专题06 一次函数图像的五种考法（解析版）

专题06 一次函数图像的五种考法 类型一、图像的位置关系问题 例．直线 与直线 在同一坐标系中的大致图像可能是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据直线 与直线 图像的位置确定k 的正负，若不存在矛盾则符合 题意，据此即可解答． 【详解】解：、 过第二、四象限，则 ，所以 过第一、三、四象限， 所以选项符合题意； B、 过第二、四象限，则 ，所以 过第一、三、四象限，所以B 选项不 符合题意； 、 过第一、三象限，则 ，所以 过第二、一、四象限，所以选项不符 合题意； D、 过第一、三象限，则 ，所以 过第二、一、四象限，所以D 选项不 符合题意． 故选． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像：一次函数 的图像为一条直线， 当 ，图像过第一、三象限；当 ，图像过第二、四象限；直线与y 轴的交点坐标为 ． 【变式训练1】在同一坐标系中，直线： 和 ： 的位置可能是( ) A． B． ． D． 【答】B 【分析】根据正比例函数和一次函数的图像与性质，对平面直角坐标系中两函数图像进行 讨论即可得出答． 【详解】、由正比例函数图像可知 ，即 ，故由一次函数图像与y 轴的交点在原 点的上方，故选项不符合题意； B、由正比例函数图像可知 ，即 ，故由一次函数图像与y 轴的交点在原点的上 方，但 无法判断正负，因此增减都可以，故选项B 符合题意； 、由正比例函数图像可知 ，即 ，故由一次函数图像与y 轴的交点在原点的下方， 故选项不符合题意； D、由正比例函数图像可知 ，即 ，故由一次函数图像与y 轴的交点在原点的上 方，故选项D 不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查的是正比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数和 一次函数的图像与性质是解决本题的关键． 【变式训练2】直线： 和直线 ： 在同一坐标系中的图象大致是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】先根据直线，得出k 和b 的符号，然后再判断直线 的k 和b 的符号是否与直线 一致，据此即可得出答． 【详解】、直线： 中 ， ， ： 中， ，不一致，故本 选项不符合题意； B、直线： 中 ， ， ： 中 ， ，则 ，一致， 故本选项符合题意； 、直线： 中 ， ， ： 中 ， ，则 ，不一致， 故本选项不符合题意； D、直线： 中 ， ， ： 中 ， ，则 ，不一致， 故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查一次函数图象，解本题的关键在根据一次函数的图象，得出k 和b 的符 号． 【变式训练3】若 ， ，一次函数 的图象大致形状是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据一次函数的图象性质判断即可； 【详解】∵ ， ∴，b 同号， ∴ ， ∵ ， ∴b，d 异号， ∴ ， ∴一次函数与y 轴交于正半轴，图象过一、二、四象限； 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质，准确判断是解题的关键． 【变式训练4】如图，一次函数 与正比例函数 （m，为常数，且 ）的图象是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】分别分析四个选项中一次函数和正比例函数m 和的符号，即可进行解答． 【详解】解：、由一次函数图象得： ，由正比例函数图象得： ，符合题 意； B、由一次函数图象得： ，由正比例函数图象得： ，不符合题意； 、由一次函数图象得： ，由正比例函数图象得： ，不符合题意； D、由一次函数图象得： ，由正比例函数图象得： ，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和正 比例函数图象与系数的关系． 类型二、图像与系数的关系 例．若一次函数 的图象经过第二、三、四象限，则常数 的取值范围是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据一次函数 的图象经过二、三、四象限判断出 的取值范围即 可． 【详解】解： 一次函数 的图象经过二、三、四象限， ， ， 故选： ． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数 中，当 ， 时函数的图象在二、三、四象限． 【变式训练1】若直线 经过点 ，且与y 轴的交点在x 轴上方，则k 的取值范围是 ． 【答】 且 【分析】当 ， ，由直线 与y 轴的交点在x 轴上方，可知 ， 由直线 经过点 ，可得 ，即 ，则 ，解 得 ，进而可得k 的取值范围． 【详解】解：当 ， ， ∵直线 与y 轴的交点在x 轴上方， ∴ ， ∵直线 经过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ，解得 ， ∴ 且 ， 故答为： 且 ． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，根据函数经过的象限求参数范围．解题的 关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式训练2】若一次函数 的图象经过第一、二、四象限，则m 的取 值范围是 ． 【答】 【分析】根据一次函数 的图象经过第一、二、四象限，得到关于m 的 不等式，求解即可． 【详解】解：∵一次函数 的图象经过第一、二、四象限， ∴ ， 解得 ， 故答为： ． 【点睛】本题主要考查一次函数图象的性质、解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法， 熟记一次函数图像与系数的关系是解题关键． 【变式训练3】．已知一次函数 不过第一象限，则 的取值范围是 ． 