精品解析：广东省广州市第二中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（原卷版）

第1 页/共8 页 （北京）股份有限公司 高二级期中考《数学》试题 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 直线方程 的一个方向向量 可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知 ， ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线 与圆 有公共点，则实数 的取值范围是（ ） A . B. C. D. 4. 如图， 中， 为 边上的中线， 为 的中点，若 ，则实数对 （ ） A. B. C. D. 5. 设直线 ， 的斜率和倾斜角分别为 ， 和 ， ，则“ 是“ ”的（ ） 第2 页/共8 页 （北京）股份有限公司 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在 中， ， ，现以 为旋转轴旋转360°得到一个旋转体，则该旋转 体的内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 在 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一个近似扇形的湖面，其中 ，弧 的长为 .为了方便观光，欲在 两点 之间修建一条笔直的走廊 .若当 时， ，扇形 的面积记为 ，则 的值约 为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 第3 页/共8 页 （北京）股份有限公司 9. 已知实数 、 ，若 ，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 设向量 ， ，其中 ，则下列判断正确的是（ ） A. 向量与 轴正方向的夹角为定值（与 、 之值无关） B. 的最大值为 C. 与夹角的最大值为 D. 的最大值为1 11. 已知圆 ： ，一条光线从点 射出经 轴反射，则下列结论正确的是（ ） A. 圆 关于 轴的 对称圆的方程为 B. 若反射光线平分圆 的周长，则入射光线所在直线方程为 C. 若反射光线与圆 相切于 ，与 轴相交于点 ，则 D. 若反射光线与圆 交于 ， 两点，则 面积的最大值为 12. 在平面直角坐标系 中，圆 ： ，曲线 上存在四个点 （ ，2，3， 4），过点 作圆的 两条切线， ， 为切点，满足 ，则 的值可能为（ ） A. 1 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分） 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 第4 页/共8 页 （北京）股份有限公司 13. 直线 与圆 相交所得的弦长为______． 14. 已知 ， 为单位向量．若 ，则 在 上的投影向量的模为______． 15. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 ，将一个球放在容器口，再向容器内注 水，当球面恰好接触水面时测得水深为 ，如果不计容器的厚度，则球的半径为______ ． 16. 在矩形 中， 是 的中点， ，将 沿 折起得到 ，设 的中点为 ，若将 绕 旋转 ，则在此过程中动点 形成的轨迹长度为___________. 三、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由 于其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城 市共享单车加强监管，随机选取了50 人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50 人根据其满意度评分值（百分制）按照 ， ，…， 分成5 组，请根据下面尚未完 成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示） 第5 页/共8 页 （北京）股份有限公司 组别 分组 频数 频率 第1 组 8 0.16 第2 组 ■ 第3 组 20 0.40 第4 组 ■ 0.08 第5 组 2 合计 ■ ■ 解决下列问题： （1）求 ， ， ， 的值； （2）试估计受调查者满意度评分值的80%分位数； （3）若在满意度评分值为 的 人中随机抽取2 人进行座谈，求所抽取的2 人中至少一人来自第 5 组的概率． 18. 在如图所示的六面体中，四边形 是边长为2 的正方形，四边形 是梯形， ，平面 第6 页/共8 页 （北京）股份有限公司 平面 ， ， ． （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值． 19. 已知 中,角 的对边分别为 , ,向量 , ,且 . ( ) Ⅰ求的 大小； ( ) Ⅱ当 取得最大值时,求角 的大小和 的面积. 20. 如图，已知五面体 ，其中 内接于圆 ， 是圆 的直径，四边形 为平行四 边形，且 平面 ． 第7 页/共8 页 （北京）股份有限公司 （1）证明： ； （2）若 ， ，且二面角 所成角 的正切值是 ，试求该几何体 的体 积． 21. 圆 ： ． （1）若圆 与 轴相切，求圆 的方程； （2）已知 ，圆 与 轴相交于两点 、 （点 在点 的左侧）．过点 任作一条直线与圆 ： 相交于两点 ， ．问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出实数 的值， 若不存在，请说明理由． 22. 已知函数 （ 且 ， ）是偶函数． （1）求 的值； （2）对任意 且 ，函数 的图象与函数 的图象都没有交点，求 的值； （3）设函数 ，若函数 与 的图象有且只有一个公共点，求实数 的取 值范围． 第8 页/共8 页 （北京）股份有限公司