专题10 角的运动压轴题的三种考法（解析版）

专题10 角的运动压轴题的三种考法 类型一、角度之间数量关系问题 例．如图，点为直线 上一点，过点作射线 ．将一直角三角板的直角顶点放在点处（ ），一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方． (1)当 时，请解决一下问题； ①将图1 中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边 在 的内部，且恰好平分 ．求 的度数． ②将图1 中的三角板绕点以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线 恰好平分锐角 ，则t 的值为 （直接写出结果）． ③将图1 中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使 在 的内部，请探究 与 的数量关系，并说明理由． (2)图1 中射线 在 上方且 ，当三角板绕点顺时针旋转（旋转角度 ），试探究 三者之间的数量关系． 【答】(1) ； 或 ； ，理由见解析 (2)当旋转角 时， ； 当 旋转角 时， ； 当 旋转角 时， ． 【分析】（1） 平分 ，可求得 ，再由互余关系即可求得结果； 分两种情况：射线 平分 ，可计算出 旋转的角度，则可计算出旋转的时间； 射线 平分 ，可计算出 旋转的角度，则也可计算出旋转的时间；两种情况综 合即可； 由 ，且 ，即可得出两角的关系； （2）分四种情况考虑：旋转角 ； 旋转角 ； 旋转角 ；当 旋转角 时；利用和差关系即可得到关系； 【详解】（1）解：（1） 平分 ， ， ； ， 当射线 平分 时，如图2 所示， ， 旋转的角度为 ，直线 旋转的时间为 （秒）；当射线 平分 时，如图4 所示， ， 旋转的角度为 ，直线 旋转的时间为 （秒）； 综上知，则的值为； 或 ；故答为： 或 ； ，且 ， ， ， 即 与 的数量关系为： ； （2）解：当旋转角 时，射线 在 的内部时，如图5； 则 ， ， ； ； 当 旋转角 时，此时射线 在 的内部，如图6 所示； ， ； 当 旋转角 时，此时射线 在 的内部，如图7 所示， ， ， ， ， ； 当 旋转角 时，此时射线 在 的内部，如图8 所示， ； ， ； 综上，当旋转角 时， ； 当 旋转角 时， ； 当 旋转角 时， ． 【点睛】本题考查了角的和差运算，角平分线的性质，分类讨论，关键是结合图形，用所 求的角表示未知的角． 【变式训练1】以直线 上一点为端点，在直线 的上方作射线 ，使 ， 将一个直角三角板 的直角顶点放在处，即 ，直角三角板 可绕顶点转 动，在转动的过程中，直角三角板 所有部分始终保持在直线 上或上方． (1)如图1，若直角三角板 的一边 在射线 上，则 ______； (2)将直角三角板 绕点转动后，使其一边 在 的内部，如图2 所示， ①若 恰好平分 ，求此时 的度数； ②若 ，求此时 的度数； (3)直角三角板 在绕点转动的过程中， 与 之间存在一定的数量关系，请 直接写出来，不必说明理由． 【答】(1)40°；(2)① ，② ；(3) 【分析】（1）根据两个角互为余角，求出 的度数； （2）①根据平角定义先求出 ，根据角平分线的定义得 ， 进而求出 ； ②如图，先求出 ， ，然后代入计算即可． （3）根据题意，分成两种情况进行分析：当 在 内部时；当 在 外部 时，分别求出答即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答为：40°； （2）解：①∵ ， ∴ ， ∵ 恰好平分 ， ∴ ， ∴ ； ②如图，当 在 的内部时， ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ； （3）解：当 在 内部时，如图所示， ∵ ， ， ∴ ． 当 在 外部时，如图所示， ∵ ， ， ∴ ； 综合上述，则 ； 【点睛】本题考查了作图——复杂作图、余角和补角，几何图形中的角度计算，角平分线 的定义等知识的综合运用，运用分类讨论的思想进行分析是解题的关键．． 【变式训练2】如图，点在直线 上，在同一平面内，以为顶点作直角 ．射线 、 射线 分别平分 、 ． (1)如图1，当 时， ________ ， ________ ． (2)如图1，猜想 与 的数量关系，并说明理由． (3)直接写出图2 和图3 中， 与 的数量关系． 图2：__________；图3：__________． 【答】(1) ， (2) ，理由见详解 (3) ， 【分析】（1）根据角平分的定义即可求解； （2）根据（1），可得 ，问题得解； （3）图2，先表示出 ， ，再根据角平分线可得 ，问题随之得解；图3，由 ，可得 ，根据 ， ，可得 ，问题随之得解． 