【答】 【分析】根据一次函数 不过第一象限，可得 ，解不等式组即可 得到答． 【详解】解： 一次函数 不过第一象限， ， 解得： ， 的取值范围是： ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数 （ 为常数， ）是一条直线，当 时，直线经过一、三象限， 随 的增大而增大，当 时，直线 经过二、四象限， 随 的增大而减小，当 时，直线交于 轴的正半轴，当 时， 直线过原点，当 时，直线交于 轴的负半轴． 【变式训练4】已知点 ， ，直线 与线段 相交，则k 的取值范围 是 ． 【答】 或 【分析】将点 ， 分别代入直线的解析式求出 的值，再结合函数图象进行 分析即可得． 【详解】解：在 中，当 时， ， 则直线 恒过定点 ， 将点 代入 得： ，解得 ， 将点 代入 得： ，解得 ， 如图，要使直线 与线段 相交， 则 或 ，故答为： 或 ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握数形结合思想是解题关键． 类型三、图像的平移问题 例．将直线 向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到直线 ，则（ ） ． ， B． ， ． ， D． ， 【答】 【分析】根据直线 向左平移 个单位，变为 ，再向上平移 个单位， 变为 ，然后结合得到直线 ，即可解出 和 的值． 【详解】解：直线 向左平移 个单位，变为 ， 再向上平移 个单位，变为 ， 得到直线 ， ， ， ， ， 故选： ． 【点睛】本题考查了一次函数图像平移变换，熟练掌握图象左加右减，上加下减的变换规 律是解答本题的关键． 【变式训练1】对于一次函数 ，下列结论错误的是（ ）． ．函数的图象与 轴的交点坐标是 B．函数的图象不经过第三象限 ．函数的图象向下平移4 个单位长度得 的图象 D．函数值随自变量的增大而减小 【答】 【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】选项：当 时， ，所以函数的图象与 轴的交点坐标是 ，故选项错误； B 选项：函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故B 选项正确； 选项：函数的图象向下平移4 个单位长度，得到函数 ，即 的图象， 故选项正确； D 选项：由于 ，所以函数值随x 的增大而减小，故D 选项正确． 故选： 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，函数图象平移的法则，熟练运用一次函数的图 象及性质进行判断是解题的关键． 【变式训练2】把直线 先向右平移2 个单位长度，再向下平移3 个单位长度，平移 后的新直线与x 轴的交点为 ，则m 的值为（ ） ．3 B．1 ． D． 【答】B 【分析】由题意知，平移后的直线解析式为 ，将 代入得 ，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，平移后的直线解析式为 ， 将 代入得 ，解得 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点．解题的关键在于熟 练掌握图象平移：左加右减，上加下减． 类型四、规律性问题 例．在平面直角坐标系中，直线 与x 轴交于点 ，如图所示，依次作正方形 ，正方形 ，…，正方形 ，使得点 ， ， ，…．在直线l 上， 点 ， ， ，…，在y 轴正半轴上，则点 的坐标为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点 的坐标，同 理可得出 、 、 、 …及 、 、 、 …的坐标，根据点的坐标变化可找出变化 规律 （ 为正整数），依此规律即可得出结论． 【详解】解：当 时，由 ， 解得： ， 点 的坐标为 ， 为正方形， ， 同理可得： ， ， ， ，…， ， ， ， ，…， （ 为正整数）， 点 的坐标为： ， 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质及点的坐标的规律，根 据点的坐标的变化找出变化规律 （ 为正整数）是解题的关键． 【变式训练1】如图，正方形 ， ， ，按如图所示放置，点 ， ， 都在直线 上，点 ， ， 都在x 轴上，则点 的坐标是 ． 【答】 【分析】先求出 、 、 、 的坐标，找出规律，即可得出答． 【详解】解： 直线 和 轴交于 ， 的坐标 ， 即 ， 四边形 是正方形， ， 把 代入 得： ， 的坐标为 ， ， ， 的横坐标为3， 把 代入 得： ， 的坐标为 ， 同理可得： 的坐标为 总结规律得： 的坐标为 ， ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正 方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键． 【变式训练2】如图，直线 ，点 的坐标为 ，过点 作x 轴的垂线交直线于点 ，以原点为原点， 长为半径画弧交x 轴于点 ；再过点 作x 轴的垂线交直线于点 ，以原点为圆心， 长为半径画弧交x 轴于点 ；…，按此作法进行下去，点 的 坐标为 ． 【答】 【分析】根据 的坐标和函数解析式，求得 的长度，再由此可求得 的坐标，依次类 推，即可求出点 探究规律利用规律即可解决问题． 【详解】∵直线 ，点 的坐标为 ，过点 作x 轴的垂线交直线于点 ， ∴ 在 中， ， ， ∴点 的坐标为 ， 同理，可得出：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 由此可知 的坐标为 ， 的坐标为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及规律型中点的坐标，根 据一次函数图象上点的坐标特征结合勾股定理，求出点 的坐标并找到规律是解题的 关键． 类型五、增减性问题 例．已知一次函数 （m 为常数），当 时，y 有最大值6，则m 的值为 （ ） ． B． ．2 或6 D． 