专题04 角平分线模型的三种考法（解析版）

专题04 角平分线模型的三种考法 类型一、角平分线上的点向两边作垂线 例1．已知，△B 中，∠B＝120°，D 平分∠B，∠BD＝60°，B＝2，＝3，则D 的长是 ． 【答】5 【分析】过D 作， ， 交 延长线于F，然后根据全等三角形的性质和 角直角三角形的性质即可求解． 【详解】过D 作， ， 交 延长线于F， ∵D 平分 ， ， ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三 角形． 【变式训练1】如图， 、 是四边形 的对角线， 平分 ， ，已知 ，则 ． 【答】47° 【分析】过D 作 于E， 于F， 于G，依据 平分 ， 平分 ，利用角平分线的性质，即可得到 ，进而得出 平分 ． 再根据三角形外角的性质，即可得到 ，进而得出结论． 【详解】如图所示，过D 作 于E， 于F， 于G， ∵ 平分 ， ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 平分 ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ 平分 ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ 是 的外角， 是 的外角， ∴ 故答为：47°． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是掌握角平 分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【变式训练2】已知： 是 的角平分线，且 ． （1）如图1，求证： ； （2）如图2， ，点E 在 上，连接 并延长交 于点 ， 交的延长线 于点 ，且 ，连接 ． ①求证： ； ②若 ，且 ，求 的长． 【答】（1）见解析；（2）①见解析；②． 【分析】（1）用 证明 ，即得B＝； （2）①证明 可得 ，再用 证明△FG≌△FE，即得 ； ②过 作 于 ，由 ，可得 ， ，而 ，故 ，即得 ，根据 ，可求 ． 【详解】解：（1）证明： 是 的角平分线， ， ， ， 在 和 中， ， ， ； （2）① ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 在 和 中， ， ， ； ②过 作 于 ，如图： 由①知： ， ， ， ， 由①知： ， ， ， ， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三 角形的相关知识 【变式训练3】在平面直角坐标系中，点的坐标是 ，点B 的坐标 且，b 满足 ． （1）求、B 两点的坐标； （2）如图（1），点为x 轴负半轴一动点， ， 于D，交y 轴于点E，求 证： 平分 ． （3）如图（2），点F 为 的中点，点G 为x 正半轴点 右侧的一动点，过点F 作 的 垂线 ，交y 轴的负半轴于点，那么当点G 的位置不断变化时， 的值是否 发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果． 【答】（1） ， ；（2）证明见解析；（3）不变化， ． 【分析】（1）由非负性可求，b 的值，即可求、B 两点的坐标； （2）过点作 于M， 于，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （3）由于点F 是等腰直角三角形B 的斜边的中点，所以连接F，得出F=BF．∠BF=∠GF， 进而得出∠F=∠BFG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公 式解答即可． 【详解】解：（1）∵ ∴ ， ∴ ，即 ． ∴ ， ． （2）如图，过点作 于M， 于， 根据题意可知 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴＝B＝6． 在 和 中， ， ∴ ． ∴ ， ， ． ∴ ， ∴ ， ∴点一定在∠DB 的角平分线上， 即D 平分∠DB． （3）如图，连接F， ∵ 是等腰直角三角形且点F 为B 的中点， ∴ ， ，F 平分∠B． ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 在 和 中 ， ∴ ． ∴ ， ∴ ． 故不发生变化，且 ． 【点睛】本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的 性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形 例．已知： 中， 为 的中点， 平分 于 ，连结 ，若 ，求 的长． 【答】 【分析】延长G 交B 于点E 根据等腰三角形的判定与性质得G=EG，E=,再根据三角形中位 线的性质得出DG= BE= （B-），从而得出 的长． 