【详解】（1）∵射线 、射线 分别平分 、 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答为： ， ； （2） ，理由如下： 在（1）中有： ， ， ， ∴ ； （3）图2 中， ，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵射线 、射线 分别平分 、 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ； 图3 中， ，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∵射线 、射线 分别平分 、 ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平角为 ，以及角度的计算，理清图中各个 角直角的数量关系是解答本题的关键． 【变式训练3】如图， 是直线 上一点， 是 的余角，射线 平分 ． (1)若 ，求 的度数； (2)若 ，请在图中画出符合题意的射线 ，探究 与 的数量 关系，并说明理由． 【答】(1) (2) 或 ，理由见解析 【分析】（1）根据互为余角的两个角的和是90 度，平角的定义，角平分线的定义解答； （2）分情况画图分析，设 ，利用互为余角的两个角的和是90 度，平角的定义， 角平分线的定义，把 和 的度数分别用含有 的式子表示，即可表示出两个角 的关系． 【详解】（1）解： 是 的余角， ， ， ， 平分 ， ； （2）解： 或 ，理由如下： 设 ， 是 的余角， ， ， ， 平分 ， ， ， ． 当射线 在 内部时，如图： ， ， ； 当射线 在 内部时，如图： ， ， ， 综上可知， 或 ． 【点睛】本题考查余角、补角、角平分线、角的和差关系等知识点，解第一问的关键是掌 握互为余角的两个角的和是90 度，解第二问的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 类型二、定值问题 例．如图，过点 在 内部作射线 ． ， 分别平分 和 ， 与 互补， ． (1)如图1，若 ，则 ______°， ______°， ______°； (2)如图2，若 平分 ． ①当 时，求 度数； ②试探索： 是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答】(1) ， ， ；(2)① ，②是定值， 【分析】（1）根据互补的定义可得 ，然后求得 ，再根据角平分线的定义可 得 和 ,再根据角的和差可得 ； （2）①由互补的定义可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，进而得到 ， 然后根据 得到关于的方程求解即可；②由①可得 ，然后分别表示出 和 ，最后做 商即可解答． 【详解】（1）解：∵ , ∴ ∴ ∵ ， 分别平分 和 ∴ , ∴ 故答为 ， ， ． （2）解：①∵ ， 与 互补， ∴ 又∵ 平分 ， 平分 ， 平分 ， ∴ ∴ ，解得： ∴ ②由①得： ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了补角的定义、角平分线的应用、角的和差等知识点，灵活运用角 平分线的定义是解答本题的关键． 【变式训练1】如图， 内部有一射线， ， 与 的度数比为 ，射线 从 出发，以10 度/秒的速度绕点顺时针旋转，同时射线 从 出发以 20 度/秒的速度绕点顺时针旋转，当射线 与射线 重合后，立即以原速逆时针旋转， 当 与 重合后再次改变方向顺时针向 旋转（即 在 与 之间来回摆动）， 当 与 重合时， 与 都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t 秒． (1) 时， ； (2)当t 为何值时， 恰好是 的平分线； (3)在旋转的过程中，作 的角平分线 ，是否存在某个时间段，使得 的度数 保持不变？如果存在，求出 的度数，并写出对应的t 的取值范围；如果不存在，请 说明理由． 【答】(1)100 (2)3 或7 (3)存在， 时， 的度数保持不变， ； 时， 的度数 保持不变， 【分析】（1）当 时， ， ，故 ， 即得 ； （2） ， 与 的度数比为 ，知 ， ，故 从 旋转到 （或从 旋转到 需要 （秒）， 从 旋转到 需要 （秒），当 时， ；当 时， ；当 时， ，解方程可得答； （3）当 时， ；当 时， ；当 时， ，即可得到答． 【详解】（1）解：（1）当 时， ， ， ， ； 故答为：100； （2） ， 与 的度数比为 ， ， ， 从 旋转到 或从 旋转到 需要 （秒）， 从 旋转到 需要 （秒）， 当 时， ， ， 恰好是 的平分线， ， 解得 ； 当 时， ， ， 恰好是 的平分线， ， 解得 （舍去）； 当 时， ， ， 恰好是 的平分线， ， 解得 ； 综上所述，当为3 或7 时， 恰好是 的平分线； （3）存在某个时间段，使得 的度数保持不变，理由如下： 当 时， ， ， 平分 ， ， ， 时， 的度数保持不变， ； 当 时， ， ， 平分 ， ， ， 时， 的度数随的改变而改变； 当 时， ， ， 平分 ， ， ， 时， 的度数保持不变， ； 综上所述， 时， 的度数保持不变， ； 时， 的度 数保持不变， ． 