专题06 乘法公式压轴题的四种考法（学生版）

专题06 乘法公式压轴题的四种考法 类型一、平方差公式与几何图形综合 例1．【探究】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部 分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① 图② ； (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母、b 表示)； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知2m =3 ﹣ ，2m+=4，则4m2﹣2的值为 ； ②计算：(x 3)( ﹣ x+3)(x2+9)． 【拓展】计算 的结果为 ． 【变式训练1】如图，在边长为 的正方形中，剪去一个边长为 的小正方形( )，将余 下的部分拼成一个梯形，根据两个图形中阴影部分面积关系，解决下列问题： (1)如图①所示，阴影部分的面积为 ( 写成平方差形式)． (2)如图②所示，梯形的上底是 ，下底是 ，高是 ，根据梯形面积公式 可以算出面积是 (写成多项式乘法的形式)． (3)根据前面两问，可以得到公式 ． (4)运用你所得到的公式计算： ． 【变式训练2】从边长为 的正方形剪掉一个边长为 的正方形(如图1)，然后将剩余部分 拼成一个长方形(如图2)． (1)上述操作能验证的等式是______(请选择正确的一个)． ． B． ． (2)若 ， ，求 的值； (3)计算： ． 【变式训练3】工厂接到订单，需要边长为(+3)和3 的两种正方形卡纸． (1)仓库只有边长为(+3)的正方形卡纸，现决定将部分边长为(+3)的正方形纸片，按图甲所示 裁剪得边长为3 的正方形． ①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积(用含代数式来表示)； ②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的边 长多少？(用含代数式来表示)； (2)若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2 两种方式放置(图 1，图2 中两张正方形纸片均有部分重叠)，盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分 用阴影表示，设图1 中阴影部分的面积为S1，图2 中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长 方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为 ． 【变式训练4】(1)如图1 所示，若大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，则阴影部分 的面积是______；若将图1 中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2 所示的一个长方形， 则它的面积是_________； (2)由(1)可以得到一个乘法公式是________； (3)利用你得到的公式计算： ． 类型二、完全平方公式变形 例1．已知 ，求 与 的值． 例2 已知 ，则 ________ 【变式训练1】已知 ，求 的值． 【变式训练2】已知(x+2021)+(x+2022)=49，则(x+2021)(x+2022)的值为() ．20 B．24 ． D． 【变式训练3】已知： ， ，分别求 和 的值． 【变式训练4】已知 ，求下列各式的值： 【变式训练5】当x=______时，代数式8x2-12x+5 有最小值，最小值为______ 类型三、完全平方公式字母的值 例1．当k 取何值时， 是一个完全平方式？ 【变式训练1】如果 是一个完全平方公式，求k 的值． 【变式训练2】若把代数式 化成 的形式，其中 ， 为常数，则 ______． 【变式训练3】(1)设 ，则__________． ． B． ． D． 【变式训练4】若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完 全平方数是非负数．例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝ 112…． (1)若28+210+2 是完全平方数，求的值． (2)若一个正整数，它加上61 是一个完全平方数，当减去11 是另一个完全平方数，写所有 符合的正整数． 类型四、完全平方公式与几何图形 例乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1 的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，B 种纸 片是边长为b 的正方形，种纸片是长为b、宽为的长方形．并用种纸片一张，B 种纸片一张， 种纸片两张拼成如图2 的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2 大正方形的面积． 方法1：________； 方法2：________； (2)观察图2，请你写出下列三个代数式： ， ， 之间的数量关系：_______； (3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题： ①已知： ， ，求 的值； ②已知 ，求 的值． 【变式训练1】如图1 是一个长为4、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小 长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2) (1)观察图2 请你写出(+b)2、(-b)2、b 之间的等量关系是 ； (2)根据(1)中的结论，若x+y=5，xy= ，则x-y= ； (3)拓展应用：若(2021-m)2+(m-2020)2=7，求(2021-m)(m-2020)的值 【变式训练2】如图1 是一个长为4、宽为b 的长方形，沿图1 中虚线用剪刀平均分成四块 小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图2)． (1)图2 中的阴影部分的面积为：____________(用、b 的代数式表示)； (2)观察图2，请你写出 、 、 之间的等量关系是____________； (3)利用(2)中的结论，若 ， ，求 的值____________； (4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，请你写出这个等式_________ ___． (5)如图4，点 是线段 上的一点，分别以、B 为边在B 的同侧作正方形DE 和正方形 BFG，连接EG、BG、BE，当 时， 的面积记为 ，当 时， 的面 积记为 ，…，以此类推，当 时， 的面积记为 ，计算 的值． 【变式训练3】如图，将边长为 的正方形剪出两个边长分别为 ， 的正方形(阴影 部分)．观察图形，解答下列问题： (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部 分的面积． 方法1：______，方法2：________； (2)从中你发现什么结论呢？_________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知 ， ，求 的值； ②已知 ，求 的值． 【变式训练4】阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些 数学公式． (1)例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：(＋b)2＝2＋2b＋b2根据图②能得 到的数学公式是__________． (2)如图③，请写出(＋b)、(﹣b)、b 之间的等量关系是__________ (3)利用(2)的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求(x﹣y)2的值． (4)根据图④，写出一个等式：__________． (5)小明同学用图⑤中x 张边长为的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为、b 的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为(3＋b)(＋3b)长方形，请画出图形，并指出 x＋y＋z 的值． 类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式． (6)根据图⑥，写出一个等式：___________． 【变式训练5】用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方 法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图 形的面积． (1)由图1 可得乘法公式________； (2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为 的正方形， 从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为________； (3)利用(2)中的结论解决以下问题： 已知 ， ，求 的值； (4)如图3，由两个边长分别为 ， 的正方形拼在一起，点 ， ， 在同一直线上，连 接 ， ，若 ， ，求图3 中阴影部分的面积．