专题12 反比例函数与几何综合压轴题的五种考法（解析版）

专题12 反比例函数与几何综合压轴题的五种考法 类型一、平行四边形存在性问题 例．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点，与 轴交于点 ，分别过点 作 轴、 轴的垂线，两垂线交于点 ，函数 的图像与线段 交于点 交 于点 ． (1)求线段 的长度； (2)试判断点 是否在函数 的图像上，并说明理由； (3)已知 ，点 在 轴上，点 在函数 的图像上，当四边形 为平行四边形时， 求点 的坐标． 【答】(1) (2)点 在函数 的图像上．理由见解析 (3) 点坐标为 【分析】（1）先求得的坐标可得 ，然后再说明四边形 为矩形即可解答； （2）由题意可得点 坐标为 ，设直线 的函数表达式为 ，进而得到 ；再确 定点 的横坐标为 ，然后代入即可解答； （3）如图：过点 作 于点 ，先根据坐标求得 ，设点 坐标为 ，则 ，由平行四边形的性质可得 ，进而证明 ≌ 可得 ， 最后结合 即可解答． 【详解】（1）解： 当 时， ， 坐标为 ，即 ， 轴， 轴， ， ， 四边形 为矩形， ． （2）解：点 在函数 的图像上．理由如下： 点 在函数 的图像上， 点 坐标为 ， ， 可设直线 的函数表达式为 ， ， 点坐标为 点 的横坐标为 ， 当 时， ，即 ， 点 在函数 的图像上． （3）解：如图：过点 作 于点 ， 由（2）得 ， ， ， ，即 设点 坐标为 ，则 四边形 是平行四边形， ， ， 在 与 中， ， ≌ ，即 ， ，即 点坐标为 ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、矩形的判定与性质、平行四边形的性质、反比例函数图像的性质等 知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 【变式训练1】如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于、B 两点，与反比例函数的图象交于点 ， ． (1)求一次函数和反比例函数表达式； (2)点 为 轴正半轴上一点，当 的面积为9 时，求点 的坐标； (3)在（2）的条件下，将直线 向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点 ，交 轴于点 ， 点 为平面直角坐标系内一点，若以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件 的点 的坐标；并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程． 【答】(1) ， (2) (3) 点坐标为 或 或 ，见解析 【分析】（1）先确定 点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可； （2）设 ， ，则 ，再由 ，求出的值即可求 点坐标； （3）先求平移后的直线解析式为 ，则 ，设 ，根据平行四边形对角线的情况分三种 情况讨论即可． 【详解】（1） 点 ， 在反比例函数图象上， ， 解得 ， ， 反比例函数的解析式为 ； 设一次函数的解析式为 ， ， 解得 ， 一次函数的解析式为 ； （2）直线 与 轴的交点 ， 设 ， ， ， ， ， 解得 ， ； （3）设直线 向上平移后的函数解析式为 ， 在反比例函数图象上， ， ， 将 点代入 ，则 ， 平移后的直线解析式为 ， ， 设 ， ①当 为平行四边形的对角线时， ， ， ； ②当 为平行四边形的对角线时， ， ， ； ③当 为平行四边形的对角线时， ， ， ； 综上所述： 点坐标为 或 或 ． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质， 平行四边形的性质，待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键． 【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数 （k 为常数，且 ， ）的图像经过 点 两点． (1)m 与的数量关系是( ) ． B． ． D． (2)如图2，若点绕x 轴上的点P 顺时针旋转 ，恰好与点B 重合． ①求点P 的坐标及反比例函数的表达式； ②连接 、 ，则 的面积为_____； (3)若点M 在反比例函数 的图像上，点在y 轴上，在（2）的条件下，是否存在以、B、M、为 顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答】(1)B (2)① ，反比例函数的表达式为 ，②8 (3)存在， 或 【分析】（1）把 分别代入 得： ，即可解答； （2）①过点作 轴于点，过点B 作 轴于点D，证明 ，得出 ， ， ， ，根据 ， ， 即可求出m 和的值，进而得到点P 坐标，用待定系数法可求出反比例函数的表达式； ②设 所在直线函数表达式为 ，直线 交 x 轴于点， 求出 所在直线函数表达式为 ，再求出 ，则 ，最后根据 即可求解； （3）根据M 在反比例函数的图像上，点在y 轴上，设 ， 根据平行四边 形的性质和中点坐标公式，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把 