【详解】解：延长G 交B 于点E． G 平分 ， 于 ， ， ， ， ∵ ， 为 的中点， ． 故答为 【点睛】本题考查 等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据题意作出辅助线， 利用三角形中位线定理求解是解题的关键． 【变式训练1】已知：等腰直角三角形B 中，∠B=90°；=B；∠1= 3 ∠；BE D ⊥． 求证：BE= D． 【答】见解析 【分析】延长、BE 交于F，首先由S 证明△EF≌△EB，得到BE= BF，然后再次通过S 证明 △D≌△BF，得到D=BF，问题得解 【详解】证明：延长、BE 交于F， 1= 3 ∵∠ ∠，BE E ⊥， 在△EF 和△EB 中， ， ∴△EF≌△EB(S)， FE=BE ∴ ， BE= ∴ BF， D= BED=90° ∵∠ ∠ ，∠D= BDE ∠ ， 1= 2 ∴∠ ∠， 在△D 和△BF 中， ， ∴△D≌△BF（S）， D=BF ∴ ， BE= ∴ D 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，两次证明全等是解 题关键，也考查学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度． 【变式训练2】如图，在△B 中，∠=90°，B=，D 是上一点，E⊥BD 交BD 的延长线于E，E= BD，且DF⊥B 于F，求证：D=DF 【答】见解析 【解析】证明：延长E、B 交于点F 如图所示：∵E BE ⊥ ，∴∠BE=90°， 又∠F= B=90° ∠ ，∴∠DB+ F= F+ F=90° ∠ ∠ ∠ ，∴∠DB= F ∠， 在△F 和△BD 中, ，∴△F BD(S) ≌△ ，∴F=BD 又E= BD，∴E= F，即点E 是F 的中点，∴B=BF，∴BD 是∠B 的角平分线， =90° ∵∠ ，DF B ⊥于F，∴D=DF 类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短 例．如图，在 中， ， 平分 交 于 ，求证： 【答】详见解析 【分析】可以在B 上截取E=，构造三角形全等，再结合三角形三边关系可证得结论． 【详解】在B 上截取E=， 则BE=B-， 在△ED 和△D 中， ， ED D(SS) ∴△ ≌△ ， DE=D ∴ ， 在△BDE 中，BD-DE＜BE(三角形两边之差小于第三边)， BE>BD-D ∴ ， 即B->BD-D 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造三角形全等是解题 的关键． 【变式训练1】如图所示，在 中， ， 是 的角平分线， 交于点 ，求证： ． 【答】详见解析 【分析】在B 上截 ，连接FG，根据角平分线的性质、结合三角形内角和定理可得 ，证明 ，得GD=GF， =60°，可证 得 ，即可得GF=GE=GD 【详解】证明：在B 上截 ，连接FG， E ∵平分∠B， E= EB ∴∠ ∠ ， 又∵G=G， ∴ ， ， ， ∵ ，E,BD 是ΔB 的角平分线， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， GD=GE ∴ 【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键． 【变式训练2】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题: 如图一，△B 中，∠=90°，B=，BD 平分∠B，猜想线段D 与D 数量关系小明发现可以用下面 方法解决问题:作DE B ⊥交B 于点E： (1)根据阅读材料可得D 与D 的数量关系为__________ (2)如图二，△B 中，∠=120°，B=，BD 平分∠B，猜想线段D 与D 的数量关系，并证明你的猜 想 (3)如图三，△B 中，∠=100°，B=，BD 平分∠B，猜想线段D 与BD、B 的数量关系，并证明 你的猜想 【答】（1）D= D；（2）D= D；（3）B=D+BD 【分析】（1）由角平分线的性质可得D=DE，根据∠=90°，B=，可得∠=45°，由DE B ⊥可得 △DE 是等腰直角三角形，可得D= DE，进而可得答；（2）在B 上截取BE=B，连接DE， 利用SS 可证明△BD≌△EBD，可得D=DE，∠BED= =120° ∠ ，由等腰三角形的性质可得 ∠=30°，利用三角形外角性质可得∠DE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答； （3）在B 上取一点E，使BE=BD，作DF B ⊥于F，DG B ⊥于G，由角平分线的性质就可以得 出DF=DG，利用S 可证明△DF DEG ≌△ ，可得 D=DE，利用外角性质可求出∠ED=40°，进而可 得DE=E，即可得出结论． 