂足为 ，设 交对称轴于点 ， 则 ， 在 和 中， ， ， ， 点 到对称轴的距离为3， 又 ， 抛物线对称轴为直线 ， 设点 ，则 ， 解得： 或 ， 当 时， ， 当 时， ， 点 坐标为 或 ； ②当 为平行四边形的对角线时， 如图3，设 的中点为 ， ， ， ， ， 点 在对称轴上， 点 的横坐标为 ，设点 的横坐标为 ， 根据中点公式得： ， ，此时 ， ； 综上所述，点 的坐标为 或 或 ． 3．（2021•梧州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ， ，顶点为 ．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点 为 原抛物线上点 的对应点，新抛物线顶点为 ，它与 轴交于点 ，连接 ， ， ． （1）求原抛物线对应的函数表达式； （2）在原抛物线或新抛物线上找一点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行 四边形，并求出点 的坐标； 解：（1） 抛物线 经过点 ， ， ， 原来抛物线的解析式为 ． （2） ， ， 点 向右平移4 个单位，再向下平移1 个单位得到 ， 原来抛物线的顶点 ， 点 向右平移4 个单位，再向下平移1 个单位得到 ， ， 新抛物线的解析式为 ， ， 点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形， 观察图形可知，满足条件的点 在过点 平行 的直线上， 直线 的解析式为 ， 直线 的解析式为 ， 由 ，解得 或 （舍弃）， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， 由平移的性质可知当 时，四边形 是平行四边形， 但是对于新抛物线 ， 时， ， 满足条件的点 的坐标为 ． 4．（2021•湘西州）如图，已知抛物线 经过 ， 两点，交 轴 于点 ． （1）求抛物线的解析式； （4）点 为 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 ，使得以 、 、 、 四点为 顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）把 ， 代入 ，得到 ， 解得 ， ； （4）如图2 中，存在． 观察图象可知，满足条件的点 的纵坐标为4 或 ， 对于抛物线 ，当 时， ，解得 或3， ． 当 时， ，解得 ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 ， 或 ， ． 5．（2021•黔东南州）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点， 与 轴交于点 ，抛物线的顶点为 ． （1）求抛物线的解析式； （2）点 在抛物线的对称轴上，点 在 轴上，若以点 、 、 、 为顶点， 为边 的四边形为平行四边形，请直接写出点 、 的坐标； 解：（1）将点 ， 分别代入 中，得： ，解得 ， 抛物线得函数关系为 ； （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为 ， 故设点 ， 设点 ， 当以点 、 、 、 为顶点， 为边的四边形为平行四边形时， 点 向右平移3 个单位向上平移3 个单位得到点 ，同样 向右平移3 个单位向上平移 3 个单位得到点 ， 则 且 ， 解得 或 ， 故点 、 的坐标分别为 、 或 、 ；