分别代入 得： ， ∴ ，整理得： ， 故选：B． （2）解：①过点作 轴于点，过点B 作 轴于点D， ∴ ， ∴ ， ∵点绕x 轴上的点P 顺时针旋转90°，恰好与点B 重合 ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵在 和 中 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵反比例函数的表达式为 过 ， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为 ； ②设 所在直线函数表达式为 ，直线 交x 轴于点， 将 代入得： ，解得： ， ∴ 所在直线函数表达式为 ， 把 代入得 ， 解得： ， ∴ ，则 ， ∴ ， 故答为：8． （3）解：∵M 在反比例函数的图象上，点在y 轴上， ∴设 ， ∵以、B、M、为顶点的四边形为平行四边形， ∴以、B、M、为顶点的四边形对角线互相平分， ①当 为对角线时， ，解得： ， ∴ ； ②当 为对角线时， ，解得： ， ∴ ； ∵ ， ∴ 不符合题意，舍去 ③当 为对角线时， ，解得： ， ∴ 综上：存在， 或 ． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，割补法求面积，平行四边形的存在性问题，解决本题的关键 在于各知识的综合应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质． 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过点 ，交反比例函 数 的图象于点 ，点E 是反比例函数图象上的一动点，横坐标为 ， 轴 交直线 于点F，D 是y 轴上任意一点，连接 、 ． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当t 为何值时， 为等腰直角三角形； (3)点M 是一次函数图像上一动点，点是反比例函数图像上一动点，当四边形 为平行四边形时，求 出点M 的坐标． 【答】(1) ， (2) 或 (3) 【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）分 是以 为斜边和以 为直角边的等腰直角三角形，两种情况进行讨论求解即可． （3）根据四边形 为平行四边形，得到 ， ，列式计算即可． 【详解】（1）解：把点、B 的坐标代入一次函数表达式得： ， 解得： ， ∴一次函数表达式为： ； 把点的坐标代入上式得： ， 故点的坐标为 ， 将点的坐标代入反比例函数表达式得： ， ∴反比例函数表达式为 ； （2）解：①当 是以 为斜边的等腰直角三角形， ∴ 为直角， 过点D 作 于点，如下图所示： 设点E 的坐标为 ，则点 ， ∵ 为等腰直角三角形， ， ∴ ， ∴ ， 解得 （舍去）， ． 经检验 是原方程的解； ②当 是以 为直角边的等腰直角三角形时，如图， ∵点E 的坐标为 ，则点 ， ∴ ， ∴ ， 解得： （负值已舍去）， 经检验 是原方程的解； 综上：当 或 时， 是等腰直角三角形． （3）∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∵点M 是一次函数图像上一动点，点是反比例函数图像上一动点， 设 ，则： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得： （负值已舍去）， 经检验： 是原方程的解， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了求一次函数和反比例函数解析式，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质， 解分式方程，解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 类型二、菱形存在性问题 例．如图1，四边形 为正方形，点在y 轴上，点B 在x 轴上，且 ，反比例函数 在第 一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标； (2)如图2，将正方形 沿x 轴向右平移得到正方形 ，点 恰好落在反比例函数的图象上，求 此时点 的坐标； (3)在（2）的条件下，点P 为y 轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点、 、P、Q 为顶点的四边形为 菱形，若存在，请直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答】(1) ； (2) ； (3)点Q 的坐标为 或 或 或 ． 