专题10 角的运动压轴题的三种考法（原卷版）

专题10 角的运动压轴题的三种考法 类型一、角度之间数量关系问题 例．如图，点为直线 上一点，过点作射线 ．将一直角三角板的直角顶点放在点处（ ），一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方． (1)当 时，请解决一下问题； ①将图1 中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边 在 的内部，且恰好平分 ．求 的度数． ②将图1 中的三角板绕点以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线 恰好平分锐角 ，则t 的值为 （直接写出结果）． ③将图1 中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使 在 的内部，请探究 与 的数量关系，并说明理由． (2)图1 中射线 在 上方且 ，当三角板绕点顺时针旋转（旋转角度 ），试探究 三者之间的数量关系． 【变式训练1】以直线 上一点为端点，在直线 的上方作射线 ，使 ， 将一个直角三角板 的直角顶点放在处，即 ，直角三角板 可绕顶点转 动，在转动的过程中，直角三角板 所有部分始终保持在直线 上或上方． (1)如图1，若直角三角板 的一边 在射线 上，则 ______； (2)将直角三角板 绕点转动后，使其一边 在 的内部，如图2 所示， ①若 恰好平分 ，求此时 的度数； ②若 ，求此时 的度数； (3)直角三角板 在绕点转动的过程中， 与 之间存在一定的数量关系，请 直接写出来，不必说明理由． 【变式训练2】如图，点在直线 上，在同一平面内，以为顶点作直角 ．射线 、 射线 分别平分 、 ． (1)如图1，当 时， ________ ， ________ ． (2)如图1，猜想 与 的数量关系，并说明理由． (3)直接写出图2 和图3 中， 与 的数量关系． 图2：__________；图3：__________． 【变式训练3】如图， 是直线 上一点， 是 的余角，射线 平分 ． (1)若 ，求 的度数； (2)若 ，请在图中画出符合题意的射线 ，探究 与 的数量 关系，并说明理由． 类型二、定值问题 例．如图，过点 在 内部作射线 ． ， 分别平分 和 ， 与 互补， ． (1)如图1，若 ，则 ______°， ______°， ______°； (2)如图2，若 平分 ． ①当 时，求 度数； ②试探索： 是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式训练1】如图， 内部有一射线， ， 与 的度数比为 ，射线 从 出发，以10 度/秒的速度绕点顺时针旋转，同时射线 从 出发以 20 度/秒的速度绕点顺时针旋转，当射线 与射线 重合后，立即以原速逆时针旋转， 当 与 重合后再次改变方向顺时针向 旋转（即 在 与 之间来回摆动）， 当 与 重合时， 与 都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t 秒． (1) 时， ； (2)当t 为何值时， 恰好是 的平分线； (3)在旋转的过程中，作 的角平分线 ，是否存在某个时间段，使得 的度数 保持不变？如果存在，求出 的度数，并写出对应的t 的取值范围；如果不存在，请 说明理由． 【变式训练2】将一副三角尺如图①摆放， ， ，现将 绕点 以 /秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒． (1)如图②，当 ______时， 恰好平分 ； (2)如图③，当 ______时， 恰好平分 ； (3)如图④，当 ______时， 恰好平分 ； (4) 绕点旋转到如图⑤的位置， 平分 ， 平分 ，求 的度数； (5)若 旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由． 【变式训练3】如图，已知 ， ． (1)求 的度数； (2)若射线 绕点 以每秒旋转10°的速度顺时针旋转，同时射线 以每秒旋转5°的速度 逆时针旋转，设旋转的时间为秒 ，试求当 时的值； (3)若 绕点 以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时 绕点 以每秒旋转10°的 速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒 ， 平分 ， 平分 ，在 旋转的过程中， 的度数是否发生改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由． 