或6 【答】D 【分析】分两种情况：当 时，当 时，分别列出关于m 的方程即可求解． 【详解】解：当 时，一次函数y 随x 增大而增大， ∴当 时， ， ∴ ， 解得 符合题意， 当 时，一次函数y 随x 增大而减小， ∴当 时， ， ∴ ， 解得 ，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性与比例系数的关系是关键． 【变式训练1】点 ， 在一次函数 的图像上，当 时， ，则 的取取值范围是 ． 【答】 【分析】根据一次函数的图像 ，当 时， 随 的增大而减小分 析即可． 【详解】解： 当 时， ， 随 的增大而减小， ， ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数 的性质是解题的关键． 【变式训练2】已知一次函数 ，当自变量的取值范围是 时，相应的函数值 的范围是 ，则 ． 【答】或 ． 【分析】根据题意，分别求得当 ， 时的函数值，分 根据一次函数的性 质，即可求解． 【详解】当 时， , 当 时， ， ∵ ， 当 时， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ， 当 时， ， 则 ，解得: 或 （舍去） ∴ ， 综上所述， 或 ， 故答为： 或 ． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，分类讨论是解题的关键． 课后训练 1．下列图象中，不可能是关于x 的一次函数y＝mx﹣（m 3 ﹣）的图象的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】分别根据四个答中函数的图象求出 的取值范围即可． 【详解】解： 、由函数图象可知 ，解得 ； 、由函数图象可知 ，解得 ； 、由函数图象可知 ，解得 ， ，无解； 、由函数图象可知 ，解得 ． 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数图象问题，解答此题的关键是根据各选项列出方程组，求出 无解的一组． 2．如图， 的斜边 在直线 上，点 在 轴上， 点坐标为 ． 先将 沿较长直角边 翻折得到 ，再将 沿斜边 翻折得到 ，再将 沿较短直角边 翻折得到 ；…；按此规律，点 的坐 标为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】先求得 ， ，根据勾股定理得 ， ， ，由翻 折的性质得到 同理可得 ， ， ， ，即可 判断出规律，即可解答． 【详解】当 时， ， ∴ ， ∵ 的斜边 在直线 上， ∴ ， ∵ 点坐标为 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 再由翻折可知， ， ， ∴ ， ∴ ， 同理可得 ， ， ， ， ∴ ． 故选：D 【点睛】本题考查了点坐标规律探索，勾股定理，翻折的性质，根据图象得出坐标变化规 律是解题的关键． 3．若一次函数 不经过第二象限，则 的取值范围为 ． 【答】 【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k 的取值范围，从而求解． 【详解】∵一次函数 的图象不经过第二象限， ∴一次函数 的图象经过第一、三、四象限或者过第一、三象限， ∴ 且 ， 解得 ． 故答为： ． 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 的关系．解答本题注意理 解：直线 所在的位置与 的符号有直接的关系．需要特别注意不经过第二象限 可能只经过第一、三象限． 4．将直线 向上平移3 个单位长度，所得直线的函数表达式是 ． 【答】 【分析】根据平移法则上加下减可得出平移后的解析式． 【详解】解：将直线 向上平移3 个单位长度，所得直线的函数表达式是： ． 故答为： ． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题 的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ， …在 轴上且 ， ， ， …按此规律，过点 ， ， ， …作 轴的垂线分别与直线 交于点 ， ， ， …记 ， ， ， …的面积分别为 ， ， ， …则 ． 【答】 【分析】根据已知先求出 ， ， 的长，再代入直线 中，分别求出 ， ， ， ，然后分别计算出 ， ， ， ，再从数字上找规律进行计算即可 解答． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 把 代入直线 中可得： ， ∴ ， 把 代入直线 中可得： ， ∴ ， 把 代入直线 中可得： ， ∴ ， 把 代入直线 中可得： ， ∴ ， ∴ ， ， ， ， ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查规律型：点的坐标，函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，同底数 幂的乘法．根据已知分别求出 ， ， ， 的值，然后从数字上找规律是解题的关键． 6．已知一次函数 ． (1)若该函数的图像经过点（ ），则m 的值为___________． (2)当 时，函数y 有最小值 ，则m 的值为___________． 【答】(1)3 (2)25 或 【分析】（1）将（ ）代入函数关系式求解即可； （2）当m>0 时，在 上， 时，函数y 有最小值 ，当m<0 时，在 上，x=3 时，函数y 有最小值 ，分别求解即可． 【详解】（1）解：将（ ）代入 中， 得： ， 解得： ， 故答为：3； （2）解：当m>0 时，y 随x 的增大而增大， 在 上， 时，函数y 有最小值 ， ∴ ， 解得： ； 当m<0 时，y 随x 的增大而减小， 在 上，x=3 时，函数y 有最小值 ， ∴ ， 解得： ， 综上，m 的值为25 或 ， 故答为：25 或 ． 【点睛】本题考查一次函数的增减性，解题的关键是掌握当k>0 时，y 随x 的增大而增大， 当k<0 时，y 随x 的增大而减小．