【详解】（1）∵∠=90°，BD 平分∠B，DE B ⊥， DE=D ∴ ， =90° ∵∠ ，B=， =45° ∴∠ ， ∴△DE 是等腰直角三角形， D= ∴ DE= D， 故答为D= D （2）如图，在B 上截取BE=B，连接DE， BD ∵ 平分∠B， BD= DBE ∴∠ ∠ ， 在△BD 和△EBD 中， ， ∴△BD≌△EBD， DE=D ∴ ，∠BED= =120° ∠ ， B= ∵ ， = B=30° ∴∠∠ ， DE= BED- =90° ∴∠ ∠ ∠ ， D= ∴ DE= D （3）如图，在B 上取一点E，是BE=BD，作DF B ⊥于F，DG B ⊥于G， DF= DGE=90° ∴∠ ∠ ． BD ∵ 平分∠B，DF B ⊥，DG B ⊥， DF=DG ∴ ． B=100° ∵∠ ，B=， FD=80° ∴∠ ，∠B= =40° ∠ ， DB=20° ∴∠ ， BE=BD ∵ ， BED= BDE=80° ∴∠ ∠ ， FD= BED ∴∠ ∠ ． 在△DF 和△DEG 中， ， DF DEG ∴△ ≌△ （S）， D=ED ∴ ． BED= + ED ∵∠ ∠∠ ， 80°=40+ ED ∴ ∠ ， ED=40° ∴∠ ， ED= ∴∠ ∠， DE=E ∴ ， D=E ∴ ． B=BE+E ∵ ， B=BD+D ∴ ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判 定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键． 【变式训练3】如图，已知B（-1，0），（1，0），为y 轴正半轴上一点，点D 为第二象 限一动点，E 在BD 的延长线上，D 交B 于F，且∠BD= B ∠． （1）求证：∠BD= D ∠； （2）求证：D 平分∠DE； （3）若在点D 运动的过程中，始终有D=D+DB，在此过程中，∠B 的度数是否变化？如果变 化，请说明理由；如果不变，请求出∠B 的度数． 【答】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，60° 【分析】（1）根据∠BD＝∠B，∠DFB＝∠F，再结合∠BD＋∠BD＋∠DFB＝∠B＋∠D＋∠F＝ 180°，即可得出结论； （2）过点作M D ⊥ 于点M，作⊥BE 于点．运用“S”证明△M B ≌△得M＝．根据“到角的两 边距离相等的点在角的平分线上”得证； （3）运用截长法在D 上截取P＝BD，连接P．证明△P BD ≌ 得△DP 为等边三角形，从而求 ∠B 的度数． 【详解】（1）证明：∵∠BD＝∠B，∠DFB＝∠F， 又∵∠BD＋∠BD＋∠DFB＝∠B＋∠D＋∠F＝180°， BD ∴∠ ＝∠D； （2）过点作M D ⊥ 于点M，作⊥BE 于点． 则∠M＝∠B＝90°， B ∵＝，⊥B， B ∴＝， BD ∵∠ ＝∠D， M B ∴△ ≌△（S）， M ∴ ＝， D ∴ 平分∠DE（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）； （3）∠B 的度数不变化． 在D 上截取P＝BD，连接P． D ∵＝D＋BD， D ∴＝PD， B ∵＝，∠BD＝∠D，BD＝P， BD P ∴△ ≌△， D ∴＝P，∠BD＝∠P， D ∴＝P＝PD， 即△DP 是等边三角形， DP ∴∠ ＝60°， B ∴∠＝∠BP＋∠P＝∠BP＋∠BD＝60°． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短” 的数学思想方法，综合性较强． 【变式训练4】如图1，点、D 在y 轴正半轴上，点B、分别在x 轴上， 平分 与y 轴交于D 点， ． (1)求证： ； (2)在（1）中点的坐标为 ，点E 为 上一点，且 ，如图2，求 的长； (3)在（1）中，过D 作 于F 点，点为 上一动点，点G 为 上一动点，（如图 3），当点在 上移动、点G 在 上移动时，始终满足 ，试判断 、 、 这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答】(1)见解析； (2) ； (3) ，证明见解析． 【分析】（1）结合题意易得 ，从而易证 得到结论； （2）如图所示，过D 作 于点，结合（1）易证得 及 ，由全等三角形的性质可求解； （3）如图所示，在x 轴的负半轴上取 ，连接 ，易证得 ，得到 及 ，结合题意易得 ， 再证得 得到 从而得到结论． 【详解】（1）证明：∵ ， ， ∴ ， 平分 ， ， 在 和 中， ， ， ； （2）解：由（1）知 ， ∴ ， 如图所示，过D 作 于点， 平分 ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3） ． 