类型三、运动时间问题 例．如图1，将两块直角三角板（一块含有 、 角，另一块含 角）摆放在直线 上，三角板 绕点 以每秒 的速度逆时针旋转．当 第一次与射线 重合时 三角板 停止转动，设旋转时间为秒． (1)当 时，求 和 的度数； (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板 以每秒 的速度绕点 顺时针旋转，当 第一次与射线 重合时三角板 立即停止转动． ①用含的代数式表示射线 和射线 重合前 和 的度数； ②整个旋转过程中，当满足 时，求出相应的的值． 【变式训练1】一个问题的解决往往经历发现规律-探索归纳-问题解决的过程，下面结合一 道几何题来体验一下． (1)【发现规律】如图①，已知 ， ，则 的度数为__________ _时， 为 的角平分线． (2)【探索归纳】如图①， ， ， 为 的角平分线．猜想 的度数（用含m，的代数式表示），并说明理由． (3)【问题解决】如图②，若 ， ， ，射线 ， 同 时绕点旋转， 以每秒 顺时针旋转， 以每秒 逆时针旋转，当 与 重合时， ， 同时停止运动．设运动时间为t 秒，问t 为何值时，射线 为 ， ， 中 任意两条射线夹角的角平分线． 【变式训练2】点为直线l 上一点，射线 均与直线l 重合，如图1 所示，过点作射 线 和射线 ，使得 ，作 的平分线 ． (1)求 与 的度数； (2)作射线 ，使得 ，请在图2 中画出图形，并求出 的度数； (3)如图3，将射线 从图1 位置开始，绕点以每秒 的速度逆时针旋转一周，作 的 平分线 当 时，求旋转的时间． 【变式训练3】已知直线 和 交于点 ， 的度数为 ， 于 点， 平分 ． (1)当 ，求 与 的度数． (2)当 ，射线 、 分别以 ， 的速度同时绕点 顺时针转动，求当射线 与射线 重合时至少需要多少时间？ (3)当 ，射线 以 的速度绕点 顺时针转动，同时射线 也以 的速度绕 点 逆时针转动，当射线 转动一周时射线 也停止转动．射线 在转动一周的过程 中当 时，求射线 转动的时间． 课后训练 1．如图，已知 ， 在 内部， 在 的内部， ． (1)若 ，则 ______；若 ，则 _______（用含 的代 数式表示）； (2)若 ，求 的度数； (3)将 以为折痕进行翻折， 落在 处，将 以 为折痕进行翻折， 落 在 处， 的度数变化时， 的度数是否发生变化？若变化，请说明理由：若 不变，请求出 的度数． 2．已知 ， ， 平分 ． (1)如图1， 在 的内部． ①若 ， ____________， ____________； ②若 ， ____________， ____________（都用含 的式子表 示）： (2)如图2，将 绕点顺时针旋转，使射线 在 的内部，射线 在 的 外部．设 的度数为 ，当 时，求 的值． (3)将图1 中的 绕点逆时针旋转，使射线 在 的外部，射线 在 的 内部，如图3， 平分 ，请猜想 和 有怎样的数量关系，并说明理由． 3．将一副直角三角板如图1 摆放在直线 上（直角三角板 和直角三角板 ， ， ， ， ），保持三角板 不动，将 三角板 绕点以每秒 的速度顺时针旋转直至 边第一次重合在直线 上，整个 过程时间记为t 秒． (1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了 秒； (2)如图2，旋转三角板 ，使得 、 在直线 的异侧，请直接写出 与 数量关系；如图3，继续旋转三角板 ，使得 、 同时在直线 的右侧， 请问上面的数量关系是否仍然成立？并说明理由． (3)若在三角板 旋转的同时，另一个三角板 也绕点以每秒 的速度顺时针旋转， 当 边第一次重合在直线 上时两三角板同时停止． ①试用字母t 分别表示 与 ； ②在旋转的过程中，当t 为何值时 平分 ． 4．如图， ． (1)若 平分 ，求 的度数； (2)渃 ，求 的度数； (3)若射线 从射线 的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒 的速度旋转，同时射线 从射线 的位置开始，绕点按顺时针方向以每秒 的速度旋转，射线 旋转的时间 为（单位：秒），且 ，求当 时的值． 5．如图①，已知线段 ，线段D 在线段B 上运动，E、F 分别是、BD 的中点． (1)已知 ，求EF 的长． (2)若 ，求EF 的长．由此你能得出EF 与B、D 之间存在怎样的数量关系？ (3)类比应用 ①我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知 在 内部转动，E、F 分 别平分 和 ，若∠ ，直接写出 的度数． ②由此，你猜想 与 、 会有怎样的数量关系______．（直接写出猜想 即可）