【分析】（1）过点作 轴，交于点，设 ，则 ，根据正方形的性质及各角之间的关系 得出 ，利用全等三角形的判定和性质得出 ， ，即可确定点的坐 标； （2）利用（1）中方法确定 ，由点 恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得 出点 的坐标； （3）根据题意进行分类讨论：当 时；当 时；当 为对角线时；分别利用菱 形的性质及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点作 轴，交于点， ∵ ，∴设 ，则 ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点， ∴ ， ∴ ； ∴ ； （2）解：如图所示，过点D 作 轴， ， ， 同（1）方法可得： ， ∵ ， ∴四边形 为矩形， ∴ ， ∴ ， ∵点 恰好落在反比例函数 的图象上， ∴当 时， ，即点向右平移 个单位得到点 ， ∴ 即 ； （3）解：分三种情况讨论， 由（2）得点向右平移 个单位得到点 ， ∴ ， ∴ ， 当 时，则 且 ， ∴ ， ，即 ， ； 当 时，此时点 与点Q 关于y 轴对称， ； 当 为对角线时，此时 ， 设 ， ∴ ， 解得 ，即 ，且 ， ∴ ，即 ， 综上可得：点Q 的坐标为 或 或 或 ． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形 的性质，勾股定理等，理解题意，（3）中根据菱形的性质进行分类讨论是解题关键． 【变式训练1】如图，直线 与反比例函数 的图象相交于点、点 ，与 轴交于点 ，其中点 的坐标为 ，点 的横坐标为 ． (1)试确定反比例函数的关系式； (2)直接写出不等式 的解集． (3)点 是 轴上一点，点 是坐标平面内一点，以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，请直接写出 点 的坐标． 【答】(1) (2) 或 (3)点 的坐标为 或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求得点 坐标，观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上的部分即为符合题意部分，对照图象直 接写出即可； （3）利用分类讨论的方法分当以 为一边时和当以 为一条对角线时两种情况，分别画出图形，依据 菱形的性质和对称性直接写出即可． 【详解】（1）解：将点的坐标 代入反比例函数 中得： ， 反比例函数的关系式为 ； （2）解：∵点 的横坐标为 ， ， ， 由图象可知，不等式 的解集为 或 ； （3）解： 当以 为一边时，如图所示： 把 ， 分别代入 得： ，解得： ， ∴ ， 把 代入得： ， ∴直线 与y 轴交点坐标为： ， 设点 ， 则 ， ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 解得： 或 （舍去）， ∴点 ， ∴ 轴， ∵菱形的对角线垂直平分， ∴ ， ∴ 轴， ∴ ； 当以 为一条对角线时，如图， 设点 ， 则 ， ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 解得： ， ∴ ， 菱形的对角线 与 互相平分， ∴根据中点坐标公式可得， 与 交点 的坐标为： ， ∴点 的坐标为： ； 综上，以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，点 的坐标为 或 ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，双曲线上点的坐标的特征，菱形的性质，利用数形结 合法解答是解题的关键． 【变式训练2】如图，矩形 的顶点 、 分别在 、 轴的正半轴上，点 在反比例函数 的第一象限内的图像上， ， ，动点 在 轴的上方，且满足 ． (1) _________． (2)若点 在这个反比例函数的图像上，求点 的坐标； (3)连接 、 ，求 的最小值； (4)若点 是平面内一点，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有 点P 的坐标． 【答】(1)12 (2) (3) (4) ， ． 【分析】（1）先确定B 的坐标，再把B 的坐标代入函数解析式，即可得到答； （2）设点P 的纵坐标为 ，根据 ，构建方程即可解决问题； （3）过点 ，作直线 轴．由（1）知，点P 的纵坐标为2，推出点P 在直线l 上作点关于直线l 的 对称点 ，则 ，连接 交直线l 于点P，此时 的值最小； （4）分四种情形分别画出图形，再利用勾股定理列方程求解即可解决问题； 【详解】（1）解：∵矩形 ， ， ， ∴ ， ∴ （2）由（1）得： ， 动点 在 轴的上方，且满足 ， 设点P 的纵坐标为 ， ∴ ， ∴ ， 而点P 在这个反比例函数图象上时，则 ， ∴ ， ∴点P 的坐标为 ． （3）由（2）得： 的纵坐标为 ，则 在直线 上， 过点 ，作直线 轴． ∴点P 在直线l 上 作点关于直线l 的对称点 ，则 ， 连接 交直线l 于点P，此时 的值最小， 则 的最小值 ． （4）①如图2 中，当四边形 是菱形时， ∴ ， 设 ∴ ， 解得： ， ∴ ， ②如图3 中，当四边形 是菱形时， ∴ ， 设 ∴ ， 解得： ， ∴ ， 综上所述，点P 的坐标为 ， ． 【点睛】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理的应用， 轴对称最短问题及解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会理由轴对称解 决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题． 