【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是读 懂题意，能应用分类讨论思想解决问题． 【变式训练2】将一副三角尺如图①摆放， ， ，现将 绕点 以 /秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒． (1)如图②，当 ______时， 恰好平分 ； (2)如图③，当 ______时， 恰好平分 ； (3)如图④，当 ______时， 恰好平分 ； (4) 绕点旋转到如图⑤的位置， 平分 ， 平分 ，求 的度数； (5)若 旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由． 【答】(1)4；(2)7；(3)10；(4) ；(5)不变， ，理由见解析； 【分析】（1）如图，由题意可得： ，而 ， ， 再证明 ，而 ，再建立方程求解即可； （2）如图，证明 ， ，再建立方程求解即可； （3）如图，证明 ， ，同理： ，而 ，可得 ，从而可得答； （4）先表示 ，可得 ，同理可得 ，而 ， 再利用角的和差可得答； （5）先表示 ，可得 ，同理可得 ，而 ， 再利用角的和差可得答． 【详解】（1）解：如图，由题意可得： ，而 ， ∴ ， ∵ 平分 ，∴ ，而 ， ∴ ，解得： ； （2）如图，∵ ， 平分 ，∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 解得： ； （3）如图，∵ ， 恰好平分 ， ∴ ， ， 同理： ，而 ， ∴ ， 解得： ； （4）如图， ∵ ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， 而 ， ∴ ． （5）如图， ∵ ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， 而 ， ∴ ． 【点睛】本题考查的是角的动态定义，角的和差运算，角平分线的含义，一元一次方程的 应用，熟练的画出符合题意的图形，再利用数形结合的方法解题是关键． 【变式训练3】如图，已知 ， ． (1)求 的度数； (2)若射线 绕点 以每秒旋转10°的速度顺时针旋转，同时射线 以每秒旋转5°的速度 逆时针旋转，设旋转的时间为秒 ，试求当 时的值； (3)若 绕点 以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时 绕点 以每秒旋转10°的 速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒 ， 平分 ， 平分 ，在 旋转的过程中， 的度数是否发生改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由． 【答】(1) (2)3 或5 (3)不发生改变，其值为 【分析】（1）设 ，从而可得 ，再根据角的和差可得 ，然后根据 建立方程，解方程即可得； （2）先分别求出射线 与射线 重合时、射线 旋转至射线 的初始位置时、射线 旋转至射线 的初始位置时的值，再分三种情况讨论，分别建立方程，解方程即可 得； （3）先判断出在旋转的过程中， 一定在 的后面，再求出旋转秒后， 的度数，然后根据角平分线的定义求出 的度数，最后根 据 即可得出结论． 【详解】（1）解：设 ， ， ， ， 又 ， ，解得 ，则 ． （2）解：当射线 与射线 重合时，则 ，解得 ， 当射线 旋转至射线 的初始位置时， ， 当射线 旋转至射线 的初始位置时， ， 因此，分以下三种情况： ①当 时，则 ，解得 ，符合题设； ②当 时， ，解得 ，符合题设； ③当 时， ，解得 ，不符题设，舍去； 综上，当 时的值为3 或5． （3）解：当 与 重合时， 则 ，解得 ， 当 时，在旋转的过程中， 一定在 的后面， 旋转秒后， ， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， ， 即在旋转的过程中， 的度数不发生改变，其值为 ． 【点睛】本题综合考查了角的和差倍分问题、角平分线、一元一次方程的几何应用等知识 点，正确分情况讨论，并建立方程是解题关键． 类型三、运动时间问题 例．如图1，将两块直角三角板（一块含有 、 角，另一块含 角）摆放在直线 上，三角板 绕点 以每秒 的速度逆时针旋转．当 第一次与射线 重合时 三角板 停止转动，设旋转时间为秒． (1)当 时，求 和 的度数； (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板 以每秒 的速度绕点 顺时针旋转，当 第一次与射线 重合时三角板 立即停止转动． ①用含的代数式表示射线 和射线 重合前 和 的度数； ②整个旋转过程中，当满足 时，求出相应的的值． 