平分 ， 在x 轴的负半轴上取 ，连接 ，如图所示： 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中, ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用；解题的关键 是熟练掌握全等三角形的判定和性质的综合运用． 课后训练 1．如图，在 中， ， 、 分别是 、 的平分线， 、 相交于点 ，试判断 和 之间的数量关系 【答】详见解析 【分析】如图，过点F 作 ， ，垂足分别为、G，根据角平分线，可得点 F 是 的内心，则有 ，继而根据三角形内心的性质可得 ，从 而可得 ，继而可得FE=FD 【详解】FE=FD，理由如下： 如图，过点F 作 ， ，垂足分别为、G 是 ， 的平分线D、E 的交点， 为 的内心， ， ， 又 ； ， ， 又 ， ， 【点睛】本题考查了三角形的内心的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键是注意数 形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 2．如图，在 中， ， 平分 ，交 于 ， 于 ，求 证： 【答】详见解析 【分析】延长BD 至，使D=BD，易得D 垂直平分B，继而证得E=E，则可证得结论． 【详解】延长BD 至，使D=BD，连接． D BE ∵⊥ ， D ∴ 垂直平分B， B= ∴ ， = B ∴∠∠， 又∵BE 平分∠B，∠B=2∠， B= B= ∴∠ ∠ ∠， B= ∴∠ ∠， B ∴∥， = ∴∠∠， = ∴∠∠， E=E ∴ ， BE=E ∵ ， =B=2BD ∴ ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定 与性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 3．如图，在 中， ， ， 是 的平分线，延长 至点 ， ，试求 的度数． 【答】40° 【分析】在 上截取 ，连接 ，通过证明 ，可得 ，再通过证明 ，即可求得 【详解】解：如图，在 上截取 ，连接 ， 是 的平分线， ， 在 和 中， ， ， ， DE=DF ∴ ， ， 又 ， ， ， ， 在 和 中， ， 故 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关 键． 4．如图1，在 中， 是 边的中线， 交 延长线于点 ， ． （1）求证 ； （2）如图2， 平分 交 于点 ，交 于点 ，若 ， ， 求 的值． 【答】（1）见解析；（2） 【分析】（1）延长 至点 ，使 ，可证 ，由全等三角形的性 质从而得出 ，根据题目已知，可证 ，由全等三角形的性质从而得 出 ，等量代换即可得出答； （2）如图所示，作 ，可证 ，由全等三角形的性质相等角从而得出 ，进而得出 ，故可证 等量转化即可求出 的值． 【详解】（1）如图1 所示，延长 至点 ，使 ， 在 与 中， ， ， ， ， ， 在 与 中， , ， ， ； （2）如图所示， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ，作 ， 在 与 中， ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， ， 设 ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 5．如图，在 中， 为 边上的高， 是 的角平分线，点F 为 上一点， 连接 ， ． (1)求证： 平分 ； (2)连接 交 于点G，若 ，求证： ； (3)在（2）的条件下，当 ， 时，求线段 的长． 【答】(1)见解析 (2)见解析 (3)75 【分析】（1）根据 是 的角平分线和 得 ，再 结合 为 边上的高得出 即可证明； （2）过点F 作 于点M， 于点，证明 ，得出 ，再根据 ，解出 即可证明； （3）根据 及 为 边上的高证明 ，得出 ， 再根据 ，解得 ，结合 即可求出 ； 【详解】（1）证明： 是 的角平分线， ， 为 边上的高， 平分 （2）过点F 作 于点M， 于点， 平分 ，且 ， ， ， ， 平分 ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， （3） ， ， ， ， 为 边上的高， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质， 熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键． 6．已知 中， 平分 ， 交 于点 ， 平分 ，交 于点 ， 与 交于点 ． (1)如图，求证： ． (2)如图 ，连接 ，求证： 平分 ． (3)如图，若 ， ， ，求 的值． 【答】(1)见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】（1）由角平分线的性质得出 ， ，由三角形的 内角和定理得出 ， ，代入即可 得出结论；