【变式训练3】如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2 与x 轴交于点，将直线l 绕着点顺时针旋 转45°后，与y 轴交于点B，过点B 作B⊥B，交直线l 于点． (1)求点和点的坐标； (2)如图2，将△B 以每秒3 个单位的速度沿y 轴向上平移t 秒，若存在某一时刻t，使、两点的对应点D、F 恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B 对应点E，求出此时t 的值； (3)在（2）的情况下，若点P 是x 轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F 四个点为顶点的 四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1)（1，0），（3，-4） (2)t=2s (3)存在，点Q 的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（ ，1）或（ ，1）或Q（ ，5）． 【分析】（1）过点作⊥y 轴于点，利用S 证明△B≌△B，得B==1，=B，设B=，则=+1，从而得出点的坐标， 代入直线解析式即可； （2）根据平移的性质表示出D、F 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标的特征得出方程即可； （3）由（2）知E（0，3），F（3，2），设P（b，0），根据对角线进行分类，利用两点之间的距离公式 列出方程，解方程可得答． 【详解】（1）解：∵y=-2x+2 与x 轴交于点，∴0=-2x+2，得x=1，∴点（1，0）； 过点作⊥y 轴于点， ∴∠B=∠B=90°， ∵将直线l 绕着点顺时针旋转45°后，与y 轴交于点B，∴∠B=45°， 又∵B⊥B，∴∠B=∠B=45°，∴B=B， ∵∠B+∠B=90°，∠B+∠B=90°，∴∠B=∠B， 在△B 和△B 中 ，∴△B≌△B（S），∴B==1，=B， 设B=，则=+1，∴点（，--1）， ∵点在直线l 上，∴--1=-2+2，∴=3，∴（3，-4）； （2）解：将△B 以每秒3 个单位的速度沿y 轴向上平移t 秒， （1，0），B（0，-3），（3，-4）， ∴点D（1，3t），点E（0，-3+3t），点F（3，-4+3t）， ∵点、两点的对应点D、F 正好落在某反比例函数的图象上， 1×3 ∴ t=3×（-4+3t），∴t=2； （3）解：由（2）知E（0，3），F（3，2），设P（b，0）， 则 ， ， ， 当EF 为对角线时，则PE=PF，即 ， ∴ ，解得：b= ，∴P（ ，0）， 点P（ ，0）向左平移 个单位、向上平移3 个单位到E（0，3）， ∴点F（3，2）向左平移 个单位、向上平移3 个单位到Q（3- ，2+3），∴Q（ ，5）； 当EP 为对角线时，则EF=PF，即 ， ∴ ，解得：b= +3 或 +3，∴P（ +3，0）或（ +3，0）， 当P（ +3，0）时，同理得Q（ ，1）； 当P（ +3，0）时，同理得Q（ ，1）； 当EQ 为对角线时，则EF=PF，即 ， ∴ ， 解得：b=1 或-1， ∴P（1，0）或（-1，0）， 当P（1，0）时，同理得Q（4，-1）； 当P（-1，0）时，同理得Q（2，-1）； 综上所述：点Q 的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（ ，1）或（ ，1）或Q（ ，5）． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全 等三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，菱形的性质等知识，运用方程思想是解题的关键． 类型三、矩形存在性问题 例．在平面直角坐标系 中，已知反比例函数 的图像与正比例函数 的图像交 于点 、点 ，与正比例函数 的图像交于点 、点 ，设点 、 的横坐标分别为，( )． (1)如图1，若点 坐标为 ． ①求 ， 的值； ②若点 的横坐标为 ，连接 ，求 的面积． (2)如图2，依次连接 ， ， ， ，若四边形 为矩形，求 的值． 【答】(1)① ， ；② (2) 【分析】（1）①将点 代入解析式，求得 ； ②根据反比例函数解析式可得 ，分别过点 、 作 轴的垂线交 轴于点 、 ，根据 ， ， ，可得 ； （2）直线 ， 经过原点且与反比例函数 分别交于点 ， ， ， ，反比例函数 的图 像关于原点中心对称，则点 ， 关于原点对称，点 、 关于原点对称，则四边形 为平行四边形． 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，根据 ，得出 ，根据 在 上， 得出 ， ， 在 上，得出 ，进而即可求解． 【详解】（1）解：① 点 在 上， ， ； 点 在 上， ， ② 点 的横坐标为 ， 当 时， ， ； 分别过点 、 作 轴的垂线交 轴于点 、 ， ， ， ； （2）解： 直线 ， 经过原点且与反比例函数 分别交于点 ， ， ， ，反比例函数 的图像关于原点中心对称， 点 ， 关于