【答】(1) ， (2) ， ；② 或 或 或 【分析】（1）根据补角的定义以及旋转的性质计算即可； （2）①首先求出t 的取值范围，再根据角的和差关系以及旋转的性质可得答；②分 ， ， ， ，根据已知等式 ，列 方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， 当 时，三角板 绕点 逆时针旋转， 与 减小的度数相同为： ， 故 ， ； （2）①由题意， ， ， 令 ，解得 ． 令 ，解得 ， 射线 与射线 重合之前 ，射线 与射线 重合之前 ， ． 当 时， ； 当 时， ， 即 ； ②由题意知， 运动时间为 ， 运动时间为 ． 当 时， ， ， 此时， ，不符合题意； 当 时， ， ， 令 ， 解得 或 ； 当 ， ， 或 ， 此时 ，不符合题意； 当 时， 停止运动． 如图1，当 未过 延长线时， ， ， ， 此时 ，不符合题意． 如图2，当 已过 延长线时， ， ， ． 令 ， 解得 或 ． 综上， 或 或 或 ， 【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，角的和差，在运动的条件下，用方程的思想解 决角的变化问题，重点要抓住角的变化过程中出现的每一种情况． 【变式训练1】一个问题的解决往往经历发现规律-探索归纳-问题解决的过程，下面结合一 道几何题来体验一下． (1)【发现规律】如图①，已知 ， ，则 的度数为__________ _时， 为 的角平分线． (2)【探索归纳】如图①， ， ， 为 的角平分线．猜想 的度数（用含m，的代数式表示），并说明理由． (3)【问题解决】如图②，若 ， ， ，射线 ， 同 时绕点旋转， 以每秒 顺时针旋转， 以每秒 逆时针旋转，当 与 重合时， ， 同时停止运动．设运动时间为t 秒，问t 为何值时，射线 为 ， ， 中 任意两条射线夹角的角平分线． 【答】(1) (2) ，理由见解析 (3) 或 或 【分析】（1）先根据角的和差关系计算出 ，再根据 求解； （2）根据角的和差关系、角平分线的定义即可求解； （3）按照 平分 ， 平分 ， 平分 三种情况分别讨论，列出等 式，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 当 时， 为 的角平分线， ， ， 故答为： ； （2）解： ，理由如下： ， ， ， 为 的角平分线， ； （3）解：由题意知， 旋转了 ， 旋转了 ， ， ， ， ，即 与 旋转 秒后重合． ， ， ， ，即 旋转秒后与 重合． ①当 为 ， 夹角的角平分线，即 平分 时， 旋转后的 ， ， ， 解得 ； ②当 为 ， 夹角的角平分线，即 平分 时， 旋转后的 ， ， 解得 ； ③当 为 ， 夹角的角平分线，即 平分 时， 旋转后的 ， ， ，解得 ， 综上可知，t 的值为或 或 ． 【点睛】本题考查角平分线的有关计算，一元一次方程的实际应用，涉及射线的旋转问题， 有一定难度，解题的关键是厘清角的和差关系，注意分情况讨论，避免漏解． 【变式训练2】点为直线l 上一点，射线 均与直线l 重合，如图1 所示，过点作射 线 和射线 ，使得 ，作 的平分线 ． (1)求 与 的度数； (2)作射线 ，使得 ，请在图2 中画出图形，并求出 的度数； (3)如图3，将射线 从图1 位置开始，绕点以每秒 的速度逆时针旋转一周，作 的 平分线 当 时，求旋转的时间． 【答】(1) ， (2) 或 (3)8 秒或 秒 【分析】（1）根据 ， ，即可得出 的度数，根据角平分 线的定义得出 ，然后根据 得出 的度数； （2）根据题意得出 的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线 在 内部 时；②当射线 在 外部时；分别进行计算即可； （3）根据 平分 得出 ，根据题意画出图形，计算 的角度，然 后计算时间即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ； （2）由（1）知， ， ∴ ， ①当射线 在 内部时，如图2（1）， ； ②当射线 在 外部时，如图2（2）， ， 综上所述， 的度数为 或 ； （3）∵ 平分 ， ∴ ， ①如图3， ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴旋转的时间 （秒）； ②如图3（1）， 此时， ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴旋转的时间 （秒）； 综上所述，旋转的时间为8 秒或 秒． 【点睛】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义等内容；第（2）问进行合适的分类讨 论是解题的关键；第（3）问，搞清楚在射线 旋转的过程中， 和 的相对位置在 不断的变化，以此进行分类画图． 【变式训练3】已知直线 和 交于点 ， 的度数为 ， 于 点， 平分 ． (1)当 ，求 与 的度数． (2)当 ，射线 、 分别以 ， 的速度同时绕点 顺时针转动，求当射线